计算行列式的方法总结PPT

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性质
行列式具有以下基本性质
行列式转置不变
行列式的值与其转置行列式的值相 等。
行列式按行（列）展开
行列式的值等于其任意一行（列）元 素与其对应代数余子式的乘积之和。
行列式的倍数性质
行列式中某一行（列）的所有元素 都乘以一个常数k，则行列式的值也 乘以k。
行列式的消元性质
若行列式中两行（列）成比例，则 行列式的值为0。
例题3
利用数学归纳法计算分块矩阵的行列式。对于具有某种递推关系的分块矩阵，可以利用数 学归纳法进行证明和计算。通过假设当n=k时结论成立，进而证明当n=k+1时结论也成 立，从而得出对于任意正整数n结论都成立的结论。
06
特殊类型行列式的计算方法
箭型行列式的计算
箭型行列式的定义
箭型行列式是一种具有特殊形状的行列式，其主对角线上方的元素构成了一个箭头形状。
计算方法
对于 n 阶箭型行列式，可以先将其化为上三角或下三角行列式，然后直接计算对角线元素的乘积。具体步骤包括 ：利用行列式的性质，将第 1 列的 -1 倍加到其他列上，从而将箭型行列式化为上三角或下三角行列式；计算对 角线元素的乘积。
两三角型行列式的计算
两三角型行列式的定义
两三角型行列式是指行列式的上半部分和下半部分分别呈现三角形形状的行列式。
80%
典型方法
拉普拉斯展开定理，将高阶行列 式按某一行（列）展开为低阶行 列式的和。
典型例题解析
例题1
利用数学归纳法计算范德蒙德 行列式。
例题2
计算含有特定元素的行列式， 如含有三角函数、指数函数等 。
例题3
利用归纳法证明某些特殊类型 的行列式具有特定的性质，如 对称性、反对称性等。
05
分块矩阵在计算行列式中的应用
代数余子式的计算
代数余子式的定义
在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式 叫做元素aij的余子式，记作Mij；把余子式Mij再乘以-1的i+j次方记作Aij，Aij 叫做元素aij的代数余子式。
代数余子式的计算
首先确定aij的位置，然后划去aij所在的第i行和第j列，得到余子式Mij；再根据i 和j的和的奇偶性确定代数余子式的符号。
计算方法
对于 n 阶范德蒙德型行列式，可以利用范德蒙德多项式的性质进行化简和计算。具体 步骤包括：将范德蒙德型行列式按照某一列展开，得到一系列低阶的范德蒙德型行列式 ；利用范德蒙德多项式的性质，对这些低阶的范德蒙德型行列式进行化简和计算；最终
得到原范德蒙德型行列式的值。
典型例题解析
例题 1
计算一个 4 阶箭型行列式。解析：首 先观察箭型行列式的特点，发现可以 通过将第 1 列的 -1 倍加到其他列上 ，将其化为上三角行列式；然后计算 对角线元素的乘积，得到行列式的值 。
01
$$
02
\begin{vmatrix}
03
1 & 2 & 3 & 4 \\
典型例题解析
5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \\
典型例题解析
• \end{vmatrix}
典型例题解析
$$
解析：该行列式不具有特殊性质，可以通过降阶法进行计算。首先选择第一列进 行降阶处理，得到三个三阶子行列式；然后对每个子行列式进行降阶处理，得到 二阶子行列式；最后计算所有二阶子行列式的和即可得到原行列式的值。
计算行列式的意义
01
02
03
04
线性矩阵的行列式来 判断方程组是否有唯一解，从 而决定采取何种方法进行求解 。
矩阵可逆性判断
一个方阵可逆的充分必要条件 是其行列式不等于0。因此， 计算行列式可以判断一个矩阵 是否可逆。
特征多项式求解
在计算矩阵特征多项式时，需 要计算矩阵的特征值，而行列 式是求解特征值的重要工具之 一。
在某些情况下，可以将分块矩阵的行列式表示为已知矩阵 的行列式或易于计算的行列式之和或之积，从而简化计算 。
典型例题解析
例题1
计算分块对角矩阵的行列式。对于分块对角矩阵，其行列式等于各对角子块的行列式之积 。通过这一性质，可以简化计算过程。
例题2
计算具有特殊结构的分块矩阵的行列式。对于某些具有特殊结构的分块矩阵，可以利用其 结构特点进行化简，从而简化计算过程。例如，可以利用分块矩阵的加法、数乘和乘法运 算性质进行化简。
04
利用数学归纳法计算行列式
数学归纳法的基本原理
归纳基础
证明当$n=1$时，命题成立。
归纳假设
假设当$n=k$时，命题成立。
归纳步骤
证明当$n=k+1$时，命题也成立。
行列式计算中的归纳假设与递推关系
80%
归纳假设
假设已知$n$阶行列式的计算方 法。
100%
递推关系
通过降阶法或升阶法，将$n+1$ 阶行列式转化为$n$阶行列式进 行计算。
计算方法
对于 n 阶两三角型行列式，可以先将其化为一个三角形行列式，然后直接计算对角线元素的乘积。具 体步骤包括：利用行列式的性质，将行列式的上半部分或下半部分化为三角形；计算对角线元素的乘 积。
范德蒙德型行列式的计算
范德蒙德型行列式的定义
范德蒙德型行列式是一种具有特殊元素排列的行列式，其元素满足范德蒙德多项式的形 式。
典型例题解析
01
0 & 1 & 2 & 3 \\
02
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
03
典型例题解析
• \end{vmatrix}
典型例题解析
$$
1
2
解析：该行列式为上三角行列式，可以直接按照 对角线法则进行计算，结果为1。
例题2：计算四阶行列式
3
典型例题解析
典型例题解析
• 例题1：计算三阶行列式D = |1 2 3; 4 5 6; 7 8 9|。 • 解析：可以按照任意一行或一列展开，例如按第一行展开，
得到D = 1|5 6; 8 9| - 2|4 6; 7 9| + 3*|4 5; 7 8|。然后分别 计算每个二阶行列式的值，最后相加得到D的值。 • 例题2：计算四阶行列式D = |1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16|。 • 解析：可以按照任意一行或一列展开，例如按第一列展开， 得到D = 1|6 7 8; 10 11 12; 14 15 16| - 5|2 3 4; 10 11 12; 14 15 16| + 9|2 3 4; 6 7 8; 14 15 16| - 13|2 3 4; 6 7 8; 10 11 12|。然后分别计算每个三阶行列式的值，最后相加得到 D的值。
例题 2
计算一个 5 阶两三角型行列式。解析 ：观察两三角型行列式的特点，发现 可以通过将行列式的上半部分或下半 部分化为三角形，然后计算对角线元 素的乘积；得到行列式的值。
例题 3
计算一个 4 阶范德蒙德型行列式。解 析：首先观察范德蒙德型行列式的特 点，发现可以利用范德蒙德多项式的 性质进行化简和计算；然后按照某一 列展开，得到一系列低阶的范德蒙德 型行列式；再利用范德蒙德多项式的 性质对这些低阶的范德蒙德型行列式 进行化简和计算；最终得到原范德蒙 德型行列式的值。
空间几何应用
在解析几何中，行列式可以用 来判断点、直线和平面的位置 关系，如判断三点是否共线、 两直线是否平行等。
02
基于行（列）展开的计算方法
行列式按行（列）展开定理
定理内容
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘 积之和。
定理应用
利用该定理，可以将一个高阶行列式降阶为低阶行列式进行计算 。
降阶法的原理与步骤
01
展开所选行（列），得到降一阶 的行列式；
02
重复以上步骤，直到得到一阶行 列式并求出其值。
特殊类型行列式的降阶处理
箭型行列式
箭型行列式是指除了第一行和第一列外，其他元素具有某种 规律性的行列式。对于箭型行列式，可以通过提取公因子、 化简等方法将其转化为一般形式，再利用降阶法进行计算。
03
降阶法计算行列式
降阶法的原理与步骤
• 原理：降阶法是通过逐步降低行列式的阶数，将其转化为低阶行列式进行计算的方法。其基本原理是利用行列式的性质， 将某一行（列）的元素通过运算化为0，从而达到降阶的目的。
降阶法的原理与步骤
步骤 选择一行（列），将其第一个非零元素通过行（列）变换化为1；
利用行列式的性质，将所选行（列）的其他元素化为0；
分块矩阵在计算行列式中的优势
简化计算过程
对于大型矩阵，直接计算行列式往往非常复杂。通过分块 处理，可以将大型矩阵的行列式计算转化为较小矩阵的行 列式计算，从而简化计算过程。
便于应用数学归纳法
对于具有某种特殊结构的分块矩阵，可以利用数学归纳法 证明其行列式满足某种递推关系，从而简化计算。
便于利用已知结果
计算行列式的方法总结
目
CONTENCT
录
• 引言 • 基于行（列）展开的计算方法 • 降阶法计算行列式 • 利用数学归纳法计算行列式 • 分块矩阵在计算行列式中的应用 • 特殊类型行列式的计算方法
01
引言
行列式的定义与性质
定义
行列式是方阵的一个数值属性，由 方阵中所有元素的代数和组成，每 个元素与其代数余子式相乘。
分块矩阵的定义与性质
分块矩阵的定义
将一个大的矩阵按照某种规则分割成 若干个小矩阵，这些小矩阵称为原矩 阵的子块或分块，由这些子块组成的 矩阵称为分块矩阵。
分块矩阵的性质
分块矩阵保持原矩阵的线性性质，即 分块矩阵的加法、数乘和乘法运算满 足相应的运算法则。此外，分块矩阵 的转置、逆等运算也有相应的性质。
三对角行列式
三对角行列式是指除了主对角线及其两侧的两条对角线外， 其他元素均为0的行列式。对于三对角行列式，可以通过相似 变换等方法将其转化为箭型行列式或一般形式，再利用降阶 法进行计算。
典型例题解析
• 例题1：计算四阶行列式
典型例题解析
02
01
03
$$ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\