中国队获第49届IMO团体总分第一名

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中国队获第 49 届 IMO 团体总分第一名
第49 届 IMO 于2008 年7 月10 日至22 日在西班牙马德里举行 ,来自103 个国家及地区的549 名学生参加了这次比赛。

中国队以 217 分获得团体总分第一名 ,其中牟晓生和韦东奕获得满分(此次 IMO 共 3 个满分) 。

本届 IMO 金牌分数线是 31 分 ,银牌分数线是 22 分 ,铜牌分数线是 15 分。

中国队的成员如下 : 领 队 熊 斌 华东师范大学 副领队 冯志刚 上海市上海中学观察员 李伟固 北京大学 观察员 梁丽平 北京人大附中 队 员 牟晓生 上海市上海中学(高二) 42 分(满分) 金牌
韦东奕 山东省山东师大附中(高一) 42 分(满分) 金牌 张瑞祥 北京市人大附中(高三) 35 分 金 牌张 成 上海市华东师大二附中(高三) 35 分 金牌陈 卓(女) 湖北省华中师大一附中(高三) 35 分 金牌吴天琪 浙江省嘉兴一中(高三) 28 分 银 牌
获得团体总分前 6 名的队及其总分如下 : 1. 中 国 217 分 2. 俄 罗 斯 199 分 3. 美 国 190 分 4. 韩 国 188 分 5. 伊 朗 181 分 6. 泰 国 175 分
第 4 9 届 IMO 试 题
第 一 天
1. 已知 H 是锐角 △ABC 的垂心 ,以边 BC 的中点为圆心、过点 H 的圆与直线 BC 交于 A 1 、A 2 两点 ;
以边 CA 的中点为圆心、过点 H 的圆与直线 CA 交于
B 1 、B 2 两点 ;以边 AB 的中点为圆心、过点 H 的圆与直线 AB 交于
C 1 、C 2 两点. 证明 : A 1 、A 2 、B 1 、B 2 、C 1 、 C 2 六点共圆.
2. (1) 设实数 x 、y 、z 都不等于 1 ,满足 xyz = 1. 求证 :
x 2 y 2 z
( x - 1) 2 +
( y - 1) 2 +
( z - 1) 2 1.
(2) 证明 : 存在无穷多组三元有理数组 ( x , y , z ) , x 、y 、z 都不等于 1 ,且 xyz = 1 ,使得上述不等式等号成立.
3. 证明 :存在无穷多个正整数 n ,使得 n 2 + 1 有
一个大于 2 n + 2 n 的质因子.
第 二 天
4. 求所有的函数 f : (0 , + ∞) →(0 , + ∞) , 满足对
所有的正实数 w 、x 、y 、z , wx = yz ,都有
5.
设 N 是 k 次操作后使得灯 1 ,2 , , n 是开的 ,灯n
+ 1 , n + 2 , ,2 n 是关的状态的所有不同的操作序列的个数 ;
设 M 是 k 次操作后使得灯 1 ,2 , , n 是开的 , 灯 n + 1 , n + 2 , , 2 n 是关的 , 但是灯 n + 1 , , 2 n 始终没有被开过的所有不同的操作序列的个数.
求比值 N
.
6. 在凸四边形 ABCD 中 , BA ≠BC . ω1 和 ω2 分别
是 △ABC 和 △ADC 的内切圆. 假设存在一个圆 ω 与射线 BA 相切(切点不在线段 BA 上) ,与射线 BC 相切(切点不在线段 BC 上) ,且与直线 AD 和直线 CD 都相切. 证明 :圆ω1 和ω2 的两条外公切线的交
( f ( w ) ) 2
+ ( f ( x ) ) 2 f ( y 2 ) + f ( z 2 ) =
w 2 + x 2
y 2 + z 2 .
点在圆 ω上.
(熊 斌 冯志刚 提供)
2。