《经济数学基础12》综合练习及参考答案概要

《经济数学基础12》综合练习及参考答案
第一部分 微分学
一、单项选择题
1．函数()
1lg +=
x x
y 的定义域是（ ）．
A ．1->x
B ．0≠x
C ．0>x
D ．1->x 且0≠x
2．若函数)(x f 的定义域是[0，1]，则函数)2(x f 的定义域是( )．
A ．1],0[
B ．)1,(-∞
C ．]0,(-∞
D )0,(-∞ 3．下列各函数对中，（
）中的两个函数相等．
A ．2
)()(x x f =，x x g =)( B ．1
1)(2--=x x x f ，x x g =)(+ 1
C ．2ln x y =，x x g ln 2)(=
D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g
4．设11
)(+=x
x f ，则))((x f f =（ ）．
A ．11++x x
B ．x x +1
C ．111++x
D ．x
+11 5．下列函数中为奇函数的是（ ）．
A ．x x y -=2
B ．x x y -+=e e
C ．1
1
ln
+-=x x y D ．x x y sin = 6．下列函数中，（
）不是基本初等函数．
A ．10
2
=y B ．x
y )2
1(= C ．)1ln(-=x y D ．3
1x
y = 7．下列结论中，（ ）是正确的． A ．基本初等函数都是单调函数 B ．偶函数的图形关于坐标原点对称 C ．奇函数的图形关于坐标原点对称 D ．周期函数都是有界函数
8. 当x →0时，下列变量中（ ）是无穷大量．
A .
001
.0x B . x x 21+ C . x D . x
-2
9. 已知1tan )(-=
x
x
x f ，当（ ）时，)(x f 为无穷小量. A . x →0 B . 1→x C . -∞→x D . +∞→x
10．函数sin ,0(),0
x
x f x x k x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( )．
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
11. 函数⎩⎨
⎧<-≥=0
,10
,1)(x x x f 在x = 0处（ ）．
A . 左连续
B . 右连续
C . 连续
D . 左右皆不连续 12．曲线1
1
+=
x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ ）．
A ．21-
B ．21
C ．3)
1(21+x D ．3)1(21+-x
13. 曲线y = sin x 在点(0, 0)处的切线方程为（ ）． A . y = x B . y = 2x C . y = 2
1
x D . y = -x 14．若函数x x
f =)1(，则)(x f '=（ ）．
A ．
21x B ．-2
1x C ．x 1 D ．-x 1
15．若x x x f cos )(=，则='')(x f （ ）．
A ．x x x sin cos +
B ．x x x sin cos -
C ．x x x cos sin 2+
D ．x x x cos sin 2-- 16．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）．
A ．sin x
B ．e x
C ．x 2
D ．3 - x 17．下列结论正确的有（ ）．
A ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0
B ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点
C ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点
D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点
18. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（ ）．
A ．
p p
32- B ．
--p
p
32 C ．
32-p
p
D ．-
-32p
p
二、填空题
1．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=2
0,10
5,2)(2x x x x x f 的定义域是
． 2．函数x x x f --+=21
)5ln()(的定义域是
．
3．若函数52)1(2
-+=+x x x f ，则=)(x f
． 4．设函数1)(2
-=u u f ，x
x u 1)(=，则=))2((u f
．
5．设2
1010)(x
x x f -+=，则函数的图形关于
对称．
6．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为 ．
7．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = ．
8. =+∞→x
x
x x sin lim
.
9．已知x
x
x f sin 1)(-=，当 时，)(x f 为无穷小量．
10. 已知⎪⎩⎪
⎨⎧=≠--=1111
)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内连续，则=a .
11. 函数1
()1e
x
f x =-的间断点是 . 12．函数)
2)(1(1
)(-+=x x x f 的连续区间是 ．
13
．曲线y 在点)1,1(处的切线斜率是
．
14．函数y = x 2 + 1的单调增加区间为
．
15．已知x x f 2ln )(=，则])2(['f = ． 16．函数y x =-312()的驻点是 . 17．需求量q 对价格p 的函数为2
e 100)(p p q -⨯=，则需求弹性为E p =
．
18．已知需求函数为p q 3
2
320-=，其中p 为价格，则需求弹性E p = .
三、计算题
1．423lim 222-+-→x x x x 2．2
31
lim 21+--→x x x x 3
．0x → 4．2343
lim sin(3)x x x x →-+-
5．1
13lim
21-+--→x x
x x 6．2)1tan(lim 21-+-→x x x x ； 7． ))
32)(1()
23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x 8．20sin e lim()1x x x x x →++ 9．已知y x
x x
--=1cos 2，求)(x y ' ．
10．已知)(x f x
x x x
+-+=11ln sin 2，求)(x f ' ．
11．已知2cos ln x y =，求)4
(
π
y '；
12．已知y =32ln 1x +，求d y ． 13．设 y x x x x ln +=，求d y ．
14．设x x y 22
e 2
cos -+=，求y d ． 15．由方程2e e )1ln(=++xy x y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '．
16．由方程0e sin =+y
x y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '.
17．设函数)(x y y =由方程y x y e 1+=确定，求0
d d =x x y
．
18．由方程x y x y
=++e )cos(确定y 是x 的隐函数，求y d ．
四、应用题
1．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）, 求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量x 为多少时，平均成本最小？
2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求：
（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？
3．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数p q 42000-=，其中p 为价格，q 为产量，这种产品在市场上是畅销的，问价格为多少时利润最大？并求最大利润.
4．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少.
5．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？
6．已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q ()=++2502010
2
（万元）．问：要使平均成
本最少，应生产多少件产品？
试题答案
一、 单项选择题
1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．C 7．C 8. B 9. A 10. C 11. B 12.A 13. A 14. B 15. D 16. B 17. A 18. B 二、填空题
1.[-5，2]
2. (-5, 2 )
3. 62
-x 4.4
3
-
5. y 轴
6.3.6
7. 45q – 0.25q 2
8. 1
9. 0→x 10. 2 11.0x = 12.)1,(--∞，)2,1(-，),2(∞+ 13.
(1)0.5y '= 14.(0, +∞) 15. 0 16.x =1 17.2p - 18. 10
-p p
三、极限与微分计算题
1．解 4
23lim 222-+-→x x x x =)2)(2()1)(2(lim 2+---→x x x x x = )2(1
lim 2+-→x x x = 41
2．解：231
lim
21+--→x x x x =)1)(2)(1(1lim
1
+---→x x x x x =21
)
1)(2(1lim
1-=+-→x x x
3．解
0l i x →
=x →
=x
x
x x x 2sin lim )11(lim 00→→++=2⨯2 = 4
4．解 2343
lim sin(3)
x x x x →-+-=3(3)(1)lim sin(3)x x x x →---
= 33
3
lim lim(1)sin(3)x x x x x →→-⨯--= 2
5．解 )
13)(1()
13)(13(lim 113lim
2121x x x x x x x x x x x x ++--++-+--=-+--→→ )
13)(1()
1(2lim )13)(1())1(3(lim 2
1
21x x x x x x x x x x x ++----=++--+--=→→ )13)(1(2lim 1x x x x ++-+-=→221
-=
6．解 )
1)(2()
1tan(lim 2)1tan(lim 121-+-=-+-→→x x x x x x x x
1)1tan(lim 21lim 11--⋅+=→→x x x x x 3
1
131=⨯=
7．解：))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x =))32)(11()
213()21(lim 6
25x
x x x x x --++-∞→ =23
23)2(6
5-=⨯-
8．解 20s i n e l i m ()1x x x x x →++=000sin e lim limsin lim 1
x
x x x x x x x →→→++ =0+ 1 = 1
9．解 y '(x )=)1cos 2('--x x x
=2
)1(cos )1(sin )1(2ln 2x x x x x ------ =2
)
1(sin )1(cos 2ln 2x x
x x x
----
10．解 因为)1ln()1ln(sin 2)(x x x x f x +--+= 所以 x x x x x f x
x
+---+⋅='1111cos 2sin 2ln 2)( 2
12
]cos sin 2[ln 2x
x x x --+⋅= 11．解 因为 222
2tan 22)sin (cos 1
)cos (ln x x x x x
x y -=-='=' 所以 )4
(
π
y '=πππ
π
-=⨯-=-1)4
tan(
4
2
2
12．解 因为 )ln 1()ln 1(3
12
32
2'++='-x x y
=x x x ln 2)ln 1(3132
2
-+ =x x x ln )ln 1(3232
2-+
所以 x x x x
y d ln )ln 1(32d 32
2
-+=
13．解 因为 y x x ln 4
7+=
x
x y 1
4743
-='
所以 d y = (x
x 1
4743
-)d x
14．解：因为 x
x x y 222e 2)2(2s i n --'-='x x x 22e 22s i n ---=
所以 y d x x x x
d )
e 22
s i n (22---=
15．解 在方程等号两边对x 求导，得 )e ()e (])1ln([2
'='+'+xy
x y 0)(e 1)1ln(='++++
+'y x y x
y
x y xy xy xy
y x
y
y x x e 1]e )1[ln(-+-
='++ 故 ]
e )1)[ln(1(e )1(xy xy
x x x y x y y +++++-='
16．解 对方程两边同时求导，得 0e e cos ='++'y x y y y
y
y
y
y x y e )e (cos -='+
)(x y '=y
y
x y e
cos e +-. 17．解：方程两边对x 求导，得 y x y y y '+='e e y
y x y e 1e -=
'
当0=x 时，1=y
所以，
d d =x x
y
e e
01e 1
1=⨯-=
18．解 在方程等号两边对x 求导，得 )()e (])[cos('='+'+x y x y
1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y )sin(1)]sin(e [y x y y x y ++='+- )
sin(e )
sin(1y x y x y y +-++='
故 x y x y x y y
d )
sin(e )
sin(1d +-++=
四、应用题
1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：
x x x C 625.0100)(2++=
625.0100
)(++=x x
x C ，65.0)(+='x x C
所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C
5.1861025.010
100
)10(=+⨯+=C ， 116105.0)10(=+⨯='C
（2）令 025.0100
)(2=+-='x
x C ，得20=x （20-=x 舍去）
因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，
平均成本最小.
2．解 （1）成本函数C q ()= 60q +2000．
因为 q p =-100010，即p q =-
1001
10
， 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(1001
10-
q )q =100110
2q q -． （2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =100110
2
q q --(60q +2000) = 40q -110
2
q -2000 且 'L q ()=(40q -110
2
q -2000')=40- 0.2q 令'L q ()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点． 所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．
3．解 C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p ) =250000-400p
R (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2 利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000，且令 )(p L '=2400 – 8p = 0
得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大. 最大利润 1100025000030043002400)300(2
=-⨯-⨯=L （元）． 4．解 由已知2
01.014)01.014(q q q q qp R -=-==
利润函数2
2
2
02.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=
则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q . 因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， 且最大利润为
1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元） 5. 解 因为 C q ()=
C q q ()=05369800
.q q
++ （q >0） q ()=(.)05369800q q ++'=059800
2.-q
令'C q ()=0，即059800
2
.-
q =0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）. q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.
所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为
C ()140=0514*******
140
.⨯++=176 （元/件）
6．解 （1） 因为 C q ()=C q q ()=2502010
q q
++
'C q ()=(
)2502010q q ++'=-+
2501
10
2q 令'C q ()=0，即-+=2501
10
02q ，得q 1=50，q 2=-50（舍去），
q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．
所以，q 1=50是C q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．。