2019-2020学年宁夏银川一中高一(上)期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年宁夏银川一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．已知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则集合A∪B的元素个数是（）A．8B．7C．6D．5
2．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）3．函数y＝的定义域是（）
A．[1，+∞）B．C．D．
4．下列函数中，是偶函数的是（）
A．y＝x3B．y＝2|x|C．y＝﹣lgx D．y＝e x﹣e﹣x 5．若函数f（x）的图象是连续不断的，且f（0）＞0，f（1）＞0，f（2）＜0，则加上下列哪个条件可确定f（x）有唯一零点
（）
A．f（3）＜0
B．f（﹣1）＞0
C．函数在定义域内为增函数
D．函数在定义域内为减函数
6．若0＜x＜1，则之间的大小关系为（）
A．B．
C．D．
7．函数的单调递增区间为（）
A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）8．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为（）
A．3 000×1.06×7元B．3 000×1.067元
C．3 000×1.06×8元D．3 000×1.068元
9．函数f（x）＝log2x+x﹣10的零点所在区间为（）
A．（0，7）B．（6，8）C．（8，10）D．（9，+∞）10．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）
A．B．
C．D．
11．函数的最大值是（）
A．B．C．D．
12．设函数，若f（﹣4）＝f（0），f（﹣2）＝﹣2，则关于x 的方程f（x）＝x的解的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷中的横线上．13．若a＞0，a≠1，则函数y＝a x﹣1+2的图象一定过点．
14．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），则f（x）＝．
15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（﹣log23）＝．
16．已知函数，且对任意的x1，x2∈R，x1≠x2时，都有
，则a的取值范围是．
三、解答题：本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣7）≤0}．（1）A∪B，（∁U A）∩（∁U B）；
（2）若集合C＝{x|x＞a}，A⊆C，求a的取值范围．
18．计算：
（1）；
（2）．
19．已知函数f（x）＝，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若f（a）＝f（b）＝，求a+b的值．
20．已知函数f（x）＝2x﹣
（1）判断函数的奇偶性
（2）用单调性的定义证明函数f（x）＝2x﹣在（0，+∞）上单调递增．
21．已知函数f（x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）．
（1）求函数的定义域；
（2）若f（x）＝lg（1+x），求x的值；
（3）求证：当a，b∈（﹣1，1）时，f（a）+f（b）＝f（）．
22．已知函数是定义在R上的奇函数，其中g（x）为指数函数，且y＝g（x）的图象过定点（2，9）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）＝a有解，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的t∈[0，5]，不等式f（t2+2kt）+f（﹣2t2﹣4）＞0恒成立，求实数k的取
值范围．
2019-2020学年宁夏银川一中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．已知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则集合A∪B的元素个数是（）A．8B．7C．6D．5
【解答】解：∵A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，
∴A∪B＝{1，2，3，4，5，7}，
∴A∪B中元素的个数为6，
故选：C．
2．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）
【解答】解：M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，
则M∩N＝{x|﹣1＜x＜1}，
故选：B．
3．函数y＝的定义域是（）
A．[1，+∞）B．C．D．
【解答】解：要使函数有意义，则3x﹣2≥0得x≥，
即函数的定义域为[，+∞），
故选：B．
4．下列函数中，是偶函数的是（）
A．y＝x3B．y＝2|x|C．y＝﹣lgx D．y＝e x﹣e﹣x
【解答】解：y＝x3和y＝e x﹣e﹣x都是奇函数，y＝﹣lgx是非奇非偶函数，y＝2|x|是偶函数．故选：B．
5．若函数f（x）的图象是连续不断的，且f（0）＞0，f（1）＞0，f（2）＜0，则加上下列哪个条件可确定f（x）有唯一零点
（）
A．f（3）＜0
B．f（﹣1）＞0
C．函数在定义域内为增函数
D．函数在定义域内为减函数
【解答】解：A如图，A错
B如图，B错
Cf（0）＞0，f（1）＞0，f（2）＜0则函数不会是增函数．C错
D由已知，函数在（12）内有一个零点，函数在定义域内为减函数，则零点唯一．D对故选：D．
6．若0＜x＜1，则之间的大小关系为（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意考察幂函数y＝x n（0＜n＜1），
利用幂函数的性质，
∵0＜n＜1，∴幂函数y＝x n在第一象限是增函数，
又2＞＞0.2
∴
故选：D．
7．函数的单调递增区间为（）
A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）【解答】解：由题意，此复合函数，外层是一个递减的对数函数
令t＝x2﹣3x+2＞0解得x＞2或x＜1
由二次函数的性质知，t在（﹣∞，1）是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
由复合函数的单调性判断知函数的单调递增区间（﹣∞，1）故选：A．
8．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为（）
A．3 000×1.06×7元B．3 000×1.067元
C．3 000×1.06×8元D．3 000×1.068元
【解答】解：随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，
预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，
设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，
依题意有y＝3 000×1.06x，
因为2014年年底到2021年年底经过了7年，
故把x＝7代入，即可求得y＝3 000×1.067．
2021年年底该地区的农民人均年收入为3 000×1.067元．
故选：B．
9．函数f（x）＝log2x+x﹣10的零点所在区间为（）
A．（0，7）B．（6，8）C．（8，10）D．（9，+∞）
【解答】解：∵f（6）＝log2 6+6﹣10＜0
f（8）＝log2 8+8﹣10＞0
故函数f（x）＝log2x+x﹣10的零点必落在区间（6，8）
故选：B．
10．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，
则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，
当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，
对比四个选项的图象可得结果．
故选：A．
11．函数的最大值是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵1﹣x（1﹣x）＝，
∴∈（0，]．
∴函数的最大值是．
故选：A．
12．设函数，若f（﹣4）＝f（0），f（﹣2）＝﹣2，则关于x 的方程f（x）＝x的解的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵f（﹣4）＝f（0），f（﹣2）＝﹣2，
∴f（x）在（﹣∞，0）上的对称轴为x＝﹣2，最小值为﹣2，
∴，解得b＝4，c＝2．
∴f（x）＝，
作出f（x）的函数图象如图所示：
由图象可知f（x）与直线y＝x有三个交点，
∴方程f（x）＝x有三个解．
故选：C．
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷中的横线上．13．若a＞0，a≠1，则函数y＝a x﹣1+2的图象一定过点（1，3）；．【解答】解：方法1：平移法
∵y＝a x过定点（0，1），
∴将函数y＝a x向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y＝a x﹣1+2，此时函数过定点（1，3），
方法2：解方程法
由x﹣1＝0，解得x＝1，
此时y＝1+2＝3，
即函数y＝a x﹣1+2的图象一定过点（1，3）．
故答案为：（1，3）
14．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），则f（x）＝．【解答】解：设幂函数的解析式为y＝x a，
∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），
∴＝2a，
解得a＝，
∴f（x）＝．
故答案为：
15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（﹣log23）＝﹣2．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣log23）＝﹣f（log23）＝﹣（2﹣1）＝﹣（3﹣1）＝﹣2，
故答案为：﹣2
16．已知函数，且对任意的x1，x2∈R，x1≠x2时，都有
，则a的取值范围是[﹣1，0）．
【解答】解：根据题意，f（x）满足对任意的x1，x2∈R，x1≠x2时，都有，则f（x）在R上为增函数，
又由函数，则有，
解可得：﹣1≤a＜0，即a的取值范围为[﹣1，0）；
故答案为：[﹣1，0）．
三、解答题：本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣7）≤0}．（1）A∪B，（∁U A）∩（∁U B）；
（2）若集合C＝{x|x＞a}，A⊆C，求a的取值范围．
【解答】解：（1）由B＝{x|（x﹣2）（x﹣7）≤0}．解得B＝{x|2≤x≤7}．
∴A∪B＝{x|2≤x＜10}；（∁U A）∩（∁U B）＝∁u（A∪B）＝{x|x＜2或x≥10}；
（2）∵集合C＝{x|x＞a}，
若A⊆C，则a＜3，即a的取值范围是{a|a＜3}．
18．计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝1+＝＝；
（2）原式＝＝．19．已知函数f（x）＝，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若f（a）＝f（b）＝，求a+b的值．
【解答】解：（1）由得：x≥0
∴函数f（x）的定义域为[0，+∞）…
（2）依题意有，
即，
故，
解得：a+b＝1．
20．已知函数f（x）＝2x﹣
（1）判断函数的奇偶性
（2）用单调性的定义证明函数f（x）＝2x﹣在（0，+∞）上单调递增．【解答】（1）解：定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f（﹣x）＝﹣2x+＝﹣（2x﹣）＝﹣f（x），
则f（x）为奇函数；
（2）证明：设0＜m＜n，
则f（m）＝2m﹣﹣（2n﹣）＝2（m﹣n）+（﹣）
＝2（m﹣n）+＝（m﹣n）•（2+），
由于0＜m＜n，则m﹣n＜0，mn＞0，
则f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．
则f（x）在（0，+∞）上单调递增．
21．已知函数f（x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）．
（1）求函数的定义域；
（2）若f（x）＝lg（1+x），求x的值；
（3）求证：当a，b∈（﹣1，1）时，f（a）+f（b）＝f（）．
【解答】解：（1）由函数有意义可得：，解得﹣1＜x＜1．
∴f（x）的定义域为（﹣1，1）．
（2）由f（x）＝lg（1+x）可得lg＝lg（1+x），
∴＝1+x，即x2+3x＝0，又﹣1＜x＜1，
∴x＝0．
（3）f（x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）＝lg，
∴f（a）+f（b）＝lg+lg＝lg，
又f（）＝lg＝lg＝lg，
∴f（a）+f（b）＝f（）．
22．已知函数是定义在R上的奇函数，其中g（x）为指数函数，且y＝g（x）的图象过定点（2，9）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）＝a有解，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的t∈[0，5]，不等式f（t2+2kt）+f（﹣2t2﹣4）＞0恒成立，求实数k的取
值范围．
【解答】解：（1）设g（x）＝a x（a＞0，且a≠1）），则a2＝9，
所以a＝﹣3 （舍去）或a＝3，
所以g（x）＝3x，f（x）＝．
又f（x）为奇函数，且定义域为R，
所以f（0）＝0，即＝0，所以m＝1，
所以f（x）＝．
（2）设t＝3x＞0，则f（x）＝a等价于＝a，解得t＝，由，解得a∈（﹣1，1）．
（3）因为f（x）＝﹣1+，所以函数f（x）在R上单调递减．
要使对任意的t∈[0，5]，f（t2+2kt）+f（﹣2t2﹣4）＞0恒成立，
因为f（x）为奇函数，所以f（t2+2kt）＞f（2t2+4）恒成立．
又因为函数f（x）在R上单调递减，
所以对任意的t∈[0，5]，t2+2kt＜2t2+4恒成立，
即对任意的t∈[0，5]，t2﹣2kt+4＞0恒成立．
当t＝0时，4＞0．此时，k∈R，
当t∈（0，5]，t﹣2k+＞0，即2k＜t+，
因为t+≥4，所以k＜2．
综上，k＜2．。