中考数学复习 专题11 一元二次方程试题(B卷,含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

一元二次方程
一、选择题
1. （某某某某，5，4分）—元二次方程x 2＋2x ＋1=0的根的情况（ ）
A ．有一个实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．没有实数根
【答案】B
【逐步提示】先根据一元二次方程x 2＋2x ＋1=0确定a 、b 、c 的值，再求判别式b 2－4ac 的值，最后根据判别式值的情况作出判断．
【详细解答】解：一元二次方程x 2＋2x ＋1=0中，a =1，b =2，c =1，所以b 2－4ac =22-4×1×1=0，故选择B .【解后反思】一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b
2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程没有实数根；当b 2－4ac ≥0
时，一元二次方程有实数根，以上结论反过来也成立．
【关键词】一元二次方程；一元二次方程根的判别式
2. （ 某某省，14，2分）a ，b ，c 为常数，且（a -c ）2>a 2+c 2，则关于x 的方程ax 2+bx +c =0根的情况是（）
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．无实数根
D ．有一根为0
【答案】B
【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的判别式，先化简不等式得到ac ＜0，进而判断出b 2－4ac 的符号，由此可知方程根的情况.
【详细解答】解：∵（a －c ）2＞a 2+c 2，即a 2－2ac+c 2＞a 2+c 2，∴ac ＜0，a ≠0.∴关于x 的方程ax 2+bx+c 是一元二次方程，且b 2－4ac ＞0，故该方程有两个不相等的实数根.
【解后反思】1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程没有实数根；当b 2－4ac ≥0时，一元二次方程有实数根，以上结论反过来也成立．ax 2＋bx ＋c ＝0来说，只有当a≠0时，这个方程才是一元二次方程.
【关键词】不等式；根的判别式；一元二次方程的定义
3. （某某省某某市，10，3分）关于x 的一元二次方程042=++k x x 有两个相等的实根，则k 的值为
（ ）
A.k =-4
B.k =4
C.4-≥k
D.4≥k
【答案】B
【逐步提示】本题考查的是一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程的根的情况得到判别式的大小是解题的关键.第一步，根据题目已知条件判断“0=∆”；第二步， 由ac b 42
-=∆，列出含有字母k 的方程并求解即可得出答案。

【详细解答】解：由x 的一元二次方程042=++k x x 有两个相等的实根，所以△=0，所以0416=-k ，解得k =4，故选择 B.
【解后反思】考查一元二次方程根的判别式的问题主要有三种形式：（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）根据方程根的情况求方程中待定系数的X 围；（3）证明方程一定有两个不相等的实数根等方程根的情况。

解决这三类问题，有一个通法，就是先算出判别式，然后根据题中的条件分别得出结论或者变形推理．
【关键词】 一元二次方程的概念及其解法；根的判别式的应用；
4. （ 某某省某某市，4，4分）一元二次方程x 2
－x －1＝0的根的情况为（ ）
A.有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
【答案】A.
【逐步提示】此题考查一元二次方程根的判别式.判断一元二次方程x 2－x －1＝0的根的情况，可根据一元二次方程根的判别式，逐一分析判断即可
【详细解答】解：△＝（－1）2－4×1×（－1）＝5＞0，∴方程x 2－x －1＝0有两个不相等的实数根，故选择A .
【解后反思】此题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式（△＝b 2－4ac ）:当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有一个实数根；当△＜0时，方程没有实数根，反之，也成立.此题的易错点是将方程的系数代入△时,计算出错.
【关键词】一元二次方程根的判别式
二、填空题
1. （ 某某省某某市、某某市、某某市、某某市、某某市、某某州、某某市等9市，15，4分）三角形的两边长
分别是3和4，第三边长是方程x 2－13x +40=0的根，则该三角形的周长为_______________．
【答案】12
【逐步提示】本题考查一元二次方程的解法和构成三角形的条件，解题的关键是正确地解一元二次方程以及合理
地根据三角形的构成条件进行取舍，首先解一元二次方程得到两个根，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行验证，取舍．
【详细解答】解：解方程x 2
－13x +40=0 得15x =，28x =，因为三角形的两边长分别是3和4，所以第三边的长度x 的X 围是17x <<，所以5x =，进而三角形的周长为12，故答案为12.
【解后反思】三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之和小于第三边.判断三条线段能否构成三角形的方法,首先计算任意两条线段的和,如果和大于最长的线段的长且任意两条线段的差都小于第三条线段的长,则这三条线段就能构成三角形.
【关键词】一元二次方程 ；三角形三边关系；
2. （ 某某省某某市，14，3分）若关于x 的x 2
+6x +k =0一元二次方程有两个相等的实数根，则k ＝．
【答案】9．
【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解一元二次方程根的判别式与一元二次方程解的关系是解题的关键．由方程根的情况，判断根的判别式的大小．
【详细解答】解：若一元二次方程有两个相等的实数根，则其判别式等于零．
∴62－4k ＝0，解得k ＝9，故答案为9 ．
【解后反思】一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)根的情况与根的判别式△=b 2-4ac 之间的关系：①△＞0⇔有两个不相等的实数根；②△=0⇔有两个相等的实数根；③△＜0⇔没有实数根.
【关键词】一元二次方程根的判别式
3. （ 某某省某某市，13，3分）已知关于x 的方程0122=-++a x x 的一个根是0，则=a ▲ ．
【答案】12
【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的概念，把已知的根代入到方程是解题的关键．把0代入方程即可求出a 的值．
【详细解答】解：把x =0代入方程2210x x a ++-=，得2a -1=0，解得a =12，故答案为12
． 【解后反思】能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的根，既然是方程的根，就要把它代入到方程中，得出关于参数的方程，再解这个含参数的方程，即可求出问题的解．
【关键词】一元二次方程的根；
4. （某某某某，14，3分）方程2x －4=0的解也是关于x 的方程x 2
＋mx ＋2=0的一个解，则m 的值为.
【答案】－3
【逐步提示】此题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是如何运用方程的解的定义解题．先求
出方程2x－4=0的解，再将此解代入方程x2＋mx＋2=0，得关于m的方程得解.
【详细解答】解：∵2x－4=0，∴x=2，∴4＋2m＋2=0，∴m=－3，故答案为－3.
【解后反思】本题的关键是了解方程的解的定义，即使方程左右两边值相等的未知数的值叫做方程的解.【关键词】方程的解的定义
5.（某某，7,2分）关于x的一元二次方程2x2－3x＋m=0有两个相等的实数根，则实数m= .
【答案】9 8
【逐步提示】①本题考查的是一元二次方程根的判别式，解题的关键是对一元二次方程的概念及根的个数判定方法熟悉.②根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到判别式△=0,转化为解关于m的一元一次方程.
【详细解答】解：由关于x的一元二次方程2x2－3x＋m=0有两个相等的实数根，所以△=0，所以(-3)2-4×2m=0，
解得m=9
8
，故答案为
9
8
.
【解后反思】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．特别要注意此关系只有一元二次方程才有，即它的前提条件是a≠0.
【关键词】一元二次方程；根的判别式
三、解答题
1.（某某，16，8分）解方程：x2-2x=4.
【逐步提示】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再代入求根公式求解.
【详细解答】x2-2x-4=0,a=1,b=-2,c=-4,△=(-2)2-4×1×(-4)=20,x=
25
2
2±
=1±5,∴x1=1+5,x2=1-5.…………8分
【解后反思】用公式法求一元二次方程的一般步骤：1.把方程化为一般形式；2.代入求根公式求解.通常情况下，我们会先求出△的值，若△≥0，直接代入求解；若△＜0，原方程无实数根.本题也可以用配方法求解，x2-2x+1=4+1,(x-1)2=5,x-1=±5,x=1±5,∴x1=1+5,x2=1-5.
【关键词】一元二次方程的解法、公式法
2.（某某某某，21(1)，5分）（2）2y2+4y=y+2．
【逐步提示】第一步：把方程左边利用提公因式法分解因式；第二步：将方程右边的项移到左边，再分解因式；
第三步：将方程转化为两个一元一次方程求解．
【详细解答】解：2y （y +2）=y +2，2y （y +2）+（y +2）=0，（y +2）（2y +1）=0，所以y +2=0或2y +1=0，解得112y =，22y =-．
【解后反思】一元二次方程的解法有多种，选用哪种方法需要根据方程特点确定，本题中方程适合因式分解，故
用因式分解法来解．一般地，一元二次方程ax ²＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有求根公式242b b ac x a
-±-=，任意一个一元二次方程都能通过这个求根公式求解，求根公式的缺点是计算量一般比较大．对于任意的方程来说，解求得正不正确可以将求出的解代入原方程进行验证．
【关键词】 一元二次方程的解法
3. （某某某某，22，10分）某蛋糕产销公司A 品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2014年底就投入资金10.89万元，新增了一条B 品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求．B 品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年每年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，年AB 两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B 品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．
（1）求A 品牌产销线2018年的销售量；
（2）求B 品牌产销线年平均每份获利增长的百分数．
【逐步提示】本题考查了列出解决方程组解决实际问题，解题的关键是正确理解“每份的获利每月平均增长率为x ”的含义以及找到题目中的等量关系．
【详细解答】解：（１）A 品牌产销线2018年销售量为9.5-（2018-2015）⨯0.5=8（万份）
（2）设A 品牌产销线平均每份获利增长的百分数为x,B 品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k 万份，依题
意可列：2(9.50.5)(1.8)11.41.82)3(12)10.89
k k x -++=⎧⎨+⋅+=⎩ 解得0.65%k x =⎧⎨=⎩或0.6105%
k x =⎧⎨=-⎩
又因x>0
所以0.65%k x =⎧⎨=⎩
所以2x=10%
即B 品牌产销线年平均每份获得增长的百分数为10%。

【解后反思】增长（降低）率是列方程解实际问题最常见的题型之一，对于平均增长率问题，正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键，常见的词语有：“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍”“增长率”等等．弄清基数、增长（减少）后的量及增长（减少）次数. 增长率问题，一般情况下，一般假设基数为a ，平均增长率为x ，增长的次数为n （一般情况下为2），增长后的量为b ，则有表达式(1)n
a x
b +=，类似的还有平均降低率问题，则有表达式(1)n a x b -=,注意区分“增”与“减”．
【关键词】一元二次方程的应用---增长率问题。