人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析

人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析
《分式》知识点复习及典例解析
一、复习目标
1.理解并记住分式的乘法法则、除法法则，会进行简单的分式乘除法计算．能解决一些与分式的乘除运算有关的简单的实际问题.
2.了解同分母分式的加减法法则，会进行同分母分式的加减运算，理解通分的意义，会通过通分把异分母的分式加减转化为同分母的分式加减.
3.能熟练地进行分式的加减乘除混合运算，提高类比的能力和代数化归的能力.
4.了解分式方程的概念，掌握解一元一次方程的分式方程的方法，了解产生增根的原因，会检捡一个数是不是分式方程的增根．
5.能够列出可化为一元一次方程的分式方程解简单实际问题．
二、重点难点
重点：分式乘除法、加减法法则的应用. 分式方程的概念，分式方程的解法难点：异分母分式加减法. 解分式方程时，去分母可能会出现增根。

三、知识概要
1. 分式的乘除
乘法法则：分式乘分式时，分子的积作积的分子，分母的积作积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后与被除式相乘. 式子表示：.;bc
ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? 2. 分式的加减
（1）分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.
（2）法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
式子表示：;c b a c b c a ±=±.bd
bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 3.分式方程的概念
分式是一种表示具体情境中数量的模型，分式方程则是表示这些数量关系之间相等关系的模型，分式方程是分母中含有未知数的方程．
4.分式方程的解法
分式方程是转化为一元一次方程来求解，它是通过去分母实现转化的．主要步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．因为分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根．
5.去分母的技巧
解分式方程的基本思路是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．去分母是解分式方程的第一步，也是关键的一步，当分式方程中分式的分母是一次式时，可直接确定最简公分母，方程两边同乘以最简公分母后实现去分母，当各分式的分母中有二次式时，要先进行因式分解，再确定最简公分母，然后再去分母．
6.验根的方法因为解分式方程可能出现增根，所以验根是必要的，验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误，另一种是把求得的末知数的值代入最简公分母，看分母的值是否为零，这种方法比较简便，但不能检查解方程过程中出现的计算错误．
7.列分式方程解决实际问题的方法步骤
（1）、审：分析问题，寻找已知、未知及相相等关系，
（2）、设：设恰当的未知数
（3）、列：根据相等关系列出分式方程
（4）、解：求出所列方程的解
（5）、验：首先检验所求的解是不是分式方程的解，然后检验所求的解是否与实际符合
（6）、答：写出答案．
四、典例解析
考点一、分式概念的运用
例1．若分式
||33x x --的值为零，则x 的值等于。

解：-3 点评：对于分式B
A ,当0≠
B 时，分式有意义；当0,A =且0B ≠时，分式值为0. 考点二、分式的化简与计算
例2 化简24214a a a
+?
+ ?-??· 分析分式的混合运算要注意运算顺序，一般情况下先算乘除后算加减，有括号的先算括号内的. 解：原式＝a a a a 244422+?-+-＝a
a a a a 2)2)(2(2+?-+2a a =- 点评：将分式化简实际上也是进行分式的运算，我们只要按照分式的混合运算法则进行运算就可以将本题顺利完成，牢记分式的加减法法则和乘除法法则以及混合运算的运算顺序是解决分式的化简与计算题的重要办法.
考点三、分式的条件求值
例3 先化简代数式22
22
1244a b a b a b a ab b --÷-+++，然后选择一个使原式有意义的a 、b 值代入求值.
分析本题先要将复杂的分式进行化简，然后再取b a 、的值代入（但你取的值必须使分式有意义）解：22221244a b a b a b a ab b --÷-+++=2
(2)12()()
a b a b a b a b a b -+?-++- =
2a b a b a b a b
++-++ =2a b a b a b +--+=b a b
+ 当1a b ==时，原式11112==+. 点评：本题化简的结果是一个整式，如果不注意的话，同学们很容易选1,1-==b a 或1,1=-=b a 代入，这是不行的，因为它们不能使分式有意义.
考点四、分式方程的解法
例7. 解方程11322x x x
-=---．分析：（1）先确定最简公分母，再两边同乘以最简公分母，将原方程化为整式方程，求出根并检验即可．
解：方程两边同乘(2)x -，得1(1)3(2)x x =----．
解这个方程，得2x =．
检验：当2x =时，20x -=，所以2x =是增根，原方程无解
点评：去分母的关键是找出最简公分母，将分式方程转化为整式方程，但还应注意：（1）灵活运用分式符号法则，有时将能使最简分母更简单，（2）方程两边同乘以最简公分母时，别忘了常数项相乘（3）当去分母时，分数线消失，应在分子部分添上括号，并且要特别注意符号．
考点五、用分式方程解决实际问题
例9 某中学学生到离学校15千米的景区春游，先遣队与大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做好准备工作，求先遣队与大队的速度各是多
少？
分析本题中有两个未知数:先遣队速度及大队速度.两个相等关系：（1）先遣队的速度=大队的速度×1.2；（2）大队行进的时间－先遣队行进的时间＝2
1小时. 解：设大队速度是x 千米/时，那么先遣队速度为x 2.1千米/时，根据题意，得
2
12.11515=-x x 解得5=x .
经检验，5=x 是分式方程的根，且符合题意. 由5=x 得652.12.1=?=x . 答：先遣队与大队的速度分别是6千米/时，5千米/时.
点评：列分式方程解应用题的关键是寻找相等关系，本题中列方程依据的相等关系是：大队行进的时间－先遣队行进的时间＝2 1小时.一般地，路程一定时求速度，要先设速度，再寻找时间之间的关系列方程.不同之处是，所列方程是分式方程，最作要进行检验，既要检验是否为所列分式方程的解，又要检验其是否符合题意．。