思考与例题讲解：研究性课题：多面体欧拉公式的发现(一)第九课时

思考与例题讲解：研究性课题：多面体欧拉公式的发现（一）第九课时
一、在教学欧拉公式时应注意些什么？
（1）本节课“多面体欧拉公式的发现”，采用了“研究性课题”的学习形式，其目的在于体现新大纲的特点，教学中，教师应充分利用其教学价值.这个课题的重要性不在于定理本身及它的应用，而在于定理的发现及证明.因此，研究的过程也是体验数学大师是如何运用数学思想方法的过程.
（2）研究这个课题时，应先从一些常见的多面体出发，对它们的顶点、棱、面的数目列出表格，让学生观察发现其中的规律后，再举更多的例子验证.进而猜想并验证结论.
（3）教学中，应适当介绍数学家等的业绩，增加学生对数学史的了解，学习数学家的献身科学、勇于探索的科学研究精神，激发学生对数学，对科学的热爱和对理想的追求.
（4）由于这是一个研究性的课题，学生是研究的主体，所以，在活动中可以让学生充分展开自由的想象，热烈的讨论，相互进行数学交流，教师在进行适当引导的同时，应小心地呵护学生思维的闪光点，通过这个过程的活动进一步培养学生的创新意识.
二、欧拉公式的证明
欧拉公式V +F －E =2，人们已给出多种证法，本节课中给出的是比较直观且不涉及其他更深知识的一种证法，适合我们的知识状况的一种证明方法，这种拉橡皮膜的方法体现了拓扑变换的特点.下面，介绍另两种思维方法供参考.
证法一：（1）假想一凸多面体的面用薄橡皮做成，内部是空的，现破掉一个面，把其余的面展平并保持原表面的多边形的边数不变，成为一个平面网络，这时V 、E 不变，只是F 少1，于是即证在网络中V －E +F =1.
（2）在网络中的多边形边数若大于3，由于每增加一条对角线，则E 、F 各加上1，V －E +F 不变，于是尽可能增加对角线，使网络成为全由三角形组成的网络.
（3）边缘上的三角形若有一个边不是与其他三角形共边，去掉这边，则V 不变，E 、F 各减少1；若有两边不与其他三角形共边，去掉这两边，则F 、V 各减少1，E 减少2，这样逐步可把“周围”的三角形一一去掉（如图）.
（4）最后剩下一个三角形，显然满足V －E +F =1，从而在凸多面体中，V －E +F =2. 证法二：设F 个面分别为n 1,n 2,…,n F 边形，则所有面角总和
∑a =（n 1－2）π+（n 2－2）π+…+（n F －2）π=（n 1+n 2+…+n F ）π－2F π
=2E π－2F π ①
如上面展成平面网络后，设去掉的一个面为n 边形，可得到一个由n 边形围成的网络，内部有V －n 个点.
则∑a =（n －2）π+（n －2）π+（V －n ）2π=（n －2）2π+（V －n ）2π②
由①、②易得我们所得到的式子.
三、欧拉公式的简单应用举例
［例1］正二十面体的棱长为a ,连结相对顶点的对角线为b ,求它的体积.
解：连结正二十面体的中心与各顶点的线段，将正二十面体分成二十个相等的正三棱锥，这个正三棱锥的侧棱长为2
b ,底面半径为33a ,由侧棱长、高、底面半径所组成的直角三角形，
求出高h =22)3
3()2(-b ∴V 正二十面体=20V 正三棱锥=20×222222436
5)33()2(4331a b a a b a -=-⋅⨯ ［例2］简单多面体每个面都是五边形，且每个顶点处有3条棱，求这个简单多面体的面数、棱数、顶点数.
解：设面数为F ，顶点数为V ，棱数为E .
∵每个面上有5条边，每两边合为一条棱
∴E =2
5F ， 又∵每个顶点处有3条棱，每2个顶点间只有1条棱. ∴E =
23V ，V =35F . 又由欧拉公式V +F －E =2得
35F +F －2
5F =2 ∴F =12，V =20，E =30.。