安徽省合肥市龙岗中学九年级数学《4.1 一元二次方程》
数学《一元二次方程》教案设计
数学《一元二次方程》教案设计•相关推荐数学《一元二次方程》教案设计作为一无名无私奉献的教育工作者，很有必要精心设计一份教案，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。
如何把教案做到重点突出呢？下面是小编收集整理的数学《一元二次方程》教案设计，仅供参考，希望能够帮助到大家。
数学《一元二次方程》教案设计1教学目标1.了解整式方程和一元二次方程的概念;2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点和难点：重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。
难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。
教学建议：1.教材分析：1)知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。
2)重点、难点分析理解一元二次方程的定义：是一元二次方程的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：(1)一元二次方程的条件是确定的，如方程( )，把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
(2)条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
(3)方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程;当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。
数学《一元二次方程》教案设计2教材分析1．本节在引言中的方程基础上，首先通过两个实际问题，进一步引出一元二次方程的具体例子，然后引导学生观察出它们的共同点，得出一元二次方程的定义。
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结
一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。
语文版中职数学拓展模块4.1《用因式分解法解一元二次方程》ppt课件3
提示：解题框架图
解：原方程可变形为：
=0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0 一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= A解
例题讲解 ☞
例1.解下列方程:
（1）x2=-4x
（2）x+3-x(x+3)=0
课堂练习1：P92练习1
议一议： 下面是小明解方程4x(2x-1)=3(2x-1)的过
九年级数学(上)
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法
X2=a (a≥0)
配方法
(x+h)2=k (k≥0)
公式法 x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
2.（1）什么叫因式分解?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式 叫做 因式分解.
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
2019/8/28
最新中小学教学课件
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2019/8/28
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2.因式分解法解一元二次方程的步骤是什么？
3.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地 显示了“二次”转化为“一次”的过程.
独立 作业
《数学补充习题》P64
结束寄语:
一 配方法和公式法是解 元二次方程重要方法,而某些方程可以用因
九年级数学《一元二次方程》评课稿
九年级数学《一元二次方程》评课稿
九年级数学《一元二次方程》评课稿
听了姚老师的《一元二次方程》这一节课，给我留下了深刻的印象。
教学过程中，姚老师能巧妙的引入新课，激发学生的学习兴趣和求知欲，能引导学生积极思维、主动地获取知识。
很注重有机地采取多种教学方法，使学生在愉快的气氛中学会数学知识。
我认为本节课以下几方面处理得好。
1、数学教学生活化，激发了学生的学习兴趣。
在新课引入、上课过程中能密切联系生活实际，使数学教学生活化。
很好的体现了以培养学生实践能力为目标的教学理念。
2、充分利用教材资源。
教学过程是师生互动的过程，产生多种资源，教师学会观察、倾听，充分利用来自学生的兴趣的资源。
在本堂课的教学设计中，姚老师非常巧妙而充分的利用了教学资源。
例如，在巩固阶段，姚老师出示了很多有趣的题目，让学生用今天所学的知识解决数学问题，并且请学生解决他们自己提的数学问题。
3、注重小组合作学习、共同探究。
姚老师有效地开展了小组合作的学习方式，例如：一开始，就以小组交流题目引入，让学生自己去探索所学的新知识；在后来的教学过程中，又让学生讨论解决问题。
真正开展了有效地小组合作学习，师生共同探究。
注重小组合作交流，可以给学生提供充分自主的活动空间和广泛交流的机会。
学生可以在平等的交往中充分展示自己的潜能，教师也成为学生学习和探究的启发者、合作者、促进者。
小组合作学习，充分赋予了课堂的活动空间。
初中数学教学课例《一元二次方程(1)》课程思政核心素养教学设计及总结反思
3．播放“未铺地毯区域有多宽”的课件，说明题 目的条件和要求，课件要求制作得精美并且可以清楚得 显示出各个量之间的关系。
4．给学生时间思考：如何明确并用数学式子表示
出题目中的各个量？ 5．让学生回答他们的答案是什么，给予点评，让
学生核对答案，可以以学生举手示意的方式掌握全班的 情况。
没有深入的理解。通过本节课的学习，应该让学生进一
步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数
学模型。
1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程
的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程
的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会
判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数 教学目标
10．设置悬念：有的同学猜测是 1 米，到底是多少， 我们后面来看一看。为后续学习做好铺垫。
11．让学生说出他们的答案，点评，其他学生核对 自己的答案；可以以学生举手示意的方式掌握全班的情 况。
12．肯定学生的表现：大家自己的探索已经很好地 打开了第二章“一元二次方程”的大门，相信同学们这 一章会学得很好。
①在这个问题中，梯子顶端下滑 1 米时，梯子底端 滑动的距离大于 1 米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子 底端滑动的距离和它相等呢？②如果梯子长度是 13 米，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相 等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
3、观察下面等式：１０2＋１１2＋１２2＝１３2 ＋１４2 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数 的平方和等于后两个数的平方和吗？
10．总结本节内容，记下作业。（分析学生在本课 中所需学习方法的掌握情况、学生的课堂学习行为与习 惯、合作学习氛围、学生认知障碍等）
一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
c: 常数项． 注：1. 方程右边等于0；
2. a≠0 ,但b和c可以等于0，
（1）若b=0,则一般形式：ax2+c=0 , 例：x2 -4=0
（2）若c=0,则一般形式：ax2+bx=0 ,例：x2 -2x=0
（3）若b=c=0,则一般形式：ax2=0 , 例：x2 =0
3. 一元二次方程的项和系数包括前面的符号。
什么是一元一次方程？
只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数一的方程叫做一元一次方程。
一元二次方程的概念：
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元
二次方程. 例：
x2＋2x－4=0
注： 1.是整式方程
2. 方程中只含有一个未知数；
3. 未知数的最高次数是2.
本节重点问高
次数是2的方程，叫做一元二次方程 .
2.一元二次方程的一般形式：ax 2 bx c 0 a 0 .
其中，ax2 是二次项； a是二次项系数； bx是 一次项 ； b是次项系数； c是常数项．
3.判断某数是否方程的解，只需将此数代入方程， 若左右两边相等，则它是方程的解，反之，不是。
例：判断下列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？
x2 2 y 3 0； 不是
x3 x 4 0； 不是
2x2-4x+2=0
是
一元二次方程的一般形式
一般形式：ax 2 bx c 0 a 0 . 例：x2-4x+3=0
ax2 ：二次项
a： 二次项系数；
bx： 一次项
b: 一次项系数；
例： x2-6x+9=0 ，一次项：-6x
一元二次方程的解：
九年级数学上册《用配方法求解一元二次方程》教案、教学设计
-鼓励学生在解题过程中，尝试不同的解题方法，培养创新思维和灵活运用知识的能力。
3.拓展作业：针对学有余力的学生，布置一些具有挑战性的题目，如涉及一元二次方程的根与系数关系的研究，或是一些开放性问题，激发学生的探究欲望和深入学习兴趣。
-鼓励学生提出不同的解题思路和方法，培养学生的创新思维和数学思维能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课时，我将利用学生已有的数学知识，通过以下方式激发学生的学习兴趣：
1.提问方式：复习一元二次方程的常见求解方法，如因式分解、公式法等，让学生回顾这些方法的原理和应用。
2.创设情境：以生活中的实际问题பைடு நூலகம்例，如“小明在计算一块矩形菜地的面积时，发现菜地的长度比宽度多2米，且面积是20平方米，请问他应该如何计算菜地的长度和宽度？”引导学生思考如何用已学的数学知识解决该问题。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习一元二次方程的积极性。
2.培养学生勇于探索、克服困难的意志品质，增强学生解决问题的自信心。
3.引导学生体会数学在解决实际问题中的应用价值，提高学生的数学素养。
4.培养学生的团队合作意识，让学生在合作中学会互相尊重、互相帮助。
本章节将通过生动的实例、丰富的教学活动，引导学生掌握配方法求解一元二次方程的知识与技能，培养学生在解决问题过程中的思维方法和情感态度，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学，提高数学素养。
3.例题讲解：选取具有代表性的例题，逐步讲解如何运用配方法求解一元二次方程，让学生跟随解题过程，加深理解。
初中数学一元二次方程知识点总结（含方法技巧归纳，易错辨析）
初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。
人教版数学九年级上册《一元二次方程》一元二次方程1
人教版数学九年级上册
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学习目标
1 理解一元二次方程的概念.（难点） 2 根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）
新课导入
问题情境1
幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为
例5 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
解：由题意，得 a 12 b 1 c 0, 即a b c 0.
思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：由题意,得 a b c 0. 即a 12 b 1 c 0. ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
0
(
×
)
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( √ )
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？
解： 若（2a-4）x2 -2bx+a=0是一元二次方程，则二次项系数不为零， ∴2a-4 ≠0，解得a≠2， 即当a≠2时， (2a-4）x2 -2bx+a=0是一元二次方程； 若（2a-4）x2 -2bx+a=0是一元一次方程，则二次项系数为零，一次项 系数不为零， ∴2a-4 =0且-2b ≠0，解得a＝2，b≠0, 即当a＝2，b≠0时， (2a-4）x2 -2bx+a=0是一元一次方程.
九年级数学上册《一元二次方程求根公式及其应用》教案、教学设计
1.通过对一元二次方程的引入，使学生掌握从实际问题中抽象出一元二次方程的一般方法。
2.通过自主探究、小组合作等方式，引导学生发现一元二次方程求根公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
3.利用求根公式解决实际问题时，引导学生分析问题、建立数学模型，提高学生解决实际问题的能力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程求根公式的推导及其应用。
2.难点：理解求根公式的推导过程，以及如何运用求根公式解决实际问题。
（二）教学设想
1.引入新课：
-通过生活实例，如抛物线运动、面积计算等，引出一元二次方程的实际背景，激发学生的学习兴趣。
-对比一元一次方程，引导学生发现一元二次方程的特点，为新课的学习做好铺垫。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动：利用多媒体展示一个实际问题，如“一个学生从地面上抛出一个球，球的最高点离地面2米，问学生抛球的高度和初速度分别是多少？”
2.提出问题：引导学生思考如何解决这个问题，从而引出一元二次方程的求解。
3.引入新课：通过对比一元一次方程，强调一元二次方程的特点，即未知数的最高次数为2，且方程的根可能有0个、1个或2个。
1.必做题：
-请同学们完成课本第chapter页的练习题，包括直接求解一元二次方程和运用求根公式解决实际问题。
-从练习中挑选两道具有代表性的题目，要求同学们写出完整的解题过程，包括解题思路、步骤和最终答案。
2.选做题：
-针对课堂上的抛物线运动实例，请同学们设计一个类似的实际问题，并运用一元二次方程求根公式进行求解。
1.学生对一元二次方程的概念理解可能不够深入，需要通过实例引入，帮助学生建立直观的认识。
初中数学九年级《一元二次方程复习课》公开课教学设计
教师概括：本章重点学习 4114 ，其中 “四个一”是一个概念：一
元二次方程； 一种思想： 降次；一个应用 : 列一元二次方程解应用题； 一种关系： 一元二次方程根与系数的关系； “一个四” 是一元二次方
程的四种解法（略）。注意：（ 1）一元二次方程与一元一次方程、
一元一次不等式、一次函数、反比例函数之间的联系。（
（ 2 ）结合问题 1（3 ） 解答强调配方法的 关键——系数化为 1 后给方程两边同 加上一次项系数一 般的平方。
（ 3 ）结合 1 （ 4 ） 解答， 追问：什么叫 一元二次方程根的 判别式？如何运用 其判别根的情况？ 结合学生回答以表 格形式呈现根的判 别式判别根的情况
重难点突
破 设计
练习设计
作业布置 板书设计
(5) 若直角三角形的两条直角边长分别是方程 根，则此直角三角形的周长是 _________.
x 2 -7x+12=0 的两
（6 ）尧柏水泥厂今年的一季度生产水泥 a 吨， 以后每季度比上一季 度增产 x% ，则第三季度生产水泥的吨数是 _____________.
集体备课
活动四 全课小结，提炼升华
个性备课
1 、针对前面复习提 纲，提问检查， 结用 实物展台展示评价 学生建构的知识结 构图。
2 、随机强调注意事 项： 1 ）一元二次方 程概念中的必须加 以体会三个条件缺 一不可合检查情况， 板书知识结构图，； 2 ）降次是解一元二
【 学生 活动 】
1 、一名学生 朗读复习要 求
2 、结合要求 反思回顾
2 、举例说明什么叫一元二次方程 ? 一元二次方程的解法思想是什 么？常用解法有哪些？各种解法的适应范围分别是怎样的？
3 、怎样利用一元二次方程根的判别式判别根的情况？ 4 、一元二次方程根与系数又怎样的关系？在应用时应注意什么？ （二）你认为本章知识之间有怎样的关系？请用你喜欢的方式构建本 章知识结构图，并与同伴交流。 活动二： 知识梳理，建构体系
九年级数学下册《一元二次方程》小结与复习
九年级数学下册《一元二次方程》小结与复习（1）证明：∵△=(m +3)2-4(m -1)=(m +1)2+4． ∵无论m 取何值时,(m +1)2+4的值恒大于0, ∴原方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵x 1,x 2是原方程的两根,∴x 1+x 2=-(m +3),x 1x 2=m +1,∵1222x x -=；∴2212()(22)x x -=, ∴(x 1+x 2)2-4x 1x 2=8,∴[-(m +3)]2-4(m +1)=8,∴m 2+2m -3=0, 解得：m 1=-3,m 2=1．当m =-3时,原方程化为：x 2-2=0,解得：122,2x x ==-． 当m =1时,原方程化为：x 2+4x +2=0,解得：1222,22x x =-+=--15·阅读下面的材料,回答问题：解方程x 4－5x 2+4=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是： 设x 2=y ,那么x 4=y 2,于是原方程可变为y 2－5y +4=0 ①,解得y 1=1,y 2=4． 当y =1时,x 2=1,∴x =±1； 当y =4时,x 2=4,∴x =±2；∴原方程有四个根：x 1=1,x 2=－1,x 3=2,x 4=－2．（1）在由原方程得到方程①的过程中,利用 换元 法达到__降次__的目的,•体现了数学的转化思想．（2）解方程（x 2+x ）2－4（x 2+x ）－12=0． 解：（2）设x 2+x =y ,原方程可化为y 2－4y －12=0, 解得y 1=6,y 2=－2．由x 2+x =6,得x 1=－3,x 2=2． 由x 2+x =－2,得方程x 2+x +2=0,b 2－4ac =1－4×2=－7<0,此时方程无解． 所以原方程的解为x 1=－3,x 2=2． 16·如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ）,现在已备足可以砌50m 长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m 2．解：设AB=xm ,则BC=（50﹣2x ）m ． 根据题意可得,x （50﹣2x ）=300, 解之得：x 1=10,x 2=15,当x =10,BC=50﹣10﹣10=30＞25, 故x 1=10（不合题意舍去）,答：可以围成AB 的长为15米,BC 为20米的矩形．17·一学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买力一批树苗,园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵,每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵,每增加1棵,所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元,但每棵树苗最低售价不得少于100元,该校最终向园林公司支付树苗款8800元,请问该校共购买了多少棵树苗？解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元,所以该校购买树苗超过60棵,设该校共购买了x 棵树苗,由题意得： x [120﹣0.5（x ﹣60）]=8800, 解得：x 1=220,x 2=80．。
一元二次方程 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
一元二次方程的一般形式： 二次项 一次项 常数项
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数 一次项系数 思考：为什么要规定a≠0？
b、c 可以为零吗？
练习1.下列方程是一元二次方程吗？
（1） x 2 4
√
（2） x 2 1 x 2 x 1
×
× （3） x 2 4 (x 2)2
程？1 x(x 1)＝8 x2 75x 350 0
2这两个方程与一元一次方程的区别
在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
一元二次方程的概念：
等号两边都是整式, 只含有一个 未知数(一元)，并且未知数的最高次 数是2 (二次)的方程,叫做一元二次 方程.
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二 次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的 概念
练习2 将下列方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及 它们的系数：
解：去括号得 3x2 3x 5x 10
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2 8x 10 0
注意：各项及各项系数都应带符号
1.一元二次方程的定义要求的三个条件。要灵活运用 定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确 定一些字母的值及取值范围
九年级-上册 第21章
21.1一元二次方程
： 难点
根据一元二次方程的一般形式，来确定各项系数
1
目录
复习回顾， 引入课题
新课讲授
课堂练习
小节
2
什么叫方程？ 目前我们已经学1 一元二次方程
一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
否
注意：有些方程化
（5） 1 1 x2 1 5
简前含有二次项，
否
但是化简后二次项
（6）ax2 bx c （0 a，b，c为常数） 系数为0，这样的
否
方程不是一元二次
知识
问题Βιβλιοθήκη 课堂回顾探究
小结
探究二：利用一元二次方程的概念解决简
单的问题
活 动1
一元二次方程的概念和一元二次方程的根 的概念的应用
练习1：在下列方程中，一元二次方程A的
一元二次方程的一般a形x2 式bx： c （0 a 0）
其中ax2是二次项，a是二次 项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项。
知识 回顾
问题 探究
课堂 小结
探究一：一元二次方程的概念
和一般形活式 动4
一元二次方程的一般形ax2式b：x c （0 a 0）
问题： （1）一元二次方程的一般形式有什么特点？ 等号的左、右分别是什么？
【解（题x+过1）程（】4x-1）
解：（1）原方程整理得：3x2+2x-3=0，所以是一元二次方程
二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是-3。
（2）原方程整理得：9x+10=0，因此它不是 一元二次方程。 【思路点拨】将方程化成一般形式，再根据其一 般形式确定它的二次项系数、一次项系数和常数 项。
【思路点拨】先将原方程化为一般形式， 再根据一元二次方程的二次项系数不能为0， 求出m的范围。
个数是（ ）
①3x2+7=0
②
ax2+bx+c=0
3x2 5 0
x
③（x-2）（x+5）=x2-1 ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
安徽省合肥市龙岗中学九年级数学《4.2 一元二次方程的
课题：4.2 一元二次方程的解法（6） 学习目标1.会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程;2.体会“降次”化归的思想方法.学习重点 用因式分解法解某些一元二次方程.学习难点 选择适当的方法解一元二次方程.学习过程一、问题情境1.将下列多项式进行因式分解：（1）x x -2 （2）x x 42-+4 （3）)3(3+-+x x x （4）22)12(x x --2.由式子0=ab ,可以得到 .二、探究新知1.请你观察下列方程特征，说出如何解方程比较简便。
（1）20x x -= （2）x x 42-+4 =0 （3）3(3)0x x x +-+= （4）22(21)0x x --=2.如果一个一元二次方程的一边是________,另一边能分解为______________,那么这样的一元二次方程就可以用因式分解法求解.三、展示交流1. 解下列方程（1）x 2-4x=0 （2）3(3)0x x x +-+=（3）22(21)0x x --= （4）(x-1)2-6(x-1)+9=02.小明解方程)2(4)2(2+=+x x 时，在方程两边都除以)2(+x ，得42=+x ，于是解得2=x .小明的解法正确吗？为什么？四、课堂反馈1.用因式分解解下列方程:（1）(21)(3)0y y +-= （2） 23x x =（3）4(21)3(21)x x x -=- （4）2(1)(1)0x x x -+-=2. 用因式分解解下列方程: (1)222(1)90(2)(21)0x x x +-=--=3. 已知一个数的平方等于这个数的5倍。
求这个数。
4. 解下列方程：（1）42)2)(1(+=++x x x （2）4)2(322-=-x x五、盘点收获、疑惑六、布置作业 93P 习题4.2 第4题。
安徽省合肥市龙岗中学九年级数学《4.2 解一元一次方程
4.2 解一元一次方程(3)活动单学习目标1．掌握用一元一次方程解决实际问题的方法，会用分配律，去括号解决关于含括号的一元一次方程．2．经历应用方程解决实际问题的过程，发展分析问题，解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用．3．通过在建立方程和解方程过程中，发展学生积极思考的学习态度以及合作交流的意识． 学习重点: 掌握含括号的一元一次方程的解法.学习难点:括号前面是负号的去括号法则.活动过程（一）.课前导学1.你还记得分配律吗？用字母怎样表示？a(b+c)=2.去括号练习：(注意符号) （ 1）、-（7y-5) = （2）、2（x+8）= （ 3）、-3（3x+4）=（二）．创设情境，引入新课1、小明用50元钱购买了面值为1元和2元的邮票共30张，他买了多少张价值1元的邮票？ 分析：设他买了x 张面值为1元的邮票，则购买面值1元的邮票共花 元，购买面值2元的邮票共花 元根据小明购买两种邮票总共花了50元钱，得方程2、甲、乙两人分别用20元和10元买了一本同样的书，甲找回的钱是乙找回钱的6倍。
求这本书的价格？分析：设这本书的价格为x 元，则甲找回的钱为 元，乙找回的钱为 元根据甲找回的钱是乙找回的6倍，得方程(三)．合作质疑，探索新知活动一：观察方程x+2（30-x ）=50,20-x=6(10-x)与以前解的方程有什么不同的地方？ 活动二：1.由方程x+2（30-x ）=50得到x+60-2x ＝50，这种变形叫做________，它要注意的是______________________________________。
2.自主学习：阅读课本102页例5、例6，了解含有括号的方程的解法.活动三：1. 下列解方程的过程对不对？如果不对，应怎样改正？解方程2（x+3）-5(1-x)=3(x-1)方法一：2x+3-5-5x=3x-3 方法二：2x+6-5+5x=3x-32x-5x-3x=-3+5-3 2x+5x-3x=-3+5-6-6x=-1 4x=-416x =x=-12.模仿练习解方程： （1）2(1)7x --= （2）5(1)23(31)x x +=-+(四)、巩固练习1.解创设情境中的两个方程。
安徽省合肥市龙岗中学九年级数学《4.1 一元二次方程》课件
A
x
4 A' 5
C
3
B X B'
?
观察上面所列方程,说出这些方程与一元一次方程的相同与不同之 处.
相同之处：(1)两边都是整式;(2)只含有一个未知数; 不同之处：一元一次方程未知数的次数是1次，一元二次方程未 知 数的最高次数是2次.
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方 程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown)
下列方程中是一元二次方程的为( C )
( A)
1
y2
3
(B) xy 4
(C)x2 3x 1
思考：关于x的方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条 件下此方程为一元一次方程？
（3）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计 到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均 增长率。
分析：
设平均每年增长的百分率为x，则 去年年底图书馆有图书________万册， 今年年底图书馆有图书________万册， 明年年底图书馆有图书________万册或________万册。
问题情境(根据题意，列出方程）
(a、b、c为常数且a ≠ 0 2） x m 22 m x 7 是关于x的一
元二次方程方程,则m的值为多少？
讨论：若上述方程是关于x的一元一 次方程，则m的值为多少？
盘点收获
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5m
3m
x
x 课 题：4.1一元二次方程
学习目标:
1、经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，感受方程是刻画现实世界的有效数学模型。
2、了解一元二次方程的概念，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax 2
+bx+c=0(a ，b 、c 是
常数，且 a ≠0)。
学习重点：
一元二次方程的概念和由实际问题列出一元二次方程 学习难点：
由实际问题转化成数学方程 。
课前预习：
上课，-----------请坐。
活动单第（2）题__________同学，你的答案是？为什么？-----(D)选项是什么方程？----今天我们就共同学习4.1一元二次方程。
（板书课题课前已经写好） 看几个，我们身边的实际问题。
自己独立完成情境创设上的4个题目。
1、只含有______个未知数，且未知数的次数是______的整式方程叫一元一次方程。
2、下列方程为一元一次方程的是（ ）
21=+y y
A 、
21=+x B 、
0=+b ax C 、
x D x 3232
=+、
3、已知关于x 的方程ax+2=4的解是
2
1
，则a=__________ 4、含有_____________个未知数，并且含有未知数的最高次数是________的整式方程叫一元
二次方程，它的一般形式是_______________________，二次项是_________，一次项是_________，常数项是_________。
5、方程2x 2
-5x=1化为一般形式为_____________，它的二次项系数是________，一次项系数
是____________，常数项是_________。
活动过程：
一、创设情境
1、正方形桌面的面积是2㎡，求它的边长。
设正方形桌面的边长是xm ，根据题意,得方程 2、如图4-1，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m ，如果花园的面积是
24㎡，求花园的长和宽。
设花园的宽是xm,则花园的长是_______________m,根据题意， 得：____________________________。
3、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均
增长率.设这两年的年平均增长率为x ，可列得方程 ____________________________。
4、如图，长5m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m 。
若梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。
设梯子滑动的距离是xm ，根据题意，得：_____________________________。
（教师巡视，等2分钟后，指定学生完成（1）、（2）题，其余学生继续完成） 从大家做的情况看，（3）（4）题比较困难，第（3)题分析过程投影上有（教师点击课件）__________同学你到黑板上完成。
（黑板上学生完成后，师生共同批改黑板上的三位学生的板书）下面我们共同解决第（4）题。
（图形教师事先已画在黑板上）刚开始5m 长的梯子斜靠在墙上用AB 表示梯子，梯子的底端距墙3m ，即BC=3m ，那么AB,AC,BA 这三条线段可以构成__________图形，有__________等量关系，可以求得AC=________m,在梯子的滑动过程
中（教师用筷子演示梯子滑动的过程）有哪些量在变，那些量没有发生变化？__________。
发现在滑动的过程中，A 'C 、B 'C 在变，你能表示出变化后的A 'C,B 'C 吗？学生集体回答。
这时三条线段还构成直角三角形吗？请_________同学上黑板写出方程，并进行整理。
（教师将三位学生的答案写在黑板规定的地方，第（4）题学生写完后，教师也将最后的方程写在规定的地方）
经过分析，将上面的4个实际生活中的问题都转化成了数学模型--方程，那么这些方程与一元一次方程有相同点与不同点吗？（教师点击课件） 二、探索活动
1、观察上面所列方程,说出这些方程与一元一次方程的相同与不同之处.
请_________同学回答，你能否归纳出一元二次方程的定义呢？ 请__________同学回答，
再请__________同学回答。
2、（1）___________________________________________叫做一元二次方程。
（教师点击课件，显示一元二次的定义，师生共同读一遍） （教师点击课件，完成一元二次方程的判断题）
一元一次方程的一般形式是ax+b=0,左边是关于x 一次二项式，通常按照x 的降幂排列，右边是0，那么一元二次方程是否也有一般形式呢？（一元一次方程的一般形式事先写在黑板的右上角）（教师点击课件，介绍一元二次方程的一般形式， 并板书，二次项，二次项
系数，一次项，一次项系数，常数项）
（2)任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成：_______________,这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax 2
、bx 、c 分别叫做________、_______和_______，a 、b 分别叫做________和________。
下面我们来解决情景创设中列出的4个方程，你能说出它们的一般形式、二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项吗？（当堂请四位学生说） 了解一下同学的掌握情况，请完成小试牛刀上的题目。
三、小试牛刀
1、下列哪些是一元二次方程？哪些不是？（对的画“√”，错的画“×”）
112=y ）（ （ ） 03222=+-y x x ）（（ ） )4)(1(332--=-x x x ）（（ ）
x
x 1
4=
）（（ ） 0252=+x x ）（（ ） 062=mx ）（（ｍ≠0的常数）（ ）
2、填表：
一元二次方程
一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
y y 2=（课前提示两种可能）
x x 32132=+
（教师巡视，学生完成差不多后，第（1）题用实物投影展示两位同学的活动单答案，请_________同学看展示的是否正确，并说出不是一元二次方程的理由，第（2）题利用实物投影展示2位学生的答案，请_________同学看是否正确，错误并订正）
刚才做了几个基础的题目，下面看一个稍难的题目---拓展迁移。
第一小题请____________同学和____________同学到黑板上写，指定学生板书的位置，其余同学写在活动单上，写好后，思考第（2）题。
四、拓展迁移：
（1） 若关于x 的
是关于x 的一元二次方程， 则m 的值为多少？
（2） 讨论：若上述方程是关于x 的一元一次方程，则m 的值是多少？
（等黑板上学生写好后，批改第（1）题，并点评，第（2）题会吗？小组讨论，讨论好的，可以举手）。
（要充分调动学生讨论的积极性，学生口述，教师书写过程）
这节课你有什么收获，可以和大家共同分享吗？____________同学，请坐。
____________同学，请坐。
五、盘点收获：
这两位同学都讲的很好。
除此之外，我们体会到了方程是刻画现实世界的有效模型，从生活实际问题抽象出一元二次方程，又用一元二次方程来解决实际问题，数学就在我们身边，因此大家一定好学好一元二次方程。
最后，完成课堂检测的1--4，选做（5）题。
六、课堂检测：
1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）. （A ）23(1)2(1)x x +=+ （B ）
21120x x
+-= （C ）20ax bx c ++= （D ）22
21x x x +=- 2、一元二次方程（3-x)2
=1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
3、如果关于x 的方程（m-2)x 2
+(m-3)x+1=0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）
A 、m=2，
B 、m≠2 ，
C 、m=3， B 、m≠3
4、某工厂经过两年时间将每种产品的产量从每年14400台提高到16900台，平均每年增长的百分率是多少？（只列出方程）
7222
=+--mx x m m ）（
（教师巡视，并让班长和课代表完成后交给老师改，然后班长改（1），（2）小组长，课代表改（3）（4）小组长，并让小组长再改成员的作业。
并让课代表向小组长统计学生的完成的情况。
（时间足够就分析选做题，不够留给学生课后思考）
（选做）5、关于x 的方程（m+1)x2+x+m2-1=0有一个解为0，试求2m-1的值。
七、课后作业：必做：课本P81 1 选做：课本P82 1（2）、(3)
思考：方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
下课，---------请坐。