湖南省长沙市长郡湘府中学2021-2022学年高一下学期数学第8周周末作业

长郡湘府中学2022年高一第二学期数学第8周周末作业
一、单选题
1．如图.AB 是圆的直径，PA AC ⊥，PA BC ⊥，C 是圆上一点(不同于A ，B )，且PA AC =，则二面角P BC A --的平面角为（ ）
A ．PAC ∠
B ．CPA ∠
C ．PCA ∠
D ．CAB ∠ 2．已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，下列
四个命题中正确的为（ ）
A ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥
B ．若//l α，//l β，则//αβ
C ．若//m α，//n α，则//m n
D ．若//l m ，m α⊂，则//l α
3．在长方形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，则AP BP ⋅的值是（ ） A ．13- B ．22 C ．13 D ．22- 4．如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，PD ⊥底面ABCD ，1AD =，2PD AB ==，点E 是PB 的中点，过A ，D ，E 三点的平面α与平面PBC 的交线为l ，则下列结论中正确的有（ ） （1）//l 平面PAD ；
（2）//AE 平面PCD ；
（3）直线PA 与l 所成角的余弦值为55； （4）平面α截四棱锥P ABCD -所得的上、下两部分几何体的体积
之比为35
． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．已知三棱锥P ABC -四个顶点都在球O 上，23PA PB PC ===，3BC =，60BAC ∠=︒.则球O 的表面积为（ ）
A ．36π
B ．16π
C ．12π
D ．163
π 二、多选题
6．如图，在棱长均相等的四棱锥P ABCD -中, O 为底面正方形的中心, ,M N 分别为侧棱PA ，PB 的中点，下列结论正确的有（ ）
A ．PD ∥平面OMN
B ．平面PCD ∥平面OMN
C ．直线P
D 与直线MN 所成角的大小为90 D ．ON PB ⊥
7．如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD 为正方形E,F ,G,H 分别为,,,PA PD PC PB 的中点.在此几何体中,给出下列结论,其中正确的结论是（ ）
A ．平面//EFGH 平面ABCD
B ．直线//PA 平面BDG
C ．直线//EF 平面PBC
D ．直线//EF 平面BDG
8．如图，已知四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平ABCD ，90DAB CBD ∠=∠=︒，260ADB BDC ∠=∠=︒，E 为PC 中点，F 在CD 上，30FBC ∠=︒，22PD AD ==，则下列结论正确的是（ ）
A ．//BE 面PAD
B ．PB 与平面ABCD 所成角为30°
C ．四面体
D BEF -的体积为33 D ．平面PAB ⊥平面PAD
三、填空题
9．若()1i 1i z +=-，则z =_______
10．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为8π，则圆柱的高为________． 11．已知复数()3i R i b z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 12．已知正六边形ABCDEF 的边长为a ，线段PA 垂直于此正六边形所在的平面，且2PA a =，则点P 到CD 的距离等于______________.
四、解答题
13．如图在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E ，F 分别是棱PC 和PD 的中点. （1）求证：EF ∥平面P AB ；
（2）若AP =AD ，且平面P AD ∥平面ABCD ，证明AF ∥平面PCD .
14．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，且60ABC ∠=︒，2PA PC ==，PB PD =. （1）若O 是AC 与BD 的交点，求证：PO ⊥平面ABCD ；
（2）若点M 是PD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的余弦值.
15．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且满足：
2cos cos cos()c C a B b B C =-+．
(1)求角C ；
(2)若6c =，ABC 的面积6sin S b B =，求ABC 的周长．
16．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ∥平面ABCD ，底面为直角梯形，CD //AB ，AD ∥AB ，且P A ＝AD ＝CD ＝2，AB ＝3，E 为PD 的中点.
(1)证明：AE ∥平面PCD ；
(2)过A ，B ，E 作四棱锥P ﹣ABCD 的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积.
参考答案：
1．C
【解】∥C 是圆上一点(不同于A ，B )，AB 是圆的直径，
∥AC BC ⊥，PA BC ⊥，AC PA A ⋂=，即BC ⊥面PAC ，而PC ⊂面PAC ，
∥BC PC ⊥，又面ABC 面PBC BC =，PC AC C ⋂=，
∥由二面角的定义：PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.
2．A
【解】对A ，若//l α，则α内必存在直线平行l ，又l β⊥，则该直线垂直β，则αβ⊥，故A 正确；
对B ，若//l α，//l β，则α与β平行或相交，故B 错误；
对C ，若//m α，//n α，则m 和n 平行、相交或异面，故C 错误；
对D ，若//l m ，m α⊂，则//l α或l α⊂，故D 错误.
3．C 【解】因为14AP AD DP AD AB =+=+，1344BP BA AD DP AB AD AB AD AB =++=-++=-， 故22133144162AP BP AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3256401316=-⨯-=. 4．C
【解】对A ，取PC 的中点F ，连接EF ，则//AD EF ，即A ，D ，E ，F 四点共面，即l 为EF ， 因为////EF BC AD ，EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，
所以//EF 平面PAD ，即//l 平面PAD ，故A 正确；
对B ：由//EF AD ，若//AE 平面PCD ．则必有//AE DF ，即四边形
ADFE 为平行四边形，则AD EF =，因为1AD =，1EF BC <=，
所以矛盾，故B 错误；
对C ：PA 与l 所成角，即PA 与EF 所成角，即PA 与AD 所成角，由
PD ⊥底面ABCD 得PD AD ⊥．则5cos 5
AD PAD AP ∠=
=， 故C 正确； 对D ：连接EC ，由A 知截面α就是平面AEFD ，下半部分分为四
棱锥E ABCD -和三棱锥E DFC -.
11422333
P ABCD ABCD V S PD -=⋅=⨯⨯=，1212133E ABCD V -=⨯⨯⨯=， 由PD ⊥底面ABCD 得PD BC ⊥，又BC CD ⊥，CD PD D =，,CD PD ⊂平面PDC ，所以BC ⊥平面PDC ，即EF ⊥平面PDC .
所以1111213226E DFC V -=⨯⨯⨯⨯=，即下半部分体积为215366
+=. 所以上半部分体积与下半部分体积之比为4533655
6
⎛⎫- ⎪⎝⎭=，故D 正确． 因此正确的结论有3个.
5．B
【解】由题知三棱锥P ABC -四个顶点都在球O 上，故该球为三棱锥P ABC -的外接球， 在ABC 中，3BC =，60BAC ∠=︒，根据三角形的外接圆半径公式2sin a r A =
， 可得ABC 的外接圆半径
133232r =⋅=，如图所示，
设P 点在平面ABC 内的投影的为D ，则3AD r ==，
在Rt PDA 中，因为222PD AD PA +=，解得3PD =，
设三棱锥P ABC -的外接球半径R ，即OP OA R ==，3OD R =-，
在ODA 中，由勾股定理得
()()22222233OD DA OA R R +=⇒-==，解得2R =，
故三棱锥P ABC -的外接球半径为2，根据球体的表面积公式24S R π=，
可得球O 的表面积为24216S ππ=⨯=.
6．ABD
【解】对于选项A ，连接BD ，显然O 为BD 的中点，又N 为PB 的中点，
所以//PD ,ON PD ⊄平面OMN ，ON ⊂平面OMN ，所以PD ∥平面OMN ，
选项A 正确；
对于选项B ，由,M N 分别为侧棱,PA PB 的中点，得MN ∥AB ，
又底面为正方形，所以MN ∥CD ，同理可得CD ∥平面OMN ,
又由选项A 得PD ∥平面OMN ，PD CD D ⋂=，
所以平面PCD ∥平面OMN ，选项B 正确；
对于选项C ，因为MN ∥CD ，所以PDC ∠（或补角）为直线PD 与
直线MN 所成的角，
又因为所有棱长都相等，所以60PDC ∠=，故直线PD 与直线MN 所成角的大小为60， 选项C 不正确；
对于选项D ，因底面为正方形，所以222AB AD BD +=,又所有棱长都相等，所以222PB PD BD +=，故PB PD ⊥，又PD ∥ON ，所以ON PB ⊥，选项D 正确.
7．ABC
【解】作出立体图形如图所示.连接,,,E F G H 四点构成平面EFGH .
对于A ，因为E,F 分别是,PA PD 的中点,所以//EF AD .又EF ⊄平
面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD .同理,
//EH 平面ABCD .又EF EH E =,EF ⊂平面EFGH ,EH ⊂平面
EFGH ，所以平面//EFGH 平面ABCD ，故A 正确；
对于B ，连接,,,AC BD DG BG ，设AC 的中点为M ，则M 也是
BD 的中点，所以//MG PA ，又MG ⊂平面BDG ,PA ⊄平面
BDG ，所以//PA 平面BDG ，故B 正确；
对于C ，由A 中的分析知//EF AD ，//AD BC ，所以//EF BC ，因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以直线//EF 平面PBC ，故C 正确；
对于D ，根据C 中的分析可知//EF BC 再结合图形可得，BC
BD B =，则直线EF 与平面BDG 不平行，故D 错误.
8．ACD
【解】对于A ，连结EF ，DE ，因为90DAB CBD ∠=∠=︒，260ADB BDC ∠∠==︒， 所以30DCB ∠=︒，30FBC ∠=︒，故BF CF =，同理可得DF BF =，故DF CF =， 所以F 为CD 的中点，又E 为PC 的中点，故//EF PD ，
又EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，故//EF 平面PAD ，
又因为6060120ADC ∠=+=︒︒︒，180120BFC FBC BCF ∠∠∠=--=︒︒， 所以ADC BFC ∠=∠，故//AD BF ，
又BF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故//BF 平面PAD ，
又EF BF F =，EF ，BF ⊂平面BEF ，
所以平面//BEF 平面PAD ，又BE ⊂平面BEF ，所以//BE 平面PAD ，故A 正确； 对于B ，因为PD ⊥平面ABCD ，所以PB 与平面ABCD 所成的角即为PBD ∠， 因为1AD =，所以2BD =，则tan 1PD PBD BD ∠==， 又0,2PBD π∠⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，故45PBD ∠=︒，故选项B 错误； 对于C ，1sin 6032
BDF S BD DF =⋅⋅⋅︒=， 因为PD ⊥平面ABCD ，//CD EF ，所以EF ⊥平面ABCD ，
又12
EF PD =，所以1h EF ==， 故11331333
D BEF
E BD
F BDF V V S h --==⋅=⨯⨯=，故选项C 正确；
对于D ，因为PD ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，所以PD AB ⊥，
又因为AB AD ⊥，AD PD D =，AD ，PD ⊂平面PAD ，
所以AB ⊥平面PAD ，又AB
平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ，故选项D 正确．
9．i 【解】因为()1i 1i z +=-，，所以()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2
z ---====-++-，所以i z =． 10．4
【解】设圆柱的高为h ，有28h ππ=，得4h =．
11．32
【解】依题意，(3i)(i)3i i (i)
b z b --==--⋅-，于是得3b -=-，解得3b =，则33i z =--， 所以.22||(3)(3)32z =-+-=.
12．7a
【解】如下图所示：因为六边形ABCDEF 为正六边形，则
120ABC BCD ∠=∠=，30ACB ∠=，90ACD ∴∠=，
则AC CD ⊥，PA ⊥平面ABCDEF ，CD ⊂平面ABCDEF ，则
CD PA ⊥，同理可得PA AC ⊥，PA AC A =，
CD 平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，PC CD ∴⊥，
因为AB BC a ==，则222cos1203AC AB BC AB BC a =+-⋅=，
所以，227PC PA AC a =+=.
13．【解】（1）因为点E ，F 分别是棱PC 和PD 的中点.，所以//EF CD ，
又//CD AB ，所以//EF AB ，而EF ⊄平面PAB ，AB
平面PAB ，所以//EF 平面PAB ；
（2）AP AD =，F 是PD 的中点，所以AF PD ⊥，
又平面P AD ∥平面ABCD ，平面P AD 平面ABCD AD =，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥， CD PD D =，,CD PD ⊂平面PCD ，所以AF ⊥平面PCD ．
14．【解】（1）连接AC 与BD 交于点O ，连OP .
PA PC =，PD PB =，且O 是AC 和BD 的中点，
PO AC ∴⊥，PO BD ⊥,AC 和BD 为平面ABCD 内的两条相
交直线，PO ∴⊥平面ABCD .
（2）取PA 的中点N ，连接MN ，则//MN AD ，则NMC
∠就是所求的角（或其补角）， 根据题意得2,3PA PC AC AB AD PO OD ======= 所以112MN AD ==，3NC =，6PD =所以，22610442MC PC PM =-=-
= 故22210cos 220
MN MC NC NMC MN MC +-∠==⋅ 15．【解】（1）因为πA B C ++=，所以()cos cos B C A +=-，
所以原等式转化为：2cos cos cos c C a B b A =+，
由正弦定理得()2sin cos sin cos sin cos sin C C A B B A A B =+=+．
因为()sin sin A B C +=，所以2sin cos sin C C C =．
因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2C =，则π3
C =． （2）由6sin S b B =，根据面积公式，得16sin sin 3sin 2b B ac B a B =
=，所以2a b =． 由余弦定理得2221cos 22
a b c C ab +-==，整理得2236a b ab +-=，将2a b =代入， 即2336b =，所以23b =，43a =．所以周长为：636a b c ++=+． 16．【解】(1)证明：因为P A ∥平面ABCD ，所以CD ∥P A .又CD //AB ，AD ∥AB ， 所以CD ∥AD .因为AD ∩P A ＝A ，所以CD ∥平面P AD ，则CD ∥AE .
因为P A ＝AD ，E 为PD 的中点，所以AE ∥PD .又CD ∩PD ＝D ，所以AE ∥平面PCD .
(2)如图，过E 作EF //CD ，交PC 于F ，连接BF ，则截面为四边形ABFE . 理由如下：
因为AB //CD ，EF //CD ，所以EF //AB ，所以A ，B ，F ，E 四
点共面，从而过A ，B ，E 的截面为四边形ABFE .
由（1）知AE ∥平面PCD ，所以AE ∥EF ，
又112
EF CD ==，2AE =，AB ＝3， 所以四边形ABFE 为直角梯形，其面积
1(13)2222
S =⨯+⨯=.。