第三章 一维势场中的粒子 讲义 2

根据x=0点ψ连续及ψ’的跃变 条件，有
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
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第24页
透射系数 反射系数
讨论： (a)δ势垒换为δ 势阱(γ→-γ)，透射及反射系 数的值不变 . (b) δ势的特征长度为 ，特征能量为 ，透 射波的振幅S只依赖于 ，即入射波波长和δ势的特 征长度之比。透射系数依赖于 特征能量与入射粒子能 量之比。当 ，高能极限下粒子将完全穿透 势垒。
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第18页
E>V0情形
令 相应有，k2=ik’，利用 sh(ik’a) = isin(k’a)， 则透射系数为
E<V0情形
在量子情况下，也不是所有粒子均能通过势垒。入射粒 子中只有百分比为T的粒子可贯穿势垒，而只有百分比为 R的粒子被势垒反射回去。
从左入射，碰到δ势垒，定态 薛定谔方程为
（3.3-1） Fang Jun 第23页
x=0是方程的奇点，该点ψ”不存在， 在x≠0处，方程 (3.3-1) 变为 表现为ψ’不连续。 积分上式， 它的两个线性独立的解的形式 为e±ikx,考虑到从左入射的假定， 与方势垒的穿透相似，本题的 解仍可表示为 在x=0， ψ’一般是不连续的。
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一维无限深方势阱
能量本征方程
V→∞
V(x)
V→∞
EV=0 0a源自x由边界条件，得到
B=0
第3章
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3.2.2 有限深对称方势阱
思考：经典粒子如何运动？ 量子力学中又会出现什么神奇的 事呢？会给我们带来惊喜吗？
。
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基态时，波函数无节点
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第11页
当粒子能量增加时，在|x|>a/2， ψ(x)的曲率减小。|x|<a/2时， ψ(x) 的振荡加快。在某个能量E处， ψ(x) 在|x|<a/2内经历一次振荡，并出现一 个节点，并且能与外面波函数光滑衔 接上，外面解不发散。此时出现第一 激发态，有一个节点。 继续下去，可以得出：只当粒子能量 取某些离散值的时候，相应的波函数 才满足束缚态边界条件。这些能量值
这里波函数解中有一个待定参数E（k,k’)，4个待定系数A,B,C, δ。另一方
面，在x=a,-a处波函数及其一阶导数连续，波函数归一化条件五个方程，
可决定5个未知数。
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如果只对问题的本征值感兴趣，不想求出波函数，也可使用边界 上波函数对数的导数连续，即
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与此不同，在经典禁区，V(x) > E，波函数是指数上升或下降 的函数， e±kx， 无振荡现象， 的正负号相同， ψ(x)总是背离x轴方向弯曲。
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3.3 δ 势
3.3.1 δ 势的穿透
对于有限方势垒
显然
设有质量为m的粒子（能量E>0）
V0→∞, a→0, 保持V0a为有限值.就 得到一个无限高而又无限窄的势 垒，即δ势垒，记为 V(x) = γδ(x) γ>0 当且仅当x=0,时, V(x)才不为0.
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即能量本征值，相应的波函数称为能
量本征函数。基态波函数无节点，激 发态节点数依次增加一个。
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3.2.4 方势垒的反射与透射
前面例子中，共同的特点是:在无穷远 处体系的波函数为零，这个条件意味 着粒子被限制在空间有限区域，利用 这个条件，我们定出了能级是分立的， 这就是所谓的束缚态问题的共同特征。 在本例中，体系在无穷远处势能为零， 这时粒子可以在无限远处出现，波函 数在无限远处不为零。
设粒子从左方射向势垒。如能量 E<V0 ， 则按经典力学，粒子必定要在x=0面被反 射回去。如 E>V0 ，则粒子将穿过势垒。 但从量子力学观点看，考虑到粒子的波动 性，此问题与波碰到一层厚度为a的介质 相似，有一部分波透过，一部分波被反射 回去。
因此，按波函数的统计解 释，无论粒子能量 E<V0 ， 或是E>V0，都有一定几率 穿透势垒，也有一定几率 被反射回去。
令， 条件变为，
，则边界
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由k和k’的表达式可知，
联立以上两式，即可解出能谱。可
用图解法求解在ξ—η平面上，以
为半径做圆，此圆与曲线
是多分支曲线，交点可能 不止一个。具体多少要看半径大 小，即V0a2的大小而定。
过坐标原点，所以它与圆周至少有一个交点 (即一个能级)存在。就是说无论方势阱多浅 多窄，至少有一个束缚定态存在。

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定性讨论能量本征值及波函数节点数
一维方势阱
基态：x<-a/2区域（经典禁 区），E<V0, 当 当x增大时， ψ(x)指数上升 （曲线上弯）。当x增到-a/2， 时，进入经典允许区，曲线 下弯，一直延续到x=a/2。在 x>a/2处，粒子又进入经典禁 区，曲线上弯。一般情况下， ψ(x)发散。只有当E取某个合 适的值时， 在 。
设三个分区的波函数分别为ψⅠ ψⅡ ψⅢ ， 则三个分区的薛定谔方程分别为
a为阱宽， V0为势阱高度。讨 论束缚态情况，（0<E< V0 ）。
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三个区的解分别为
这里已分别略去了ψⅠ 和ψⅢ中负指数 和正指数项，因为它们在x→±∞ 发散。
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3.2.5 方势阱的反射、透射与共振
对于方势阱的透射，上述理论仍然适用，令
透射系数变为
-1
V0=0, 时，相当于无势阱，T=1，粒子完全透射。 一般地，V0≠0, T<1，|R| ≠0, 粒子有一定概率被势阱弹回， 经典力学无法解释。
经典粒子如何运动？
由于没有无限远处波函数为零的约束，体系能量可以取任意值，组 成连续谱。这类问题属于粒子被势场散射问题，粒子从无限远处来， 经势场散射后又到无限远处去。在这类问题中，粒子能量是预先给 定的。
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V(x) E V0 I II 0 a III
论问题。δ势可以看成方势的一种极 限情况。事实上，所有涉及δ势的问 题，原则上均可以从方势情况下的解 取极限而得以解决。但直接采用δ势 来求解，往往要简捷的多。在δ势情 况下，粒子波函数的导数是不连续的， 尽管粒子流密度仍然是连续的。下面 仅就ψ’的跃变条件作简单讨论。
E<V0情形 I,II，III 区的薛定谔方程写为
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在势垒外（x<0, x>a），经典允许区，两个线 性无关解为e±ikx ,根据入射边界条件定解。 粒子从左入射，由于势垒存在，在x<0区域中 既有入射波eikx ,也有反射波e-ikx,而在x>a的区 域中只有透射波存在。 所以，可得到，
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δ 势阱中的束缚态
考虑粒子在δ势阱 V(x) = -γδ(x) (γ>0) 中运动。 E>0为游离态，E可以取一切实数值， 是连续变化的，E<0时则可能存在束 缚定态，E只能取分立值，以下讨论 E<0 情况。
能量本征方程为 在x≠0处， 积分， 条件
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3.2.3 束缚态与离散谱
束缚能量本征态（E<V0）的能量是 离散的，它是束缚态边界条件下的 必然结果。 按照能量本征方程，
ψ(x)总是向x轴方向弯曲
经典允许区，（V(x) < E），波函数 是x的振荡函数（sinkx, coskx）， E-V(x) 越大的地方，振荡得越快。 的正负号相反，即
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消去A,B 得
透射系数，
消去R， 得
反射系数
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经典图象:眼前无路好回头
量子图象:眼前无路穿着走
|R|2 表示粒子被反弹回去的 概率，|S|2,表示粒子穿过势 垒的概率，上式意味着概率 守恒。可以看出，即使 E<V0, 透射系数不为0，粒 子能穿透比他动能更高的势 垒（遂穿效应），是粒子波 动性的表现。
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由于
尽管ψ’在x=0点不连续，但粒子流密度连续。
可见：从流密度的连续性不能得出Ψ′的连续性。 问题在于:流密度公式中含有互为复共轭的两项，尽管Ψ′不连续， 但两项相减后就抵消了。
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它在阱内的波长满足2a=nλ,
经阱壁各次反射而透射出 去的波相位相同，相干叠
加。
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第三章 一维势场中的粒子
一、癞蛤蟆也能吃天鹅肉
二、眼前无路穿着走
E<V0, E>V0,
粒子的反射与
束缚态与离散谱
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透射。 方势阱的反射、透射、 共振。
入射粒子流密度， 反射系数 透射系数
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在势垒内部，经典禁区，通解可 写为，
x=0， ψ,ψ’的连续性条件给出，
x=a， ψ,ψ’的连续性条件给出，
两式相加减， 上两式分别相加减，
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在边界上函数及其一阶导数连续，必定也有函数对数的导数连续。 这样做的好处是在边界条件等式中消去了待定系数A, B, C，从而 绕过对它们的计算而直接去决定本征值E。
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x= ±a/2处的边界条件
时
边界条件为，
若要等式成立
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解释：如粒子能量合适， 对于给定势阱，透射系数 依赖于入射粒子能量E，T(E) 随E变化。当满足k’a = nπ ， T=1， |R| =0，发生共振透 射。
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的交点就为所求值， 但无论V0a2多小，由于曲线有一个分支点经
之后再定出能量本征值。
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δ= 0，
边界条件为
用图解法即可定出相应能谱。由于 上方程各分支曲线都不经过原点， 这两个条件有无交点要看V0a2的数 值而定。
时才出现最低的奇宇称能级。
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讨论：势阱外波函数为衰减解， 不为0，粒子有一定概率能到达 阱外。 能量为E的粒子能到达（V>E）阱 外的现象在经典理论中是不可能
的。量子力学中，粒子有波动性，
有一定概率出现在阱外。
惊喜：癞蛤蟆是可以吃着天鹅肉的！
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B. 奇宇称态
波函数应表为
3.3.3
δ势与方势的关系，
Ψ′跃变条件
δ势常作为一种理想的短程作用来讨
由波函数的连续条件(x=0 点)，可得C=0,所以不可能 存在奇宇称束缚定态。从物 理上考虑，奇宇称波函数在 x=0点必为零，而δ势又恰 好只在x=0点起作用，所以 δ势阱对奇宇称态没有影响， 因而不可能形成束缚态。
,得到Ψ′的跃变
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方程的解具有形式e±βx,。由于V(-x) = V(x)，则束缚能量本征态具有确定 宇称。
A. 偶宇称态
考虑到束缚态条件，偶宇称波函数 应表为:
为 特征长度。 归一化的波函数表示为
按Ψ′跃变条件，可得
|x|>L区域 中找到粒 子的几率 为
粒子能量本征值为
利用归一化条件