2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-1不等关

[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．(2018届邯郸期中)若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2 C ．a |c |>b |c |
D.
a c 2＋1>
b
c 2＋1
解析：A 选项不对，当a >0>b 时不等式不成立，故排除；B 选项不对，当a ＝0，b ＝－1时不等式不成立，故排除；C 选项不对，当c ＝0时，不等式不成立，故排除；D 选项正确，由于
1c 2＋1>0，又a >b 故a c 2＋1>b c 2＋1
，故选D. 答案：D
2．(2018届衡水模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a >b ，c <d ，则a c >b
d C ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d D ．若ab >0，a >b 则1a <1
b
解析：当c ＝0时，故A 错误；若a >b >0，c <0<d ，则a c <b
d ，故B 错误； ∵c >d ，∴－d >－c ∴a －d >b －c ，故C 不一定正确；若ab >0，则a >b .可以分a >b >0和0>a >b 两种情况，都有1a <1
b ，故D 正确．故选D.
答案：D
3．(2017届渝中区校级模拟)设0<a <1，b >c >0，则下列结论不正确的是( ) A ．a b <a c B ．b a >c a C ．log a b <log a c
D.a b >a
c
解析：∵0<a <1，b >c >0，∴a b <a c ，b a >c a ，log a b <log a c ，a b <a
c .∴只有D 错误，故选D.
答案：D
4．(2017届柳州一模)若x>y>1,0<a<b<1，则下列各式中一定成立的是() A．x a>y b B．x a<y b
C．a x<b y D．a x>b y
解析：y＝a x(0<a<1)在R上单调递减，y＝x a(a>1)在(0，＋∞)上单调递增，∵x>y>1,0<a<b<1，故a x<a y<b y，故选C.
答案：C
5．(2017届浙江温州质检)设a，b∈R，则“a>1，b>1”是“ab>1”的() A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：a>1，b>1⇒ab>1；但ab>1，则a>1，b>1不一定成立，如a＝－2，b ＝－2时，ab＝4>1.故选A.
答案：A
6．已知a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是()
A．a2>b2>c2B．a|b|>c|b|
C．ac>bc D．ab>ac
解析：∵a>b>c且a＋b＋c＝0，则a>0，c<0，b可大于0，可等于0，也可小于0，则当b＝0时，A、B均不成立．
又∵c<0，a>b，∴ac<bc，∴C不成立．∵a>0，b>c，
∴ab>ac.D成立．
答案：D
7．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是() A．a>b B．a＝b
C．a<b D．a，b的大小不确定
解析：a＝m＋1－m＝
1
m＋1＋m
，b＝m－m－1＝
1
m＋m－1
，因
为m＋1＋m>m＋m－1，所以a<b，选C.
答案：C
8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一
半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( )
A ．甲先到教室
B ．乙先到教室
C ．两人同时教室
D ．谁先到教室不确定
解析：设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4s
v 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝
s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，故s v 1＋s v 2>4s
v 1＋v 2
，故乙先到教室．
答案：B
9．(2017届四川乐山模拟)已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1
b 的大小关系是________．
解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫
1b 2－1a 2
＝(a ＋b )(a －b )2
a 2
b 2
.
∵a ＋b >0，(a －b )2
≥0，∴(a ＋b )(a －b )2
a 2
b 2
≥0，
∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1
b
10．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面1.2元的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买2套，则买票面1.2元的x 套与买票面2元的y 套应满足的条件为________．
解析：票面1.2元的每套1.2×5＝6元，票面2元的每套2×4＝8元，则由题意可得x ，y 应满足的条件如下：
⎩⎨⎧
x ≥2，
y ≥2，
6x ＋8y ≤50，x ，y ∈N *
，
即⎩⎨⎧
x ≥2，
y ≥2，3x ＋4y ≤25，x ，y ∈N *
.
答案：⎩⎨⎧
x ≥2，
y ≥2，
3x ＋4y ≤25，
x ，y ∈N
*
11．若1a <1
b <0，则下列不等式： ①
1a ＋b
<1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ； ④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是________．(填正确不等式的序号) 解析：由1a <1
b <0，得b <a <0， ①因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b
<0，1
ab >0， 所以
1a ＋b
<1
ab 成立，即①正确； ②因为b <a <0，所以－b >－a >0，则－b >|a |>0， 即|a |＋b <0，所以②错误；
③因为b <a <0且1a <1b <0，所以a －1a >b －1
b ，故③正确；
④因为b <a <0，所以b 2>a 2，所以ln b 2>ln a 2成立，所以④错误．故正确的是①③.
答案：①③
12．(2017届湖北期末)当p ，q 都为正数且p ＋q ＝1时，试比较代数式(px ＋qy )2与px 2＋qy 2的大小．
解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy . 因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p ，
因此(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0，
因此(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2，当且仅当x ＝y 时等号成立．
13．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往，甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们买团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车
队的收费哪家更优惠．
解：设该单位职工有n 人(n ∈N ＋)，全票价每人为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，
则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝4
5nx ，
因为y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－n 5， 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠。

14．已知a >0且a ≠1，p ＝log a (a 3＋1)，q ＝log a (a 2＋1)，比较p 与q 的大小． 解：p －q ＝log a (a 3
＋1)－log a (a 2
＋1)＝log a a 3＋1
a 2＋1
，
当a >1时，a 3
＋1>a 2
＋1，∴a 3＋1a 2＋1>1.∴log a a 3＋1
a 2＋1
>0；
当0<a <1时，a 3
＋1<a 2
＋1，∴a 3＋1a 2＋1<1.∴log a a 3＋1
a 2＋1
>0.
综上可得p －q >0，∴p >q .
[能 力 提 升]
1．(2017届安徽合肥一模)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若c a ＋b <a b ＋c <b
c ＋a
，则( )
A ．c <a <b
B ．b <c <a
C ．a <b <c
D ．c <b <a
解析：由
c a ＋b <a b ＋c <b c ＋a ，可得c a ＋b ＋1<a b ＋c ＋1<b
c ＋a ＋1，即a ＋b ＋c a ＋b
<a ＋b ＋c b ＋c <a ＋b ＋c
c ＋a ，又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b >b ＋c >c ＋a .由a ＋b >b ＋c 可得a >c ；由b ＋c >c ＋a 可得b >a ，于是有c <a <b .故选A.
答案：A
2．(2017届广东惠州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则( )
A ．f (x 1)<f (x 2)
B ．f (x 1)＝f (x 2)
C ．f (x 1)>f (x 2)
D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定
解析：解法一：f (x 1)－f (x 2)＝(ax 21＋2ax 1＋4)－(ax 22＋2ax 2＋4)＝a (x 21－x 2
2)＋
2a (x 1－x 2)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)＝2a (x 1－x 2)<0，故f (x 1)<f (x 2)．
解法二：函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，二次函数的图像开口向上，对称轴为x ＝－1.∵x 1＋x 2＝0，x 1与x 2的中点为0，x 1<x 2，∴x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离，∴f (x 1)<f (x 2)．
答案：A
3．已知－1<a ＋b <3，且2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________． 解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 则⎩⎨
⎧
x ＋y ＝2，x －y ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝52，y ＝－1
2，
因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－1
2(a －b )<－1， 所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<13
2， 即－92<2a ＋3b <132. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－92，132
4．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >b
x 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．
解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b ，
因为a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， 所以a －x ＝b －y ，因此①不成立，
因为ax ＝－6，by ＝－6，所以ax ＝by ，因此③也不成立．
因为a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，
所以a y ＝b
x ，因此⑤不成立． 由不等式的性质可推出②④成立． 答案：②④
5．已知a >0且a ≠1，m >n >0，比较A ＝a m ＋1a m ，B ＝a n ＋1
a n 的大小． 解：A －B ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫a m ＋1a m －⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ＝a m －a n ＋1a m －1a n ＝(a m －a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a m ＋n .
当0<a <1时，∵m >n >0，∴0<a m ＋n <1，∴1
a m ＋n
>1，
∴1－
1
a
m ＋n <0，而
a m －a n <0，∴A －B >0，因此A >B .
当a >1时，∵m >n >0，∴a m ＋n >1，∴1
a
m ＋n <1，
∴1－
1
a
m ＋n >0，而
a m －a n >0，∴A －B >0，此时A >B .
综上所述，A >B .。