江苏省江阴南闸实验学校2017届九年级下学期第一次月考数学试题

江阴南闸实验学校2017届九年级下学期第一次月考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数y ＝中自变量x 的取值范围是( )
A. x ＞2
B. x ≥2
C. x ≤2
D. x ≠2
2．某班6名同学体能测试成绩如下：80，90，75，75，80，80．下列表述错误的是( )
A. 平均数是80
B. 极差是15
C. 中位数是75
D. 方差是25
3．已知⊙O 的半径是5，直线l 是⊙O 的切线，P 是l 上的任一点，那么下列结论正确的是
( )
A. 0＜OP ＜5
B. OP ＝5
C. OP ＞5
D. OP ≥5
4．二次函数y ＝x 2－2x ＋3的图像的顶点坐标是 ( )
A. (1，2)
B. (1，6)
C. (－1，6)
D. (－1，2)
5．已知圆锥的底面半径为3cm ，母线为5cm ，则圆锥的侧面积是 ( )
A. 30πcm 2
B. 15πcm 2
C. 152
cm 2 D. 10πcm 2 6．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是 ( )
A. k ＞－1
B. k ≥－1
C. k ＜－1
D. k ≤－1
7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，下列结论正确的是 ( )
A. sin A ＝2
B. tan A ＝12
C. cos B ＝2
D. tan B 8．如图，⊙O 的直径CD ＝5cm ，弦AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ︰OD ＝3︰5．则AB 的长是( )
B. 3cm
C. 4cm 9．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，动点P 、Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度分别沿A →B →C 和A →D →C 的路径向点C 运动，设运动时间为x (单位：s)，四边形PBDQ 的面积为y (单位：cm 2)，则y 与x (0≤x ≤8)之间的函数关系可用图象表示为 ( )
A. B. C. D.
10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 边的中点，过D 作DE ⊥BC 于点E ，点P 是边BC 上的一个动点，AP 与CD 相交于点Q ．当AP ＋PD 的值最小时，AQ 与PQ 之间的数量关系是（ ）
A. AQ ＝52PQ
B. AQ ＝3PQ
C. AQ ＝83
PQ D. AQ ＝4PQ
二、填空题
11．分解因式：2b 2-8b+8=________________．
12．一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________．
13．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2，AD ＝4，DB ＝6，则BC ＝___________．
14．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝58°，则∠BCD 的度数为______．
15．若反比例函数13k y x
-=
的图像经过第一、三象限，则 k 的取值范围是_______. 16．如图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的EF 上，若OA ＝3cm ，∠1＝∠2，则EF
的长为________cm ．
17．如图，等边△ABC 中，D 是边BC 上的一点，且BD ：DC=1：3，把△ABC 折叠，使点A 落在边BC 上的点D 处，那么AM AN
的值为____．
18．若m 1，m 2，…m 2016是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m 1+m 2+…+m 2016=1546，
（m 1﹣1）2+（m 2﹣1）2+…+（m 2016﹣1）2=1510，则在m 1，m 2，…m 2016中，取值为2的个数为____．
三、判断题
19．（1
()
1
0123π-⎛⎫︒+-- ⎪⎝⎭；（2）化简：111?1x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭． 20．解方程或不等式组 （1）解方程：23)3x x -=-（；（2）解不等式组：210,
{120.2
x x -≥-+> 21．为了解学生参加户外活动的情况，某校对初三学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)将条形统计图补画完整．
(2)求每天参加户外活动时间达到2小时的学生所占调查学生的百分比．
(3)这批参加调查的初三学生参加户外活动的平均时间是多少．
22．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段D E 上一点，且∠AFE=∠B ．
（1）求证：△ADF ∽△DEC ；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE 的长．
23．某商店从厂家以每件20元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价。

据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（360-10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%．
（1）如果商店计划要获利480元，则每件商品的售价a应定为多少元？
（2）当每件商品的售价a定为多少元时，商店获利最大？并求此时的最大利润.（每件商品的利润=售价-进货价）
24．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别交于A、B 两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为(0，1)，点D的坐标为(6，－1)．
（1）求证：DC FC
；
（2）判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）求⊙P的半径的长．
25．如图（1），一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在线段OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，如图（2），此时，点A、C的对应位置分别是点B、D，测量出∠ODB为37°，点D到点O的距离为28cm．
（1）求B点到OP的距离．（2）求滑动支架AC的长．（参考数据：sin37°=3
5
，cos37°=
4 5，tan37°=
3
4
)
26．如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
四、解答题
27．九年级一班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为x，按表格要求确定奖项．
（1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率；
（2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？
28．在初中数学中，我们学习了“两点间的距离”、“点到直线的距离”、“平行线之间的距离”，距离的本质是“最短”，图形之间的距离总可以转化为两点之间的距离，如“垂线段最短”的性质，把点到直线的距离转化为点到点（垂足）的距离．
一般的，一个图形上的任意点A与另一个图形上的任意点B之间的距离的最小值叫做两个图形的距离．
（1）如图1，过A，B分别作垂线段AC、AD、BE、BF，则线段AB和直线l的距离为垂线段的长度．
（2）如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，AD=2，那么线段AD与线段BC的距离为．
（3）如图3，若长为1cm的线段CD与已知线段AB的距离为1．5cm，请用适当的方法表示满足条件的所有线段CD．
注：若满足条件的线段是有限的，请画出；若满足条件的线段是无限的，请用阴影表示其所在区域．（保留画图痕迹）
参考答案
1．C
【解析】试题分析：本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：2x-1≥0，解得x 的范围．
解：根据题意得：2-x≥0，
解得，x≤2．
故选C ．
考点：函数自变量取值范围的求法．
2．C
【解析】试题分析：根据平均数的计算公式、极差和中位数定义、方差公式分别对每一项进行分析即可．
解：A 、平均数是（80+90+75+75+80+80）÷6=80，正确；
B 、极差是：90﹣75=15，正确；
C 、把这组数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数是
=85，则中位数是85，错
误； D 、方差：[3×（80﹣80）2+（90﹣80）2+2×（75﹣80）2]=25，正确．
故选C ．
考点：方差；加权平均数；中位数；极差．
3．D
【解析】试题分析：切点到圆心的距离等于半径，除切点外的任意一点到圆心的距离大于5，则OP≥5．
考点：切线的性质
4．A
【解析】试题分析：将二次函数化为顶点式为：y=
，则函数的顶点坐标为（1,2）． 考点：二次函数的顶点坐标
5．B
【解析】=35=15S rl πππ=⨯⨯侧 ，故选B.
6．C
【解析】试题分析：当一元二次方程的根的判别式小于零时，则方程没有实数根.即4+4k 0，解得：k -1.
考点：根的判别式
7．D
【解析】11sin ,tan ,tan 232A A B B ====故选D.
8．C
【解析】连接OA ,
⊙O 的直径CD ＝5cm ，OM ︰OD ＝3︰5
3522
OM OA ∴==， AB ⊥CD
2224
AM AB ∴==∴=⨯= 故选C.
9．B
【解析】试题分析：根据题意结合图形，分情况讨论：
①0≤x≤4时，根据四边形PBDQ 的面积=△ABD 的面积﹣△APQ 的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；
②4≤x≤8时，根据四边形PBDQ 的面积=△BCD 的面积﹣△CPQ 的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
解：①0≤x≤4时，
∵正方形的边长为4cm ，
∴y=S △ABD ﹣S △APQ ，
=×4×4﹣•x•x ，
=﹣x 2+8，
②4≤x≤8时，
y=S △BCD ﹣S △CPQ ，
=×4×4﹣•（8﹣x ）•（8﹣x ），
=﹣（8﹣x ）2+8，
所以，y 与x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B 选项图象符合．
故选：B ．
考点：动点问题的函数图象．
10．B
【解析】作点A 关于BC 的对称点1A ，连接1
A D ，交BC 于点P ，此时AP PD + 最小.作QF BC ⊥ ，垂足为F .分别以直线BC 、直线AC 为x y 、 轴，建立平面直角坐标系.
设()()()()()10,00,20,22,0,C A b A b B a D a b -、、、、 得直线CD b y x a =
直线132A D b y x b a =- 交BC 于2,03a P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴ 直线32AP b y x b a =-
+，交直线CD 于点,22a b Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭ QF BC ⊥ ∴,02a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴21132132
a a PQ PF AQ CF a -=== 3AQ PQ ∴= .
故选B.
11．2（b-2）2
【解析】试题分析：先提取公因式2，再根据完全平方公式分解因式即可.
．
考点：因式分解
点评：解答此类因式分解的问题要先分析是否可以提取公因式，再分析是否可以采用公式法. 12．3
【解析】试题分析：对于一元二次方程
+bx+c=0的两个根为和，则+=－，·=．
考点：韦达定理
13．5
【解析】试题分析：根据DE ∥BC 可得：△ADE ∽△ABC ，则，即，解得：BC=5．
考点：三角形相似
14．32°
【解析】试题分析：连接AD ，根据直径AB 可得：∠ADB=90°，根据△ABD 的内角和定理可得：∠A=180°－90°－58°=32°，根据同弧所对的圆周角相等可得：∠BCD=∠A=32°． 考点：圆的基本性质
15．k ＜13
【解析】由题意得：130k -> ，则13k <
. 16．2π
【解析】连接OB ，则OAB ∆ 为等边三角形.
6060212012
1201203=2180AOB AOC EOF AOC lEF ππ∴∠=︒
∴∠=︒⨯=︒
∠=∠∴∠=∠=︒
⨯∴=
17．57
【解析】解：由题意得：,B C BMD CDN ∠=∠∠=∠
BDM CND
BD MD BM CN DN CD
∴∆~∆∴==
设,3,,BD k CD k AN x AM y ==== 则4==43k y k y k x x k
-- 即34{4ky kx xy kx ky xy
=-=- 得344y x x y -=-
57
y x ∴= 18．520
【解析】试题分析：解决此题可以先设0有a 个，1有b 个，2有c 个，根据据题意列出方程组
求解即可．设0有a 个，1有b 个，2有c 个， 由题意得
， 解得， 故取值为2的个数为502个
考点：(1)、规律型：(2)、数字的变化类．
19．（1
；（2）11
x - 【解析】（1
）原式13-
2=
（2）原式1=1x x x
⋅- 11
x =- 20．（1）123,4x x ==（2）
142x ≤< 【解析】（1）解：
()()()()()12(30
3310
34030,40
3,4
x x x x x x x x x x --=---=--=∴-=-=∴==
（2）
()
() 2101 {1
202
2
x
x
-≥
-+>
解不等式（1）得：
1
2 x≥
解不等式（2）得：4
x<
∴原不等式组的解集为1
4 2
x
≤<.
21．（1）图象见解析；（2）16%；（3）1．18小时．
【解析】试题分析：（1）首先根据0．5小时的人数和百分比得出总人数，然后根据总人数和百分比得出人数；（2）根据2小时的人数和总人数得出百分比；（3）根据平均数的求法得出平均数．
试题解析：（1）10÷20%=50 50×24%=12
（2）8÷50×100%＝16%．
（3）户外活动的平均时间＝＝1．18（小时）．
考点：统计图
22．(1）证明见解析；（2）4．
【解析】试题分析：（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行线的内错角），而∠AFD 和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）在Rt△ABE中，由勾股定理易求得DE的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出AF的长．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）∵CD=AB=8，AE⊥BC，
∴AE⊥AD；
在Rt△ADE中，
∵△ADF∽△DEC，
∴；
∴
∴AF=4．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质．
23．（1）每件商品售价应定为24元.（2）当a =25元时，商店获利最大，最大利润为550元
【解析】(1)解：依题意得：()()2036010480a a --=
化简得：2567680a a -+=
解得1224,32a a ==
∵a≤20（1+25％），即a≤25
∴a=32不合题意，舍去，取a=24
答：每件商品售价a 应定为24元.
(2)设：获利为w 元，则w=()()2036010a a --
配方得：w=()2
1028640a --+
∵-10<0,当a<28时，w 随a 的增大而增大
又∵a≤25 ，∴当a=25时，w 取得最大值，
此时w 最大=()2102528640--+=550（元）
答：当a=25元时，商店获利最大，最大利润为550元.
24．（1）证明见解析；（2）⊙P 与x 轴相切．理由见解析；（3）5.
【解析】（1）证明：过点D 作DH⊥x 轴于点H ，则∠CHD=∠COF =90°． ∵点F 的坐标为（0，1），点D 的坐标为（6，-1），∴DH=OF，
∵在△FOC 与△DHC 中，
∠FCO＝∠DCH
∠FOC＝∠DHC＝90°
OF ＝HD
∴△FOC≌△DHC（AAS ），
∴DC=FC；
（2）答：⊙P 与x 轴相切．理由如下：
如图，连接CP ．
∵AP=PD，DC=CF ，
∴CP∥AF，
∴∠PCE=∠AOC=90°，即PC⊥x 轴．
又PC 是半径，
∴⊙P 与x 轴相切；
（3）解：由（2）可知，CP 是△DFA 的中位线，
∴AF=2CP．∵AD=2CP，
∴AD=AF．连接BD ．
∵AD 是⊙P 的直径，
∴∠ABD=90°，
∴BD=OH=6，OB=DH=FO=1．
设AD 的长为x ，则在直角△ABD 中，由勾股定理，得
x 2=62+（x-2）2，解得 x=10．
∴⊙P 的半径为5．
25．（1）12cm ；（2）20cm
【解析】（1）作BE OD ⊥ ，垂足为E
设cm OE x =
45BOE ∠=︒
cm BE x ∴=
28m OD =
()28cm DE x ∴=-
在Rt BDE ∆ 中，37BDE ∠=︒
3tan374
BE DE ∴︒== 即3284
x x =- 解得：12x =
即12cm BE =
（2）在Rt BDE ∆ 中，37BDE ∠=︒
3sin375BE BD ∴︒=
= 即1235
BD = 解得20BD =
即滑动支架AC 的长为20cm .
26．(1)y =-x 2+2x +3;(2)证明见解析；（3）满足题意的点P 存在，其坐标为（1，4-+）．
【解析】（1）解：由抛物线的顶点是M（1，4），
设解析式为y=a（x-1）2+4（a＜0）
又抛物线经过点N（2，3），
所以3=a（2-1）2+4，解得a=-1
所以所求抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3
（2）证明：直线y=kx+t经过C(0,3)、M（1，4）两点，
∴,即k=1，t=3，即：直线解析式为y=x+3…4分
求得A(-1，0),D(-3，0)，∴AD=2
∵C(0,3), N（2，3）
∴CN=2= AD，且CN∥AD
∴四边形CDAN是平行四边形．……………6分
（3）解：假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u）其中u＞0，
则PA是圆的半径且PA2=u2+22过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．
由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，
由P（1，u）得PE=u，PM=|4-u|，PQ=
由PQ2=PA2得方程：=u2+22，……………………………………8分
解得，舍去负值u=，符合题意的u=，…………9分
所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，）．…
27．（1）
1
10
；（2）不一定.理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲同学获得一等奖的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）由树状图可得：当两张牌都是2时，|x|=0，不会有奖．
试题解析：（1）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，甲同学获得一等奖的有2种情况，
∴甲同学获得一等奖的概率为：21 2010
；
（2）不一定，当两张牌都是3时，|x|=0，不会有奖．
考点：列表法与树状图法．
28．（1）AC的长度；（2）3；（3）见解析．
【解析】
试题分析：（1）根据两图形之间距离定义，得出线段AB和直线l的距离即可；
（2）首先过点D作DE⊥BC于点E，进而利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，进而求出DE的长；
（3）根据两图形之间距离定义，利用CD的长为1cm，且线段CD与已知线段AB的距离为1．5cm，得出符合题意的图形是两个半圆以及矩形组成的图形．
试题解析：（1）如图所示：
过A，B分别作垂线段AC、AD、BE、BF，
则线段AB和直线l的距离为垂线段为：AC的长度；
（2）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，AD=2，
∴∠A=60°则∠ACD=30°，
∴AC=2AD=4，
∴AB=2AC=8，
∴BD=6，
则DE=1
2
BD=3；
（3）如图3所示：
．
考点：1．作图—应用与设计作图；2．直线的性质：3．两点确定一条直线；4．垂线段最短；5．点到直线的距离．。