高一数学(必修一)《第五章 函数y=Asin(ωxφ)》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第五章 函数y=Asin （ωx φ）》练习题及答案解析-人教版
班级:___________姓名：___________考号：___________
一、解答题
1．已知函数()2sin(2)16f x x a π
=+++，且当[0,]2
x π∈时()f x 的最小值为2.
（1）求a 的值；
（2）先将函数()y f x =的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的1
2，再将所得的图像向右平移
12
π
个单位，得到函数()y g x =的图像，求方程()4g x =在区间[0,]2
π
上所有根之和.
2．写出将sin y x =的图像变换后得到2sin 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像的过程，并在同一个直角坐标平面内画出每一
步变换对应的函数一个周期的图像（保留痕迹）． 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜
2
π
)的部分图象如图所示．
（1）求函数f (x )的解析式；
（2）如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程． 4．用“五点法”画出函数2sin y x =在区间[]0,2π上的图象． 5．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω与2
π
ϕ<)，在同一个周期内，当4
x π
=
时，则y 取最大值1，
当712
x π
=
时，则y 取最小值-1． (1)求函数()f x 的解析式．
(2)函数sin y x =的图象经过怎样的变换可得到()y f x =的图象 (3)求方程()()01f x a a =<<在[]0,2π内的所有实数根之和． 6．已知函数()2cos 44
f x x ππ
⎛⎫=-
⎪⎝⎭
. (1)求函数()f x 图象的对称轴；
(2)将函数()f x 图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x k =+在()
2,4-
上有两个零点，求实数k 的取值范围.
7．2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，则火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： 0
ln
k
m v m ω=，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中ω为发动机的喷射速度，0m 和k m 分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量．0
k
m m 被称为火箭的质量比．
(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；
(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．（参考数据：
ln20.69≈，无理数e 2.71828=）
二、单选题
8．为了得到函数3sin 2y x =的图象，只要将函数3sin(21)y x =-的图象（ ） A ．向左平移1个单位长度 B ．向左平移1
2个单位长度
C ．向右平移1个单位长度
D ．向右平移12
个单位长度
9．函数sin3y x =的图象可以由函数cos3y x =的图象（ ） A ．向右平移6
π个单位得到 B ．向左平移6
π个单位得到 C ．向右平移
3π
个单位得到 D ．向左平移
3
π
个单位得到 10．要得到函数()2cos 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
的图像，只需将cos2y x =的图像（ ）
A ．向左平移3π个单位长度
B ．向右平移3
π
个单位长度
C ．向左平移
23
π
个单位长度 D ．向右平移
23
π
个单位长度 11．为了得到函数3sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像，只需把函数3sin y x =图像上所有点（ ）
A ．向左平行移动3
π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
B ．向左平行移动
3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C ．向左平行移动6
π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
D ．向右平行移动
3
π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 12．要得到函数π3sin 25y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像，需（ ）
A ．将函数3sin π5y x =⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B ．将函数π3sin 10y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π
5
个单位长度
D ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移
π
10
个单位长度
13．为了得到函数2cos2y x =的图象，只需把函数2cos 2y x x =+的图象（ ） A ．向左平移
3
π
个单位长度 B ．向右平移
3
π
个单位长度 C ．向左平移6
π个单位长度 D ．向右平移6
π个单位长度
三、填空题
14．将函数()f x 的图象向左平移
π6
个单位长度后得到()()sin y g x A x ωϕ==+（0A >，0>ω与π2ϕ≤）
的图象如图，则()f x 的解析式为_____．
15．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若2OA =，则AOB ∠所对应的弧长为______．
参考答案与解析
1．（1）2a =；（2）
3
π
. 【分析】（1）由于当[0,]2
x π
∈时()f x 的最小值为2，所以min ()112f x a =-++=，从而可求出a 的值；
（2）由图像变化可得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1
sin(4)62
x π-=，从而可求出x 的值
【详解】（1）()2sin(2)16f x x a π
=+++，∵[0,]2
x π∈，∴72[,]666x πππ+∈
∴min ()112f x a =-++=，∴2a =；
（2）依题意得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1
sin(4)62
x π-=
∴426
6
x k π
π
π-=
+(k Z ∈)或5426
6
x k π
π
π-
=
+(k Z ∈) ∴212k x ππ=
+或24k x =+ππ
，解得12
x π=或4x π= ∴所有根的和为
124
3
π
π
π
+
=
.
【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像的变换，考查转化能力和计算能力，属于基础题
2．答案见解析．图像见解析
【分析】由三角函数图像中的相位变换、周期变换、振幅变换叙述变换过程，然后作出图像变换的过程即可.
【详解】先将sin y x =的图像上各点向右平移
4π个单位得到函数sin 4y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像
再将函数sin 4y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭图像上的每一个点保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到函数
sin 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像.
再将函数sin 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭图像上的每一个点保持横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数
2sin 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像.
3．（1）f (x )＝sin (2)6
x π
+ ；（2） 答案见解析.
【分析】（1）由图像可得A ＝1，51264
T
ππ-=结合2T πω=可求出ω的值，然后将点(,1)6π代入解析式可求出ϕ
的值，从而可求出函数f (x )的解析式； （2）利用三角函数图像变换规律求解
【详解】(1)由图像知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×5()126ππ
-＝π，故ω＝2T
π＝2 将点(,1)6π代入f (x )的解析式得sin ()3π
ϕ+＝1
又|φ|＜
2
π，∴φ＝6π
.
故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin (2)6x π
+.
(2)变换过程如下：
y ＝sin x 图像上的所有点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图像，再把y ＝sin 2x 的图像,向左平移12π
个单位y ＝sin (2)6
x π+的图像． 4．答案见解析
【分析】利用五点作图法，列表、描点、连线可作出函数sin y x =在区间[]0,2π上的图象. 【详解】解：按五个关键点列表如下：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
5．(1)()sin 34f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
(2)答案见解析 (3)112
π
【分析】(1)结合已知条件可求出A ，最小正周期T ，然后利用最小正周期公式求ω，通过代值求出ϕ即可；(2)利用平移变换和伸缩变换求解即可；(3)利用正弦型函数的对称性求解即可. (1)
设()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期为T 由题意可知，1A =，1721243T πππ
=
-=即223T ππω== ∴3ω=，即()()sin 3f x x φ=+
∵3sin 14πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
∴
3242
k ππ
ϕπ+=+ k Z ∈ 又2
π
ϕ<
，∴4
π
ϕ=-
∴()sin 34f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭．
(2)
利用平移变换和伸缩变换可知，sin y x =的图象向右平移
4π个单位长度，得到sin 4y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象
再将sin 4y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到sin 34y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象．
(3)
∵()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的最小正周期为23π
∴()sin 34f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在[]0,2π内恰有3个周期
故所有实数根之和为
1119112
662
π
πππ
+
+=． 6．(1)14x k =+ k ∈Z (2)()2,0-.
【分析】（1）求出()2sin 4
4f x x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解方程442x k ππππ+=+，k ∈Z 即得解；
（2）求出()2cos 4
g x x π
=，即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，再利用数形结合
分析求解. （1）
解：因为()2cos 44f x x ππ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.
令442
x k πππ
π+=+，k ∈Z ，解得14x k =+ k ∈Z 所以函数()f x 图象的对称轴为直线14x k =+ k ∈Z . （2）
解：依题意，将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象对应函数的解析式为
()()2sin 12cos 4
44g x x x π
ππ⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦.
函数
()y g x k
=+在(
)
2,4-上有两个零点
即函数
()
y g x =的图象与直线
y k =-在()2,4-上有两个交点，如图所示
所以02k <-<，即20k -<< 所以实数k 的取值范围为()2,0-. 7．(1)2.8千米/秒
(2)该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒，理由见解析
【分析】（1）明确0k m m ω、、各个量的值，代入即可;
（2）求出最大理想速度max v ，利用放缩法比较max 2ln10v =与7.9的大小即可. （1）
2ω=，0160m =和40k m =
0ln
k m v m ω∴=2160
2ln 2ln 42ln 24ln 2 2.7640
=⨯===≈ ∴该单级火箭的最大理想速度为2.76千米/秒.
（2）
10k
m M ≤ 2ω= 0
max ln k
m v m ω∴=2ln10= 7.9
7.97128e
22>>=
7.97.9ln ln128ln1002ln10e ∴=>>=
max v ∴2ln107.9=<.
∴该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒.
8．B
【分析】根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．
【详解】解：()13sin 213sin 22y x x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
=⎭
∴把函数13sin 22
x y ⎛
⎫
- ⎝
=⎪⎭
的图形向左平移1
2个单位可得到函数3sin 2y x =．
故选：B ． 9．A
【分析】化简函数sin 3cos[3()]6
y x x π
==-，结合三角函数的图象变换，即可求解.
【详解】由于函数3sin 3cos(3)cos(3)cos[3()]226
y x x x x πππ==+
=-=- 故把函数cos3y x =的图象向右平移6π
个单位，即可得到cos3sin 36y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝
⎭的图象.
故选：A. 10．B
【分析】直接由三角函数图象的平移变换求解即可. 【详解】将cos2y x =的图像向右平移3π个单位长度可得2cos2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛
⎫
=-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
. 故选：B. 11．A
【分析】利用三角函数图象变换规律求解即可
【详解】将3sin y x =向左平移3π长度单位，得到3sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得的各点的横坐标缩短到原来的12，
可得
3sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭的图象 故选：A 12．D
【分析】根据三角函数的图像变换逐项判断即可.
【详解】解：对于A ，将3sin π5y x =⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到
1
π3sin 2
5y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；
对于B ，将π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1
π3sin 210y x ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭的图像，错误；
对于C ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度后，得到2π3sin 25y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像，错误；
对于D ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度后，得到π3sin 25y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像，正确.
故选:D. 13．C
【分析】化简2cos 2y x x =+，再根据三角函数图象平移的方法求解即可
【详解】12cos 22cos 222cos 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，因为2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移6π
个单位长度得到2cos 22cos263ππ⎡⎤
⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦y x x
故选：C
14．()2π2sin 23f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
【分析】由图像可知，函数的最值、最小正周期，可得,A ω的值，代入点5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
，进而解得ϕ的值，根据
函数的图像变换规律，可得答案.
【详解】由题图可知()max 2A g x ==，函数()g x 的最小正周期为45πππ3123T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2π
2T ω=
=，所以()()2sin 2g x x ϕ=+．
又5π5π2sin 2126g ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以5πsin 16ϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭，所以5ππ2π62k ϕ+=+（k ∈Z ），解得π2π3k ϕ=-（k ∈Z ）． 因为π2ϕ≤
，所以π
3ϕ=-，所以()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭．将函数()g x 的图象向右平移π6个单位长度后可得到
函数()f x 的图象
故()ππ2π2sin 22sin 2633f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．
故答案为：()2π2sin 23f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
15．
4π
9
【分析】根据题意得到圆心角2π
9
AOB α=∠=
，结合弧长公式，即可求解.
第 11 页 共 11 页 【详解】由题意，可知圆心角2π9AOB α=∠=，半径2r OA == 所以AOB ∠所对应的弧长为2π4π299
l r α==⨯=． 故答案为：
4π9.。