甘肃省高台县第一中学新高中数学立体几何多选题专题复习含解析

甘肃省高台县第一中学新高中数学立体几何多选题专题复习含解析

一、立体几何多选题

1．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（ ）

A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MAT

B ．当)

3,2x ∈

时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD

C ．若使点M 在平面ABC

D 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥

M HAB -6322

++【答案】BCD 【分析】

对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点； 对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x --，验证当)

3,2

x ∈时，无解即可； 对于C ，利用体积公式21

233

V x x =

⨯⨯-，借助基本不等式求最值即可； 对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为

2

323

r =

++

【详解】

对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ⋂面()MDC N MN =．

此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误； 对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥．

若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=- 当)

3,2x ∈

时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面

ABCD

故B 正确；

对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，(3x ∈，

所以()

2

2

22222

1223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

当且仅当223x x =-，即6

x =

时等号成立．故C 正确； 对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =

因为AHB ，MHB 都是直角三角形，所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点，所以

1R =，

由等体积法，可求得内接圆半径为2323

r =++，故6132

2R r ++=，故D 正确．

故选：BCD ． 【点睛】

本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容，注意辅助线的作法，以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想．

2．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）

A ．()

()

2

2

12AA AB AD

AC ++=

B ．1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点

C ．1AA 与平面ABC

D 所成角大于45 D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为6

3

【答案】AC 【分析】

对A ，分别计算()

2

1++AA AB AD 和2

AC ，进行判断；对B ，设BD 中点为O ，连接

1A O ，假设1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，应得10⋅=O AB A ，计算

10⋅≠O AB A ，即可判断1A 在底面ABCD 上的射影不是线段BD 的中点；对C ，计算

11

,,A A AC AC ，根据勾股定理逆定理判断得11⊥A A AC ，1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，再计算1tan ∠A AC ；对D ，计算1,AC BD 以及1BD AC ⋅，再利用向量的夹角

公式代入计算夹角的余弦值. 【详解】

对A ，由题意，111

11cos602

⋅=⋅=⋅=⨯⨯=

AA AB AA AD AD AB ，所以(

)

2

222

111112*********

++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯

=AA AB AD

AA AB AD AA AB AB AD AA AD ，AC AB AD =+，所以()2

2

2

2

21113=+=+⋅+=++=AC AB AD

AB AB AD AD ，

所以()()2

2

1

26++==AA AB AD AC ，故A 正确；对B ，设BD 中点为O ，连接1

A O ，

1

111111

222

=+=+=++AO A A AO A A AC A A AD AB ，若1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，则1A O ⊥平面ABCD ，则应10

⋅=O AB A ，又因为21111111111110

222222224⎛⎫

⋅=++⋅=-⋅+⋅+=-+⨯+=≠ ⎪⎝⎭

O AB A A AD AB AB AA AB AD AB AB A ，故B 错误；对D ，11,BD AD AA AB AC AB AD =+-=+，

所以(

)()2

2

11=2,=3=

+-=

+AD A B A AB AC AB AD D ()()2

2

1

1

111

⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅=AC AD AA AB AB AD AD AB AD

AA AB AA AD AB AB AD BD

，111cos ,2⋅<>=

=

=B AC D BD BD AC AC

D 不正确；对C

，112==AC BD ，在

1A AC 中，111,===A A AC AC 2

2

2

11+=A A AC AC ，所以11⊥A A AC ，所以1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，又1tan 1∠=>A AC ，即145∠>A AC ，故C 正确；

故选：AC