湖南省宁远一中2016-2017学年高二上学期第一次月考数学理试题(A卷)含答案

远一中2016年下期高二第一次月考
数学试题(理A ) (2016.9.29)
命题：李冬昌 审题：龙小平 满分：150分 时量：120分钟
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.不在3x+2y<6表示的平面区域内的一个点是( )
(A)(0,0) (B)(1,1) (C)(0,2) (D)(2,0)
2.在△ABC 中,A ∶B ∶C=4∶1∶1,则a ∶b ∶c 等于( ) (A)
∶1∶1 (B)2∶1∶ 1 (C)
∶1∶2
(D)3∶1∶1
3.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a n 等于( ) (A)n
2 (B) n
2+1 (C) n
2－1 (D) 1
2
+n
4.在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边,c ·cos A=b,则△ABC( ) (A)一定是锐角三角形 (B)一定是钝角三角形 (C)一定是直角三角形 (D)一定是斜三角形
5.在等比数列{a n }中,若243119753=a a a a a ,则11
29
a a 的值为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)9
6.已知a +b >0，b <0，那么a 、b 、－a 、－b 的大小关系是（ ） (A)a >b >－b >－a (B)a >－b >－a >b
(C)a >－b >b >－a (D)a >b >－a >－b 7.数列{a n }满足a 1=1,)2(1
11
≥+=
--n a a a n n n ,则数列{}1+⋅n n a a 的前10项和为( )
(A) (B) (C)
(D)
8.设b
a
a b A +=
,其中a 、b 是正实数,且a ≠b, 242-+-=x x B ,则A 与B 的大小关系是( )
(A)A ≥B (B)A>B (C)A<B (D)A ≤B
9.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a+b)2-c 2
=4,且C=60°,则△ABC 的面积为( ) (A)
33 (B)332- (C)43 (D)6
3
10.已知{a n }为等差数列,其公差为-2,且a 7是a 3与a 9的等比中项,S n 为{a n }的前n 项和,n ∈N *
,则S 10的值为( )
(A)-110 (B)-90 (C)90 (D)110
11.已知m>n>0,则n
m mn n m -+-+4
2的最小值为( )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
12.设x,y 满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x 若目标函数by ax z +=(a>0,b>0)的最大值为10,则
b
a 3
2+的最小值为( ) (A)25 (B)19 (C)13 (D)5
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.函数y
的定义域是 . 14.设等比数列{}n a 的公比q=2,前n 项和为n S ,则
=2
4
a S . 15.一船以每小时15 km 的速度向东航行,在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°,行驶4 h 后,船到达C 处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔距离为 km.
16.观察下面的数阵，则第20行第9个数是________．
1 4 3
2 5 6 7 8 9
16 15 14 13 12 11 10 17 18 19 20 21 22 23 24 25
… … … … … …
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，若△ABC 面积为3
2
，c ＝2，A ＝60°，求a 、b 及角C 的值．
18.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a ，92=a ，215=a ， （1）求{}n a 的通项公式； （2）若n
a n
b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
19. (本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin xcos x-3sin 2
x-cos 2
x+2.
(1)求f(x)的最大值;
(2)若△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足=,sin(2A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C),
求f(B)的值.
20.(本小题满分12分)某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？
21.(本小题满分12分)已知关于x 的不等式tx 2-6x+t 2
<0的解集是(-∞,a)∪(1,+∞)；函数
()83
2
312-+-=ax tx x f .
(1)求a 和t 的值;
(2)若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m 的取值范围.
22.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)， a 1＝12. (1)求证：{1
S n
}是等差数列；
(2)求a n 的表达式；
(3)若b n ＝2(1－n )a n (n ≥2)，求证：b 22＋b 23＋…＋b 2n <1.
宁远一中2016年下期高二第一次月考
数学试题(理A ) (2016.9.29)
（满分：150分 时量：120分钟）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.不在3x+2y<6表示的平面区域内的一个点是( D )
(A)(0,0) (B)(1,1) (C)(0,2) (D)(2,0) 解析:3×2+2×0=6,故选D.
2.在△ABC 中,A ∶B ∶C=4∶1∶1,则a ∶b ∶c 等于( A ) (A)
∶1∶1 (B)2∶1∶1 (C)
∶1∶2
(D)3∶1∶1
解析:由A ∶B ∶C=4∶1∶1知A=120°,B=30°,C=30°, 所以a ∶b ∶c=sin A ∶sin B ∶sin C=∶∶=
∶1∶1,故选A.
3.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a n 等于( B )
(A)2n (B)2n +1 (C)2n -1 (D)2n+1
解析:由于3=2+1,5=22+1,9=23+1,…,所以通项公式是a n =2n
+1,故选B.
4.在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边,c ·cos A=b,则△ABC( C ) (A)一定是锐角三角形 (B)一定是钝角三角形 (C)一定是直角三角形 (D)一定是斜三角形 解析:∵c ·cos A=b,∴c ·
=b,∴b 2
+c 2
-a 2
=2b 2
,∴a 2
+b 2
=c 2
.故选C.
5.在等比数列{a n }中,若243119753=a a a a a ,则11
29
a a 的值为( C )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)9
解析:因为{a n }是等比数列,所以a 3a 11=a 5a 9=,因此a 3a 5a 7a 9a 11==243,解得a 7=3,
又因为=a 7a 11,所以=a 7=3.故选C.
6.已知a +b >0，b <0，那么a 、b 、－a 、－b 的大小关系是（ C ）
A ．a >b >－b >－a
B ．a >－b >－a >b
C ．a >－b >b >－a
D ． a >b >－a >－b
7.数列{a n }满足a 1=1,)2(1
11
≥+=
--n a a a n n n ,则数列{}1+⋅n n a a 的前10项和为为( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:依题意a n >0且n ≥2时,=1+,即-=1,∴数列{}是以1为首项,1为公差的等差
数列,∴n a n =1，n
a n 1=，∴()111111+-=+=⋅+n n n n a a n n ，∴S 10=-+-+…+-=.故选B.
8. 设b
a
a b A +=,其中a 、b 是正实数,且a ≠b, 242-+-=x x B ，则A 与B 的大小关系是( B )
(A)A ≥B (B)A>B (C)A<B (D)A ≤B 解析:∵a,b 都是正实数,且a ≠b,∴A=+>2
=2,即A>2,
B=-x 2
+4x-2=-(x 2
-4x+4)+2=-(x-2)2
+2≤2,即B ≤2,∴A>B.
9.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a+b)2-c 2
=4,且C=60°,则△ABC 的面积为( A ) (A)
33 (B)332- (C)43 (D)6
3
解析:由已知得a 2
+b 2
-c 2
+2ab=4,由于C=60°,所以cos C==,
即a 2
+b 2
-c 2
=ab,因此ab+2ab=4,ab=,=⋅=
C ab S sin 2
1
33；故选A.
10.已知{a n }为等差数列,其公差为-2,且a 7是a 3与a 9的等比中项,S n 为{a n }的前n 项和,n ∈N *
,则S 10的值为( D )
(A)-110 (B)-90 (C)90 (D)110 解析:由题意得(a 1-12)2
=(a 1-4)(a 1-16),解得a 1=20.S 10=10a 1+×(-2)=110.故选D.
11.已知m>n>0, 则n
m mn n m -+-+4
2的最小值为( C )
(A)1
(B)2
(C)4
(D)8
解析:由m>n>0知m-n>0,m+
=m+
=m-n+
≥2
=4,
当且仅当m-n=2时取等号.故选C.
12. 设x,y 满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数by ax z += (a>0,b>0)的最大值为10,则
b
a 3
2+的最小值为( D ) (A)25 (B)19 (C)13 (D)5
解析:画出不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分).
由z=ax+by 知y=-x+,故该直线经过可行域内的点A 时,z 有最大值,
由得 ∴z max =4a+6b=10,即2a+3b=5,
∴+=
51(2a+3b)（+）=51(13++)≥5
1
(13+2×6)=
5
1
×25=5,当且仅当=,且2a+3b=5,
即a=b=1时等号成立.故选D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.函数y 的定义域是 .[]3,1-
14.设等比数列{}n a 的公比q=2,前n 项和为n S ,则
=2
4
a S . 解析:设{a n }的首项为a 1,则S 4=15a 1,a 2=2a 1,=.答案:
15.一船以每小时15 km 的速度向东航行,在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°,行驶4 h 后,船到达C 处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔距离为 km. 解析:如图所示,由题意可知,
AC=15×4=60(km),∠CAB=30°,∠ACB=105°,∴∠ABC=180°-30°-105°=45°. 在△ABC 中,由正弦定理知
=
,∴BC=
=
=30
(km).
答案:30
16.观察下面的数阵，则第20行第9个数是________．
1 4 3 2
5 6 7 8 9
16 15 14 13 12 11 10 17 18 19 20 21 22 23 24 25
… … … … … …
答案 392
解析 由题得每一行数字个数分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝5，…，a n ＝2n －1，它们成等差数列，则前20行总共有
()220201a a +＝()
2
39120+＝400个数，
因此第20行第1个数为400，第9个数即为392.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，若△ABC 面积为
3
2
，c ＝2，A ＝60°，求a 、b 及角C 的值． 解析 因为S ＝12bc sin A ＝32，所以12b ·2sin60°＝3
2
，得b ＝1.
由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以a 2＝12＋22－2×1×2cos60°＝3，则a ＝ 3.
又由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A
a ＝2×
3
23
＝1，∴C ＝90°.
18.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a ，92=a ，215=a ， （1）求{}n a 的通项公式； （2）若n
a n
b 2
=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
解：(1) 设数列 {a n } 的公差为d ，则a 5=a 2+3d .得21=9+3d ,∴
d = 4,
∴ a n = a 2 + (n －2) d = 4n + 1
(2) ∵ b n = 2 a n , ∴ b n = 24n +1, 又 b n +1
b n = 16,
∴
{b n } 是以 16 为公比的等比数列.b 1=25=32, ∴ S n = 32(1－16n )1－16
= 32
15 (16n －1)
19.已知函数f(x)=2sin xcos x-3sin 2
x-cos 2
x+2.
(1)求f(x)的最大值;
(2)若△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足=,sin(2A+C)=2sin A+2sin
Acos(A+C),求f(B)的值. 解:(1)f(x)=
sin 2x-3sin 2
x-cos 2
x+2(sin 2
x+cos 2
x)=
sin 2x+cos 2x-sin 2
x
=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+).∴f(x)的最大值是2.
(2)由sin(2A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C)得
sin Acos (A+C)+cos Asin(A+C)=2sin A+2sin Acos (A+C)；化简得sin C=2sin A, 由正弦定理得c=2a.又b=
a,
由余弦定理得:a 2
=b 2
+c 2
-2bccos A=3a 2
+4a 2
-4a 2
cos A
∴cos A=，∴A=,B=,C=,∴f(B)=f()=2sin =1.
20.(本小题满分12分)某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？ 解：设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆．列表分析数据．
10
24301800804
x y x y x y +⎧⎪+⎪
⎨
⎪⎪⎩≤≥≤≤≤≤， 且320504z x y =+．
作出线性区域，如图所示，可知当 直线320504z x y =+过(7.50)A ，时，
z 最小，但(7.50)A ，不是整点，继续
向上平移直线320504z x y =+可知，(52)，是最优解．这时
min 320550422608z =⨯+⨯= （元），即用5辆A 型车，2辆B 型车，成本费最低．
若只用A 型车，成本费为83202560⨯=（元），只用B 型车，成本费为180
504302430
⨯=（元）．
21.(本小题满分12分) 已知关于x 的不等式tx 2-6x+t 2
<0的解集是(-∞,a)∪(1,+∞)；函数
()83
2
312-+-=ax tx x f .
(1)求a 和t 的值;
(2)若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)依题意可得
解得t=-3,a=-3.
(2)由（1）f(x)=x 2
-2x-8.当x>2时,f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立, ∴x 2
-2x-8≥(m+2)x-m-15,即x 2
-4x+7≥m(x-1).∴对一切x>2,均有不等式
≥m 成立.
而=(x-1)+-2≥2-2=2.(当且仅当x-1=即x=3时等号成立)
∴实数m 的取值范围是(-∞,2].
21.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)， a 1＝12. (1)求证：{1
S n
}是等差数列；
(2)求a n 的表达式；
(3)若b n ＝2(1－n )a n (n ≥2)，求证：b 22＋b 23＋…＋b 2n <1.
(1)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，又a n ＋2S n ·S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n ·S n －1＝0. 若S n ＝0，则a 1＝S 1＝0与a 1＝12矛盾．故S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2.
又1S 1＝2，所以{1
S n }是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解析 由(1)得1S n ＝2＋(n －1)·2＝2n ，故S n ＝12n (n ∈N ＋)．
当n ≥2时，a n ＝－2S n ·S n －1＝－2·12n ·12(n －1)＝－1
2n (n －1)；
当n ＝1时，a 1＝1
2
.
所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.
(3)证明 当n ≥2时，b n ＝2(1－n )·a n ＝2(1－n )·12n (1－n )＝1n
. b 22＋b 23＋…＋b 2n ＝122＋132＋…＋1n 2<11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1
－
1n )＝1－1n <1.。