第二章2.2-2.2.2反证法 秋学期高中数学选修1-2(人教版)PPT课件

2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些
作为条件使用( )
①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、
定理、定义等；④原命题的结论．
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③
解析：由反证法的定义，可将①②③作为条件使用，
而④(原命题的结论)不能作为条件使用．
答案：C
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个 不大于 60°”时，反设正确的是( )
所以 c 为奇数，a＋b 为偶数，则 an2＋bn＝－c 为奇 数，即 n(an＋b)为奇数．
∴n，an＋b 均为奇数． 又 a＋b 为偶数， ∴an－a 为奇数，即 a(n－1)为奇数 ∴n－1 为奇数，这与 n 为奇数矛盾． ∴f(x)＝0 无整数根．
归纳升华 1．证题的关键是根据 f(0)，f(1)均为奇数，分析出 a， b，c 的奇偶情况，并应用． 2．(1)当要证的结论中含有“不”“不是”“不可 能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具 体，适于应用反证法．通过反设，用转化后的命题作为条 件进行推理，导出矛盾，达到证明目的． (2)反证法证题时，若结论的反面有多种情况，必须 将各种情况一一驳倒，才能推断结论成立．
[变式训练] 用反证法证明：过已知直线 a 外一点 A 只有一条直线 b 与已知直线 a 平行．
证明：假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直线 a 平 行，则 b∩b′＝A，b′∥a，
假设 f(x)在(a，b)内还存在另一个零点 n，即 f(n)＝0， 则 n≠m.
若 n>m，则 f(n)>f(m)，即 0>0，矛盾； 若 n<m，则 f(n)<f(m)，即 0<0，矛盾． 因此假设不正确，即 f(x)在(a，b)内有且只有一个零 点．
归纳升华 1．反证法证明唯一性命题的适用类型：当证明结论 是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时， 由于从假设的结论中易于导出矛盾，所以用反证法证明 唯一性比较简单． 2．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方 面，即存在性问题和唯一性问题两个方面．
[变式训练] 已知 f(x)＝ax＋xx－ ＋21(a>1)，求证：方程 f(x)＝0 没有负数根．
证明：假设 x0 是 f(x)＝0 的负数根，则 x0<0 且 x0≠ －1 且 ax0＝－xx00－ ＋21＝x0＋3 1－1，
当－1<x0<0 时，0<x0＋1<1，所以x0＋3 1>3， 所以x0＋3 1－1>2，又因为 ax0<1，矛盾．
A．假设三内角都不大于 60° B．假设三内角都大于 60° C．假设三内角至多有一个大于 60° D．假设三内角至多有两个大于 60° 解析：“至少有一个内角不大于 60°”的否定“三 个内角都大于 60°” ∴反设应是“假设三内角都大于 60°”． 答案：B
4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有 三个步骤：
5．用反证法证明命题“如果 a＞b，则3 a＞3 b时，
假设的内容是________．”
3
3
3
33
3
解析： a与 b的关系有三种情况： a＞ b， a＝ b，
3
3
3
3
a＜ b.所以假设的内容应为 a≤ b.
3
3
答案： a≤ b
类型 1 用反证法证明否(肯)定性命题(自主研析) [典例 1] 设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b， c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0 无整 数根． [自主解答]假设 f(x)＝0 有整数根 n，则 an2＋bn＋c ＝0 又 f(0)，f(1)均为奇数，
(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确 的推理，得出矛盾；
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原 结论成立．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．( ) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一 种演绎推理．( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( ) 解析：(1)对，反证法是间接证明问题的方法． (2)错，反证法是演绎推理，不是合情推理． (3)对，根据反证法的概念知说法正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√
温馨提示 反证法不是通过证明逆否命题来证明原 命题．反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错 误的，从而肯定原命题正确．
2．反证法的一般步骤
用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正 确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原 命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤：
(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论 的反面为真；
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2．2.2 反证法
[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种基本方 法(重点).2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学 问题(重点、难点)．
1．反证法 (1)反证法是间接证明的一种基本方法． (2)一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下， 结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说Байду номын сангаас明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫作 反证法．
当 x0<－1 时，x0＋1<0，x0＋3 1<0，x0＋3 1－1<－1， 而 ax0>0，矛盾． 故方程 f(x)＝0 没有负数根．
类型 2 用反证法证明“唯一性”命题 [典例 2] 若函数 f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断 开，f(a)<0，f(b)>0，且 f(x)在[a，b]上单调递增，求证： f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 证明：由于 f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且 f(a)<0，f(b)>0，即 f(a)·f(b)<0， 所以 f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为 m， 则 f(m)＝0，
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与 三角形内角和为 180°矛盾，故假设错误；
②所以一个三角形不能有两个直角； ③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠ B＝90°. 上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：反证法的步骤为：反设―→归谬―→存真
∴正确顺序为③①②. 答案：③①②