《两条直线的位置关系》教学设计
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二、教法分析与学法指导 1、教法分析
本节课我坚持循序渐进与启发式的教学原则，采用了诱思探究教学法。在教法设计中充分利用 信息技术平台辅助教学，展示平行与垂直位置关系，学生直观想象，教师点拨，启发学生观察分析、 主动思考、动手操作、自主探究、归纳猜想来达到对知识的发现和接受。
2、教学建议
（1）在教学中要引导学生从初中的用两条直线平行的判定定理和性质来判定两条直线是否平行的 过渡到高中通过直线的方程来判断直线平行。在探究两条直线平行关系时要点拨学生将两条直线平 行的判定定理和性质定理转化成高中数学解析几何中的语言，用倾斜角、斜率、截距来重新刻画有 关的条件。
将作业分为必做题（教材 P79 习题 2-1 5，6，8 三道题和选作题两个部分，必做题面向全体， 注重知识反馈，选作题更注重知识的延伸性和连贯性，可让有能力的同学去探究。以上六个环节环 环相扣，层层深入，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过交流，动 脑思考，层层递进，学生亲身经历了知识的形成和发展过程。以问题为驱动力，使学生对知识的理 解逐步深入。而最终的选做题又激发学生兴趣，带领学生进入更进一步的思考研究之中，从而达到 知识在课堂以外的延伸。
结 论 1 ： 两 直 线 平 行 的 充 要 条 件 ： 已 知 两 直 线 分 别 为 l1 : y k1x b1 ， l2 : y k2x b2 ， 则
l1 // l2 k1 k2 且 b1 b2 .从而达到了重点的突破
（2）两直线垂直问题 通过三种不同情况的图例，学生归纳总结出两条直线倾斜角的关系，但是两直线垂直时的倾斜
四、板书设计
两条直线的位置关系
平行
特殊 两条直线斜率
情况 都不存在
（斜
率不
存在）
一般 情况 l1 // l2 k1 k2
（斜 率存
且 b1 b2
在）
垂直 一条直线斜率存 在，另一条直线斜 率为 0
l1 l2 k1 k2 1
例例12平行与垂直 斜率关系 例3 分类讨论
作业
平行或垂直 倾斜角 斜率 五、教学反思
2.观察归纳，形成知识 这是本节课的重点环节。先从特殊情况入手，给出直线斜率不存在和斜率为 0 两种情况下两直
线平行或垂直的示意图，让学生观察，判断，归纳总结两直线平行或垂直成立的条件（设计意图： 遵循由特殊到一般的推理模式，归纳两直线平行或垂直与倾斜角、斜率之间的联系，为推导两直线 斜率存在时的充要条件做好准备）
（1）若两直线平行，求 a ; （2）若两直线垂直，求 a .（教师引导学生积极探索解题方案要求学
生规范解题步骤） 讨论前点拨，启发学生对直线的斜率存在与否，进行讨论，转化为“斜截式”后，才能使用“充要 条件”）
展示答案后归纳，判断两直线的位置关系，关键是化直线方程为”斜截式“，若 y 的系数含有参数，
l1 l2 k1 k2 1。这也是本节课的重点环节。结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条
件还应加上叙述：或一个为 0，另一个不存在。 3.知识应用，巩固提高
例 1 求过点 A(1,4) 且与直线 2x 3y 5 0 平行的直线方程
（利用结论进行推理计算，培养学生逻辑推理、数学运算核心素养）
斜角与斜率之间关系，帮助学生再现原有认知结构，为得出两直线平行或垂直的充要条件做好准备。
2.将数形结合、分类讨论、类比归纳等基本数学思想方法贯穿于整个教学过程，使学生深刻体会这
些数学思想方法，对这些数学思想方法做到了解、运用。
3.在课题导入、归纳知识、例题探究等教学环节中都安排了学生的小组讨论，合作交流等活动，让
角关系并不能利用三角函数的诱导公式得出斜率关系，这点必修 2 中还没有学习必修 4 的内容，可 引导学生学习讨论教材，然后寻找两直线垂直时的斜率关系，从而得两直线垂直时的充要条件。
结 论 2 ： 两 直 线 垂 直 的 充 要 条 件 ： 已 知 两 直 线 分 别 为 ： l1 : y k1x b1, l2 : y k2 x b2 ， 则
我在认真分析教材、教法、学法的基础上，设计教学过程如下：整个教学过程分为六个阶段，
即：创设情境，引入课题 观察归纳，形成知识 知识应用，巩固提高 反馈练习，提升
能力 总结反思，知识内化
布置作业，提高能力
1.创设情境，引入课题
观察图例，回答问题，回顾已学知识
问题（1）在同一平面内两条直线的位置关系有几种？（设计意图激发学生学习热情）
问题（2）平行与垂直的关系是通过什么来判断的？（设计意图引导学生回顾初中所学内容）
活动 1
画出直线 l1 : x 1 0 ，直线 l2 : x 1 0 及直线 l3 : y 2 0 ，试判断直线 l1 与直线 l2 ，直线 l1 与直
线 l3 的位置关系？
活动 2
画出直线 l4 : x y 1 0 ，直线 l5 : x y 1 0 及直线 l6 : x y 2 0 ，试判断直线 l4 与直线 l5 ，
2、教学目标分析
（1）教学目标 ①通过白板展示两直线平行或垂直的位置关系揭示两直线倾斜角间的关系并抽象概括出两直线平 行或垂直的位置关系与两直线斜率之间的联系，以此培养数学直观想象素养和数学抽象素养。 ②从斜率不存时的特殊情况到斜率存在时的一般情况的分类讨论、探究，体验从特殊到一般的学习 规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，渗透用解析法解决几何问题的基本数学思想方法和分 类讨论思想，培养学生观察分析、逻辑推理、抽象概括等核心素养。 ③通过两直线平行或垂直充要条件的简单应用，掌握用代数方法（斜率关系）解决几何问题（位置 关系）的基本方法，进一步体会数形结合等数学思想，加强数学运算素养的培养。 （2）重点与难点 重点：两直线平行或垂直的充要条件的理解与应用 难点：直线方程中含有字母时斜率存在与否的分类讨论 （3）教材处理 ①运用倾斜角的关系推导两直线平行或垂直的充要条件 ②增加一个字母讨论的例题
（2）要注意直线方程形式变化时两条直线平行和垂直的充要条件的探究过程，让学生感受到知识
的发生发展过程。
3、学情分析
本节课授课对象是高中一年级的学生，结合我校实际，学生基础一般，逻辑思维和计算能力不
突出，但学生已经掌握了初中学习过的两直线平行的判定定理和性质定理以及两直线垂直的判定结
论，而且这个年龄段的学生思维活跃，求知欲强，已初步形成对数学问题的合作探究能力，只是在
思维习惯上还有待教师引导。学生层次也存在参次不齐这个情况，个体差异比较明显。
4、学法指导
本节课从学生原有的知识水平出发，教师将带领学生创设疑问，启发学生积极思考，通过合作
交流，主动探索，尽可能增加学生参与教学活动的时间和空间，来寻求解决问题的方法。我从以下
几个方面进行了学法指导方面的尝试：
1.请学生复习回忆初中所学两直线平行的判定定理和性质定理及两直线垂直的判定结论和上节课倾
再从一般情况（即斜率存在）考虑，给出两条直线的斜截式方程：
l1 : y k1x b1， l2 : y k2x b2
观察图示类比特殊情况时推理模式，得出结论。 （1）两直线平行问题
在这部分的安排上我更注重学生思维习惯的养成，想让从特殊情况入手着重强化推理模式，所 以我设置了这样一个问题：两直线平行与两直线的斜率之间存在着怎样的关系？（设计意图是让学 生类比特殊情况，得出两直线斜率存在时平行的充要条件），学生自己完成问题，教师适当给学生点 评从而达到重点的突破。特别需要注意的是：在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直 线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件（即判定定 理和性质定理）转化为解析几何中的语言，用斜率和截距重新加以刻画。教学中还应注意斜率不存 在的情况.
直线 l4 与直线 l6 的位置关系？
（设计意图让学生直观感觉两条直线平行与垂直与直线方程之间关系） 问题（3）要研究直线的位置关系必须画出图象才能作出判断吗？（设计意图是启发学生对推理方法 的探究，教师让学生展开探究） 问题（4）当给出直线的斜截式方程时怎样判断它们的位置关系是平行还是垂直呢？ （设计意图是充分体现了从特殊到一般的数学思想方法，教师带领学生进入下一个环节-----观察归 纳，形成知识）
本节课是学生在初中学习了两直线平行的判定定理和性质定理以及高中学习了直线的倾斜角、 斜率概念、斜率公式和直线方程等知识的基础上进一步探究如何用直线的斜率判定两直线的位置关 系。核心内容是两直线的平行与垂直的判定。它既是直线斜率概念的深化和简单应用，也是后续内 容学习的重要基础。两条直线平行和垂直成立的充要条件在本章以及后面的学习中应用非常广泛。 两条直线平行和垂直是平面内两条直线的两种特殊位置关系，它们既是教学中的重点也是高考中的 热点。用斜率判定两直线位置关系，体现了用代数方法研究几何问题的思想，这是贯穿于本节乃至 本章内容始终的一种思想方法，它是解析几何研究问题的基本思想，其本质是数形结合。因此体会 数形结合的数学思想是本节课的教学任务之一。在教学中要培养学生直观想象和数学运算等核心素 养，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，在教学过程中让学生发现它们的内在联系，通 过现象看本质揭示知识的内在规律。
学生变被动的接受和知识记忆为在互相交流和自主探究中获得知识，发展能力，从而完成知识的内
化过程。
4.在归纳知识和例题探究的过程中按照先易后难的顺序层层递进，遵循了知识生成的循序渐进原则，
让学生不断地挑战中获得一次又一次的成功。设计不同难度的题目将尽可能照顾到学生的个体差异，
让学生本节课都学有所获。
三、教学过程分析
《两条直线的位置关系》教学设计
沁阳市高级中学 郝伟 一、教材分析 1、教学内容分析
（1）教材内容：北师大版普通高中数学必修 2 第二章§1.3 两条直线的位置关系 （2）教材内容解析：从整体上来看两条直线的位置关系初步体现了解析几何的本质：用代数知识、 方法来研究几何问题，它是学习解析几何的一个基础.
本节课的教学以问题串的形式为驱动力，启发学生以自主探究，合作交流为手段，有效调动课 堂的气氛，使学生经历了知识的形成和发展过程，对课堂教学发挥了积极的推动作用。
在课堂中渗透了用解析法解决几何问题的基本数学思想方法和分类讨论思想，最后以问题的方 式进行归纳总结，让学生带着问题结束课堂但又带着对问题的思考探索并没有结束，保持了学生对 数学学习的持续性从而达到了课堂教学目标的实现，这样更有利于促进学生的全面发展。
例 2 求过点 A(2,1) 且与直线 2x 3y 10 0 垂直的直线方程
（教师启发学生寻求解决问题的方法，培养学生利用结论解决问题的能力） 这两个例题要强调归纳，两条直线平行或垂直的位置关系重点是寻找两直线的斜率关系。
例 3 已知直线 (a 2)x (1 a) y 3 0 与 (a 1)x (a 1) y 2 0
则必须分类讨论。本例题体现的必要性。
在这一题目中， 通过教师的指引和学生的积极思考，使学生掌握必要时要进行分类讨论，进而 突破本节课的难点，最后达到直线方程与位置关系的等价转化从而达到难点突破的目的。
通过前面几个环节，学生已基本掌握了本节课的相关知识，此时我将带领学生体验运用新知识 去解决问题的乐趣，进入本节课下一个环节——反馈练习，提升能力 4.反馈练习，提升能力 5.接着总结反思，知识内化 在本环节中我通过三个问题进行小结： （1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？重点内容是什么？ （2）给出两条直线方程的任意一种形式，你能准确而又简捷地判断出它们的位置关系吗？ （3）遇到直线方程中含有字母时的平行或垂直问题，你将用什么方法去解决它们？ 让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础。所以在 这一部分我的设计意图是回顾总结，内化知识。 6.布置作业，提高能力
本节课我坚持循序渐进与启发式的教学原则，采用了诱思探究教学法。在教法设计中充分利用 信息技术平台辅助教学，展示平行与垂直位置关系，学生直观想象，教师点拨，启发学生观察分析、 主动思考、动手操作、自主探究、归纳猜想来达到对知识的发现和接受。
2、教学建议
（1）在教学中要引导学生从初中的用两条直线平行的判定定理和性质来判定两条直线是否平行的 过渡到高中通过直线的方程来判断直线平行。在探究两条直线平行关系时要点拨学生将两条直线平 行的判定定理和性质定理转化成高中数学解析几何中的语言，用倾斜角、斜率、截距来重新刻画有 关的条件。
将作业分为必做题（教材 P79 习题 2-1 5，6，8 三道题和选作题两个部分，必做题面向全体， 注重知识反馈，选作题更注重知识的延伸性和连贯性，可让有能力的同学去探究。以上六个环节环 环相扣，层层深入，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过交流，动 脑思考，层层递进，学生亲身经历了知识的形成和发展过程。以问题为驱动力，使学生对知识的理 解逐步深入。而最终的选做题又激发学生兴趣，带领学生进入更进一步的思考研究之中，从而达到 知识在课堂以外的延伸。
结 论 1 ： 两 直 线 平 行 的 充 要 条 件 ： 已 知 两 直 线 分 别 为 l1 : y k1x b1 ， l2 : y k2x b2 ， 则
l1 // l2 k1 k2 且 b1 b2 .从而达到了重点的突破
（2）两直线垂直问题 通过三种不同情况的图例，学生归纳总结出两条直线倾斜角的关系，但是两直线垂直时的倾斜
四、板书设计
两条直线的位置关系
平行
特殊 两条直线斜率
情况 都不存在
（斜
率不
存在）
一般 情况 l1 // l2 k1 k2
（斜 率存
且 b1 b2
在）
垂直 一条直线斜率存 在，另一条直线斜 率为 0
l1 l2 k1 k2 1
例例12平行与垂直 斜率关系 例3 分类讨论
作业
平行或垂直 倾斜角 斜率 五、教学反思
2.观察归纳，形成知识 这是本节课的重点环节。先从特殊情况入手，给出直线斜率不存在和斜率为 0 两种情况下两直
线平行或垂直的示意图，让学生观察，判断，归纳总结两直线平行或垂直成立的条件（设计意图： 遵循由特殊到一般的推理模式，归纳两直线平行或垂直与倾斜角、斜率之间的联系，为推导两直线 斜率存在时的充要条件做好准备）
（1）若两直线平行，求 a ; （2）若两直线垂直，求 a .（教师引导学生积极探索解题方案要求学
生规范解题步骤） 讨论前点拨，启发学生对直线的斜率存在与否，进行讨论，转化为“斜截式”后，才能使用“充要 条件”）
展示答案后归纳，判断两直线的位置关系，关键是化直线方程为”斜截式“，若 y 的系数含有参数，
l1 l2 k1 k2 1。这也是本节课的重点环节。结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条
件还应加上叙述：或一个为 0，另一个不存在。 3.知识应用，巩固提高
例 1 求过点 A(1,4) 且与直线 2x 3y 5 0 平行的直线方程
（利用结论进行推理计算，培养学生逻辑推理、数学运算核心素养）
斜角与斜率之间关系，帮助学生再现原有认知结构，为得出两直线平行或垂直的充要条件做好准备。
2.将数形结合、分类讨论、类比归纳等基本数学思想方法贯穿于整个教学过程，使学生深刻体会这
些数学思想方法，对这些数学思想方法做到了解、运用。
3.在课题导入、归纳知识、例题探究等教学环节中都安排了学生的小组讨论，合作交流等活动，让
角关系并不能利用三角函数的诱导公式得出斜率关系，这点必修 2 中还没有学习必修 4 的内容，可 引导学生学习讨论教材，然后寻找两直线垂直时的斜率关系，从而得两直线垂直时的充要条件。
结 论 2 ： 两 直 线 垂 直 的 充 要 条 件 ： 已 知 两 直 线 分 别 为 ： l1 : y k1x b1, l2 : y k2 x b2 ， 则
我在认真分析教材、教法、学法的基础上，设计教学过程如下：整个教学过程分为六个阶段，
即：创设情境，引入课题 观察归纳，形成知识 知识应用，巩固提高 反馈练习，提升
能力 总结反思，知识内化
布置作业，提高能力
1.创设情境，引入课题
观察图例，回答问题，回顾已学知识
问题（1）在同一平面内两条直线的位置关系有几种？（设计意图激发学生学习热情）
问题（2）平行与垂直的关系是通过什么来判断的？（设计意图引导学生回顾初中所学内容）
活动 1
画出直线 l1 : x 1 0 ，直线 l2 : x 1 0 及直线 l3 : y 2 0 ，试判断直线 l1 与直线 l2 ，直线 l1 与直
线 l3 的位置关系？
活动 2
画出直线 l4 : x y 1 0 ，直线 l5 : x y 1 0 及直线 l6 : x y 2 0 ，试判断直线 l4 与直线 l5 ，
2、教学目标分析
（1）教学目标 ①通过白板展示两直线平行或垂直的位置关系揭示两直线倾斜角间的关系并抽象概括出两直线平 行或垂直的位置关系与两直线斜率之间的联系，以此培养数学直观想象素养和数学抽象素养。 ②从斜率不存时的特殊情况到斜率存在时的一般情况的分类讨论、探究，体验从特殊到一般的学习 规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，渗透用解析法解决几何问题的基本数学思想方法和分 类讨论思想，培养学生观察分析、逻辑推理、抽象概括等核心素养。 ③通过两直线平行或垂直充要条件的简单应用，掌握用代数方法（斜率关系）解决几何问题（位置 关系）的基本方法，进一步体会数形结合等数学思想，加强数学运算素养的培养。 （2）重点与难点 重点：两直线平行或垂直的充要条件的理解与应用 难点：直线方程中含有字母时斜率存在与否的分类讨论 （3）教材处理 ①运用倾斜角的关系推导两直线平行或垂直的充要条件 ②增加一个字母讨论的例题
（2）要注意直线方程形式变化时两条直线平行和垂直的充要条件的探究过程，让学生感受到知识
的发生发展过程。
3、学情分析
本节课授课对象是高中一年级的学生，结合我校实际，学生基础一般，逻辑思维和计算能力不
突出，但学生已经掌握了初中学习过的两直线平行的判定定理和性质定理以及两直线垂直的判定结
论，而且这个年龄段的学生思维活跃，求知欲强，已初步形成对数学问题的合作探究能力，只是在
思维习惯上还有待教师引导。学生层次也存在参次不齐这个情况，个体差异比较明显。
4、学法指导
本节课从学生原有的知识水平出发，教师将带领学生创设疑问，启发学生积极思考，通过合作
交流，主动探索，尽可能增加学生参与教学活动的时间和空间，来寻求解决问题的方法。我从以下
几个方面进行了学法指导方面的尝试：
1.请学生复习回忆初中所学两直线平行的判定定理和性质定理及两直线垂直的判定结论和上节课倾
再从一般情况（即斜率存在）考虑，给出两条直线的斜截式方程：
l1 : y k1x b1， l2 : y k2x b2
观察图示类比特殊情况时推理模式，得出结论。 （1）两直线平行问题
在这部分的安排上我更注重学生思维习惯的养成，想让从特殊情况入手着重强化推理模式，所 以我设置了这样一个问题：两直线平行与两直线的斜率之间存在着怎样的关系？（设计意图是让学 生类比特殊情况，得出两直线斜率存在时平行的充要条件），学生自己完成问题，教师适当给学生点 评从而达到重点的突破。特别需要注意的是：在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直 线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件（即判定定 理和性质定理）转化为解析几何中的语言，用斜率和截距重新加以刻画。教学中还应注意斜率不存 在的情况.
直线 l4 与直线 l6 的位置关系？
（设计意图让学生直观感觉两条直线平行与垂直与直线方程之间关系） 问题（3）要研究直线的位置关系必须画出图象才能作出判断吗？（设计意图是启发学生对推理方法 的探究，教师让学生展开探究） 问题（4）当给出直线的斜截式方程时怎样判断它们的位置关系是平行还是垂直呢？ （设计意图是充分体现了从特殊到一般的数学思想方法，教师带领学生进入下一个环节-----观察归 纳，形成知识）
本节课是学生在初中学习了两直线平行的判定定理和性质定理以及高中学习了直线的倾斜角、 斜率概念、斜率公式和直线方程等知识的基础上进一步探究如何用直线的斜率判定两直线的位置关 系。核心内容是两直线的平行与垂直的判定。它既是直线斜率概念的深化和简单应用，也是后续内 容学习的重要基础。两条直线平行和垂直成立的充要条件在本章以及后面的学习中应用非常广泛。 两条直线平行和垂直是平面内两条直线的两种特殊位置关系，它们既是教学中的重点也是高考中的 热点。用斜率判定两直线位置关系，体现了用代数方法研究几何问题的思想，这是贯穿于本节乃至 本章内容始终的一种思想方法，它是解析几何研究问题的基本思想，其本质是数形结合。因此体会 数形结合的数学思想是本节课的教学任务之一。在教学中要培养学生直观想象和数学运算等核心素 养，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，在教学过程中让学生发现它们的内在联系，通 过现象看本质揭示知识的内在规律。
学生变被动的接受和知识记忆为在互相交流和自主探究中获得知识，发展能力，从而完成知识的内
化过程。
4.在归纳知识和例题探究的过程中按照先易后难的顺序层层递进，遵循了知识生成的循序渐进原则，
让学生不断地挑战中获得一次又一次的成功。设计不同难度的题目将尽可能照顾到学生的个体差异，
让学生本节课都学有所获。
三、教学过程分析
《两条直线的位置关系》教学设计
沁阳市高级中学 郝伟 一、教材分析 1、教学内容分析
（1）教材内容：北师大版普通高中数学必修 2 第二章§1.3 两条直线的位置关系 （2）教材内容解析：从整体上来看两条直线的位置关系初步体现了解析几何的本质：用代数知识、 方法来研究几何问题，它是学习解析几何的一个基础.
本节课的教学以问题串的形式为驱动力，启发学生以自主探究，合作交流为手段，有效调动课 堂的气氛，使学生经历了知识的形成和发展过程，对课堂教学发挥了积极的推动作用。
在课堂中渗透了用解析法解决几何问题的基本数学思想方法和分类讨论思想，最后以问题的方 式进行归纳总结，让学生带着问题结束课堂但又带着对问题的思考探索并没有结束，保持了学生对 数学学习的持续性从而达到了课堂教学目标的实现，这样更有利于促进学生的全面发展。
例 2 求过点 A(2,1) 且与直线 2x 3y 10 0 垂直的直线方程
（教师启发学生寻求解决问题的方法，培养学生利用结论解决问题的能力） 这两个例题要强调归纳，两条直线平行或垂直的位置关系重点是寻找两直线的斜率关系。
例 3 已知直线 (a 2)x (1 a) y 3 0 与 (a 1)x (a 1) y 2 0
则必须分类讨论。本例题体现的必要性。
在这一题目中， 通过教师的指引和学生的积极思考，使学生掌握必要时要进行分类讨论，进而 突破本节课的难点，最后达到直线方程与位置关系的等价转化从而达到难点突破的目的。
通过前面几个环节，学生已基本掌握了本节课的相关知识，此时我将带领学生体验运用新知识 去解决问题的乐趣，进入本节课下一个环节——反馈练习，提升能力 4.反馈练习，提升能力 5.接着总结反思，知识内化 在本环节中我通过三个问题进行小结： （1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？重点内容是什么？ （2）给出两条直线方程的任意一种形式，你能准确而又简捷地判断出它们的位置关系吗？ （3）遇到直线方程中含有字母时的平行或垂直问题，你将用什么方法去解决它们？ 让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础。所以在 这一部分我的设计意图是回顾总结，内化知识。 6.布置作业，提高能力