空间基本图形的公理

宝石学校活页课时教案(首页) 班级:高一年级科目:数学

板

书

设

计

1-5-2 空间图形的公理

公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).

公理 2 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面).

公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 常常将平面α与平面β的公共直线即交

线a记作α∩β=a.

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行.

定理空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

1、导入

大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，

但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开

始认识数学中的平面.

2、复习：

①为了直观地了解点、线、面的位置关系,我们先观察一个长方体. 如图2.

该长方体中有几个顶点?几条棱?几个面?

图2

②观察图2所示的长方体,归纳空间点与直线的位置关系?

③归纳空间点与平面的位置关系?

④归纳空间两条直线的位置关系?

⑤归纳空间直线与平面的位置关系?

⑥归纳空间平面与平面的位置关系?

二、学习新课

1、提出问题

①把一根直尺边缘上的任意两点放在平整的桌面上,可以看到直尺边缘与桌面重合,这

是显而易见的事实,用公理的形式把它表示出来.

②在日常生活中,照相机的脚架,施工用的撑脚架,天文望远镜的脚架等都制成三个脚,这样,可以使这些物体放置得很平稳.我们知道,两点确定一条直线.那么怎样确定一个平面呢?

归纳出公理.

③经过一条直线和这条直线外一点,可以确定一个平面吗?

经过两条相交直线,可以确定一个平面吗?

经过两条平行直线,可以确定一个平面吗?

④长方体表面中的任意两个面,要么平行,要么交于一条直线.其实空间任意两个不重合的平面都有这样的性质.那么,两个平面在什么情况下相交?并归纳出公理.

⑤在平面内,平行于同一条直线的两条直线平行,那么在空间中呢?

⑥在平面内,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.(如图3,AO∥A′O′,BC∥B′O′,∠AOB和∠A′O′B′相等,∠AOC和∠A′O′B′互补.)在空间中呢?

图3

讨论结果:

①公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).

如图4,直线AB在平面α内,记作直线ABα.

图4

②公理2 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面).

如图5,经过不在同一条直线上的三点A,B,C的平面α,又可记作“平面ABC”.

图5

③上边三种情况都可以确定一个平面,把这三个结论通常看成平面的性质.

④公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 常常将平面α与平面β的公共直线即交线a记作α∩β=a.

⑤公理4 平行于同一条直线的两条直线平行.

在图6的长方体中,a∥b,b∥c,不难看出a∥c.

图6

⑥在空间亦有:

定理空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

2、应用示例

例1 在空间四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.求证:四边形EFGH 是平行四边形.

活动:只需证明FG ∥EH,且FG=EH 即可. 证明:如图7,连接BD.

图7

因为FG 是△CBD 的中位线, 所以FG ∥BD,FG=

21BD. 又因为EH 是△ABD 的中位线, 所以EH ∥BD,EH=

2

1BD. 根据公理4,FG ∥EH,且FG=EH. 所以四边形EFGH 是平行四边形. 变式训练

如图7,空间四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD. 求证:四边形EFGH 是菱形.

证明:连接EH,因为EH 是△ABD 的中位线,所以EH ∥BD,且EH=

2

1BD. 同理,FG ∥BD,EF ∥AC,且FG=

21BD,EF=2

1AC. 所以EH ∥FG ,且EH=FG .

所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD, 所以EF=EH.

所以四边形EFGH 为菱形.

例2 如图8(1),将无盖正方体纸盒展开,直线AB,CD 在原正方体中的位置关系是…( )

A.平行

B.相交且垂直

C.异面直线

D.相交成60° 解:如图8(2),将上面的展开图还原成正方体,点B 与点D 重合.容易知道AB=BC=CA, 从而△ABC 是等边三角形,所以选D.

图8

变式训练

图9表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有______________对.

图9

三、巩固训练

1、画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.

图15

2、已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线.

3、O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.