高三数学二次函数

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2
-3
0
x
ymin=4.25
ymax=f(1)=2
( 2)
1 2 y = − x − 2 x + 1 x ∈ [−3 , 1] 5
26 y max = 5 6 ymin = − 5
x = −5
∴ 当 x = − 3时 当 x = 1时
y
1 -3 0
x
( 3)
1 2 y = x + 2 x − 1 x ∈ [−1 , 2] x = −2 2
【题型二 二次函数在区间上的最值问题 】
【双基自测】 双基自测】
1、求下列二次函数的最大值 、 或最小值
x=1 4
y
y
x=1
1
0
(1) y = − x + 2 x + 3
2
1
x
0 -2
x=− 3 2
x
( 2) y = 2 x 2 − 4 x 2、求下列二次函数的最大值 或最小值
y
1
( 1) y = x + 3 x − 2 (−3 ≤ x ≤ 1)
1 的图象与x轴的左右两个 (c > ) 的图象与 轴的左右两个 8
交点的横坐标分别为x 的取值范围是( 交点的横坐标分别为 1,x2,则x2-x1的取值范围是( A

(0,1)
2 ) B (0, 2
1 2 2 ) D ( ,1) C ( , 2 2 2
4 已知 ,b,c,d成等比数列,且曲线 已知a, , , 成等比数列 且曲线y=x2-2x+3的顶 成等比数列, 的顶 点是( , ), ),则 点是(b,c),则ad=( ) ( A1 B2 C3 D4
ymin 5 =− 2
-1
y
当 x = −1时
0
2
x
当x = 2时 y max = 5
1、 配方,求二次函数图象的对称 、 配方, 轴方程x=-b/2a; 轴方程 2、 、 判断-b/2a是否在所给闭区间内。 是否在所给闭区间 判断 是否在所给闭区间内 3、根据闭区间函数最值的求法求最植。 、根据闭区间函数最值的求法求最植。 含有参数的一元二次方程在闭区间上 【注意】 对于含有参数的一元二次方程在闭区间上 注意】 对于含有参数 对称轴在区间左侧、 的最值求法,应分对称轴在区间左侧 区间内、 的最值求法,应分对称轴在区间左侧、区间内、区 间右侧讨论 间右侧讨论
f(x) ,f(x+1)+f(x−1)=2x2−4x对任意
试求f(x)的解析式 求f(1- 2 )的值
2
变式练习 1 已知二次函数 已知二次函数f(x)满足 满足f(2)= -1,f(-1)= -1且f(x)的最 满足 , 且 的最 大值是8,试确定此二次函数。 大值是 ,试确定此二次函数。
2 已知二次函数 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足下列条件: 满足下列条件: 满足下列条件 (1)图象过原点 图象过原点 (2)f(-x+2002)=f(x-2000) (3)方程 方程f(x)=x有重根。 有重根。 方程 有重根 求f(x)的解析式 的解析式
2
b a>0 抛物线开口向上, (1)a>0时,抛物线开口向上,函数在 ( −∞, ]上单调递 2a 4ac − b2 b b , +∞)上单调递增,x = 上单调递增, 减,在 [时,f ( x) min = 2a 4a 2a
(2)a<0时,抛物线开口向下,函数在 a<0 抛物线开口向下,
b b 上单调递减, 增,在[上单调递减, = , +∞) x 2a 2a
∴ 当x = −1时
ymax = 4 − a
ymin = 4 + a
当 x = 1时
-1 0 1
x
例3 求函数 y = x 2 − 2 x + 3 在 [ t , t + 1] 上的最大值
和最小值
解:
y = x 2 − 2 x + 3 = ( x − 1) 2 + 2
对称轴 x = 1
y
0 t 1 t+1
( 3) 当 0 ≤ − a < 1 即 − 2 < a ≤ 0时 2 a2 a ∴ 当 x = − 时 y min = 3 − 4 2
y
-1 0 1 y
x
当 x = − 1时
( 4) 当 −
y max = 4 − a
-1 0 1
xห้องสมุดไป่ตู้
a ≥ 1 即 a ≥ −2 时 2
y
y = x 2 + ax + 3 在[ − 1 , 1]上单调递减
(1) 当 t + 1 < 1 即 t < 0 时 y = x 2 − 2 x + 3 在 [t , t + 1] 上单调递减
2 ∴ 当x = t 时 ymax = t − 2t + 3 当x=t+1时 ymin=t2+2 时
x
1 ( 2) 当t + 1 ≥ 1 且 1 − t > t + 1 − 1 即 0 ≤ t < 时 2 2
a 2
y
y = x + ax + 3在[−1, 上单调递增 1]
-1
1 0
x
∴ 当x = −1时 ymin = 4 − a
当 x = 1时
ymax = 4 + a
a ( 2) 当 − 1 ≤ − ≤ 0 即 0 < a ≤ 0 时 2 a2 a ∴当 x = − 时 ymin = 3 − 4 2 当 x = 1 时 ymax = 4 + a
例2
求函数 y = x 2 + ax + 3 ( a ∈ R ) 在区间 [ − 1 , 1 ]
a 2 a2 解: y = x 2 + ax + 3 = ( x + ) + 3 − 2 4 a 对称轴为 x = − 2
a ( 1 ) 当 − < − 1 即 a > 2时 2
2
上的最大值与最小值
x=−
一元二次方程根的分布及取值范围】 【题型三 一元二次方程根的分布及取值范围】
一元二次方程x 求实数m 例 一元二次方程 2+2mx+2m+1=0有两个正实 根,求实数 有两个正实 的取值范围
变式:已知关于 的二次方程 变式 已知关于x的二次方程 2+2mx+2m+1=0 已知关于 的二次方程x (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一 若方程有两根, 若方程有两根 其中一根在区间( , ) 根在区间( , ) 的取值范围。 根在区间(1,2)内,求m的取值范围。 的取值范围 (2)若方程两根在区间(0,1)内,求m的范围。 若方程两根在区间( , ) 的范围。 若方程两根在区间 的范围
2
∆ a
4.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次方程、 二次函数与一元二次方程 二.重点、难点 1.二次函数的图象与性质、二次函数、二次方程与 二次不等式的关系是重点, 2.二次函数最值问题、一元二次方程根的分布及二 次函数的图象性质灵活应用是难点。
[双基自测] 双基自测] 二次函数y= (a≠0)经过点A(-3,0)、 经过点A( 1 二次函数y= ax2+bx+c (a≠0)经过点A(-3,0)、 B(0,2)、 1,0)三点, B(0,2)、C(1,0)三点,则它的解析式 为 。 二次函数y= (a≠0)经过点 经过点A 1,2), 2 二次函数y= ax2+bx+c (a≠0)经过点A(-1,2), 且它的顶点为M(3,1),与x轴的两交点为B(x1,0), 且它的顶点为M 3,1),与 轴的两交点为B(x ,0), ), ,0),则 C(x2,0),则|x1-x2|= , 3 设二次函数f(x)=x2+x+c 设二次函数f(x)=x
∴ 当x = t 时 ymax = t − 2t + 3 当x = 1 时 ymin = 2
y
0
t t+1
x
1 ( 3) 当 t ≤ 1 且 1 − t ≤ t + 1 − 1 即 ≤ t ≤ 1 时 2
y
0 t t+1
∴ 当x = 1时
ymin = 2
当x = t + 1时
( 4) 当 t > 1 时
【题型四
利用二次函数解数学应用问题】
备例4: 某租赁公司拥有汽车 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租 备例 辆 金为3000元时, 可全部租出 , 当每辆车的月租金每增 元时, 金为 元时 可全部租出, 元时, 加 50元时, 未租的车将会增加一辆 , 租出的车每辆需 元时 未租的车将会增加一辆, 要维护费150元,未租的车每辆每月需要维护费 元, 要维护费 元 未租的车每辆每月需要维护费50元 元时, (1)当每辆车的月租金定为 )当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆 元时 车? (2)当每辆车的月租金定为多少时,租赁公司的月收 )当每辆车的月租金定为多少时, 益最大?最大月收益是多少? 益最大?最大月收益是多少?
点的横坐标坐标。 点的横坐标坐标。
f(x)=a(x-x1)(x-x2),
其中x 是抛物线与x 其中 x1,x2 是抛物线与 x 轴两交
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线, 二次函数f(x)=ax +bx+c(a≠0 的图象是一条抛物线, 对称轴
b b 4ac − b x = - ,顶点坐标 (- , ) 2a 2a 4a
b (−∞, - ] 2a
上单调递
时,f ( x) max
4ac − b 2 = 4a
3.二次函数 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当 ∆ = b 2 − 4ac > 0 二次函数 当 时图 象与x轴有两个交点 轴有两个交点M 象与 轴有两个交点 1(x1,0),M2(x2,0)
M 1 M 2 = x1 − x 2 = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x 2 =
二次函数
一.基础知识 1.二次函数的解析式的三种形式 . (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 一般式: 一般式 (2)顶点式(配方式): 顶点式(配方式) 顶点式 f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标 (3)两根式(因式分解): 两根式(因式分解) 两根式
已知t为常数, 5 已知t为常数,函数 y=|x 2 − 2 x − t | 在区间 0,3
[ ]
上的最大值是2,则 t =
[典型例析 典型例析] 典型例析
二次函数解析式求法】 【题型一 二次函数解析式求法】
例1 已知二次函 实数x都成立, 1
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 .
3 练习: 练习:方程 x − x = k 在(- 1,1)上有实根,求k的 , )上有实根, 的 2
2
取值范围。 取值范围。
小结 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象形状、对称轴 、 的图象形状、 1 二次函数 的图象形状 重要依据。 开口方向等是处理二次函数问题的 重要依据。 2. 二次函数在闭区间上 , 必有最大值和最小值 , 当 . 二次函数在闭区间上, 必有最大值和最小值, 含有参数时,须对参数分区间讨论。 含有参数时,须对参数分区间讨论。 3. 二次方程根的分布问题 , 可借助二次函数图象列 . 二次方程根的分布问题, 不等式组求解。 不等式组求解。 4.三个二次问题(二次函数、二次方程、二次不等式 .三个二次问题(二次函数、二次方程、 是中学数学中基础问题,以函数为核心, )是中学数学中基础问题,以函数为核心,三者密切 相连。 相连。
ymax = t + 2
2
x
y = x 2 − 2 x + 3 在 [t , t + 1] 上单调递增
∴当x=t时 时
ymin=t -2t+3
2
y
1
2 当x=t+1 时 ymax = t + 2
0
t t+1
x
变式练习
已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间 ,1]上有最小值, 在区间[-1, 上有最小值 上有最小值, 已知函数 在区间 记为g(a). 记为 Ⅰ 求g(a)的表达式; 的表达式; 的表达式 的最大值。 Ⅱ 求g(a)的最大值。 的最大值
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