2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.2直线上向量的坐标及其运算6.3.1平面向量的坐标及运算

解析：由O→P＝O→A＋tA→B，得A→P＝tA→B.所以当 t＝2 时，A→P＝2A→B， B 为线段 AP 的中点．
答案：2 由 B 是 AP 的中点，得A→P＝2A→B，求出 t 的值．
知识点三 平面向量的坐标表示
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量 e1，e2，对于平 面内的向量 a，如果 a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量 a 的坐标，记 作 a＝(x，y)．
状元随笔 1.对平面向量坐标的几点认识
(1)设O→A＝x→i ＋y→j (O 为坐标原点)，则向量O→A的坐标(x，y) 就是终点 A 的坐标；反过来，终点 A 的坐标就是向量O→A的坐标(x， y)．因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实 数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
跟踪训练 2 在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b 的方向如图所示， 且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标．
解析：设点 A(x，y)，B(x0，y0)， ∵|a|＝2，且∠AOx＝45°，
∴x＝2cos 45°＝ 2，且 y＝2sin 45°＝ 2.又|b|＝3，∠xOB＝90°
＋30°＝120°，
故x2－x＋2y3＝y＝4， 1， 解得xy＝ ＝2－，1. 所以 c＝2a－b. 答案：(1)(－18,18) (－3，－3) (2)2a－b
(1)先求A→B，B→C，A→C坐标，再计算A→B＋2B→C，B→C－12A→C的值． (2)设→c ＝x→a ＋y→b ，建立方程组，求出 x，y.
方法归纳
向量中含参数问题的求解策略 (1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横 坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变． (2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件 的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．
跟踪训练 4 若保持本例条件不变，B 为线段 AP 的中点，则 t ＝______.
【解析】 (1)方法一 设 C(x，y)，则A→C＝(x，y－1)＝(－4，
－3)，所以xy＝ ＝－ －42， ， 从而B→C＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故 选 A.
方法二 A→B＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， B→C＝A→C－A→B＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，故选 A. 方法一先求 C 点坐标，再求B→C. 方法二先求A→B，再求B→C. 【答案】 (1)A
题型四 向量坐标运算的应用[经典例题] 例 4 已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B. (1)t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象 限？ (2)四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能，求出 t 的值；若不 能，请说明理由．
方法归纳
平面向量坐标(线性)运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘 的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标， 然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．
跟踪训练 3 (1)已知 A、B、C 的坐标分别为(2，－4)、(0,6)、 (－8,10)，则A→B＋2B→C＝____________，B→C－12A→C＝____________；
跟踪训练 1 数轴上向量 a 的坐标为－2，b 的坐标为 3，则 a ＋2b 的坐标为( )
A．－1 B．－8 C．4 D．1
解析：∵b 的坐标为 3，∴2b 的坐标为 6， ∴a＋2b 的坐标为－2＋6＝4. 答案：C
题型二 求向量的坐标[经典例题] 例 2 如图，分别用基底{x，y}表示向量 a，b，c，d，并求出 它们的坐标．
(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等． (3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是 相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．
2．符号(x，y)的意义 符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固 定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说 点(x，y)或向量(x，y)．
∴x0＝3cos 120°＝－32，y0＝3sin 120°＝323.故 a＝O→A＝( 2，
2)，b＝O→B＝－32，3
2
3 .

由于向量→a ，→b 的起点在坐标原点，因此只需求出终点 A，B
的坐标．
题型三 平面向量的坐标运算[经典例题] 例 3 (1)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量A→C＝(－4，－3)，则向量 B→C＝( ) A.(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4)
【解析】 (1)由题意得O→A的坐标为 3，O→B的坐标为－7，又因 为A→B＝O→B－O→A，所以A→B的坐标为－7－3＝－10，而且
AB＝|A→B|＝|－10|＝10. (2)设线段 AB 中点的坐标为 x，则 x＝3＋2－7＝－2.
教材反思
数轴上 A 点坐标 x1，B 点坐标 x2 (1)则A→B坐标 x2－x1，|A→B|＝|x2－x1| (2)线段 AB 的中点坐标x1＋2 x2
(2)已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,1)，若用 a 和 b 表示 c， 则 c＝____________.
解析：(1)∵A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)， ∴A→B＝(－2,10)，B→C＝(－8,4)，A→C＝(－10,14)， ∴A→B＋2B→C＝(－18,18)，B→C－12A→C＝(－3，－3)． (2)设 c＝xa＋yb，则(x,2x)＋(－2y,3y)＝(x－2y,2x＋3y)＝(4,1)．
知识点四 平面向量的坐标运算
(1)已知向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数 λ，那么 a＋b＝_(_x_1_＋__x2_，__y_1_＋__y_2)__， a－b＝_(x_1_－__x_2_，__y_1－__y_2_)_， λa＝(λx1，λy1)． (2)已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，O 为坐标原点，则A→B＝O→B－O→A ＝(x2，y2)－(x1，y1)＝__(x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1_) ． 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_终__点__的坐标
(2)O→A＝(1,2)，P→B＝(3－3t,3－3t)． 若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B，
所以33－－33tt＝＝12，， 该方程组无解． 故四边形 OABP 不能为平行四边形. (1)O→P＝(1＋3t,2＋3t)，利用点在坐标轴及象限的特征求解． (2)若四边形 OABP 为平行四边形，则有O→A＝P→B.
最新课程标准： 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.2.会用坐标表示平面 向量的加法，减法与数乘运算.3.理解用坐标表示的平面向量共线的 条件．
第1课时 平面向量的坐标及运算
知识点一 直线上向量的坐标 1．对于直线 l 上的任意一个向量 a，一定存在唯一的实数 x， 使得 a＝xe，此时，x 称为向量 a 的坐标．
【解析】 (1)O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0， 所以 t＝－23. 若点 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0， 所以 t＝－13. 若点 P 在第二象限，则12＋ ＋33tt＜ ＞00， ，
所以－23＜t＜－13.
(2)已知向量 a，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求 a＋b， a－b，3a,2a＋3b 的坐标．
【解析】 (2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)， 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)． 【答案】 (2)见解析
2．事实上，设 A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O 为坐标原点，则O→A ＝x1e，O→B＝x2e，因此A→B＝O→B－O→A＝x2e－x1e＝(x2－x1)e，所以不 难看出 AB＝|A→B|＝|x2－x1|.这就是数轴上两点之间的距离公式．
3．另外，假设 M(x)是线段 AB 的中点，则O→M＝12(O→A＋O→B)＝ x1e＋2 x2e＝x1＋2 x2e，又因为O→M＝xe，因此 x＝x1＋2 x2.这就是数轴上的 中点坐标公式．
解析：N→M＝(2－3,3－1)＝(－1,2)． 答案：B
3．若向量B→A＝(2,3)，C→A＝(4,7)，则B→C＝________.
解析：B→C＝B→A＋A→C＝B→A－C→A＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)． 答案示[教材 P159 例 3] 例 1 设数轴上两点 A，B 的坐标分别为 3，－7，求： (1)向量A→B的坐标，以及 A 与 B 的距离； (2)线段 AB 中点的坐标．
【解析】 如题图可知，a＝A→A1＋A→A2＝2x＋3y， 所以 a＝(2,3)． 同理，
b＝－2i＋3j＝(－2,3)， c＝－2i－3j＝(－2，－3)， d＝2i－3j＝(2，－3). 结合坐标系，写出→a 、→b 、→c 、→d 的坐标.
方法归纳
求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置 的坐标． (2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐 标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
状元随笔 值得注意的是，如果直线上向量→a 的坐标为 x，则
x 既能刻画→a 的模，也能刻画向量→a 的方向．事实上，此时 |→a |＝|x→e |＝|x||→e |＝|x|； 而且：当 x>0 时，→a 的方向与→e 的方向相同；当 x＝0 时，→a 是
零向量；当 x<0 时，→a 的方向与→e 的方向相反．也就是说，在直线 上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定．
知识点二 正交分解
1．向量垂直 平面上的两个非零向量 a 与 b，如果它们所在的直线互相垂直， 我们就称向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.为了方便起见，规定零向量 与任意向量都垂直．
2．正交分解 如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交 基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
减去_始__点__的坐标．
[基础自测]
1．数轴上两点，A 的坐标为 1，B 的坐标为－2，A→B的坐标为 ()
A．3 B．(3,0) C．－3 D．(－3,0) 解析：A 的坐标为 1，B 的坐标为－2，则A→B的坐标为－3. 答案：C
2．已知 M(2,3)，N(3,1)，则N→M的坐标是( ) A．(2，－1) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(1，－2)