江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练:平面向量(含解析)
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江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练
平面向量
一、填空题
1、(南京市2018高三9月学情调研)在△ABC 中,AB =3,AC =2,∠BAC =120︒,→BM =λ→
BC .若
→AM ·→
BC =-173
,则实数λ的值为 ▲ .
2、(南京市2019高三9月学情调研)在菱形ABCD 中,∠ABC =60°, E 为边BC 上一点,且AB →·AE →
=6,AD →·AE →=32
,则AB →·AD →
的值为 ▲ .
3、(南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考)ABC ∆中,0
6034=∠==ACB ,BC ,AC ,
E 为边AC 中点,2133
AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
,则CD BE ⋅u u u r u u u r 的值为 ▲ .
4、(南师附中2019届高三年级5月模拟)已知等边三角形ABC 的边长为2,AM 2MB =u u u u r u u u r ,点N 、
T 分别为线段BC 、CA 上的动点,则AB NT BC TM CA MN ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r
取值的集合为 .
5、(南京市13校2019届高三12月联合调研)在等腰三角形ABC 中,底边
2BC =,AD DC =u u u r u u u r ,12AE EB =u u u r u u u r , 若1
2
BD AC ⋅=-u u u r u u u r , 则CE AB ⋅=u u u r u u u r ▲ .
6、(苏州市2018高三上期初调研)已知平面向量(),2,110a a b =⋅=r r r ,若52a b +=r r ,则b r
的值
是 .
7、(盐城市2019届高三上学期期中)已知向量(1m =u r ,1)-,(cos n α=r
,sin )α,其中 [0α∈,]π,若m u r ∥n r
,则α= .
8、(苏州市2019届高三上学期期中)已知向量(2,)m =a ,(1,2)=-b ,且⊥a b ,则实数m 的值是 ▲ .
9、(苏州市2019届高三上学期期中)如图,在平面四边形ABCD 中,AB BC ⊥,AD CD ⊥,
60BCD ∠=︒,23CB CD ==. 若点M 为边BC 上的动点,则AM DM uuu r uuu u r
⋅的最小值为 ▲ .
10、(无锡市2019届高三上学期期中)已知向量a ,b 的夹角为120°,|a|=4,|b|=3,则|2a +b|的值为 11、(徐州市2019届高三上学期期中)在平行四边形ABCD 中,3AB =,1AD =,60BAD ∠=︒,
若2CE ED =u u u r u u u r ,则AE BE ⋅u u u r u u u r
的值为 ▲ .
12、(常州市2019届高三上学期期末)平面内不共线的三点,,O A B ,满足||1,||2OA OB ==u u u r u u u r
,点C 为
线段AB 的中点,AOB ∠的平分线交线段AB 于D ,若|3
||2OC =u u u r ,则||OD =u u u r ________.
13、(海安市2019届高三上学期期末)在△ABC 中,已知M 是BC 的中点,且AM =1,点P 满足 P A =2PM ,则P A →·(PB →+PC →)的取值范围是 .
14、(苏北三市(徐州、连云港、淮安)2019届高三期末)在ABC △中,2AB =,3AC =,60BAC ∠=︒,
P 为ABC △所在平面内一点,满足322
CP PB PA =+u u u r u u u r u u u r
,则CP AB ⋅u u u r u u u r 的值为 .
15、(苏州市2019届高三上学期期末)如图,在边长为2的正方形ABCD 中,M ,N 分别是边BC ,
CD 上的两个动点,且BM +DN =MN ,则AM AN ⋅u u u u r u u u r
的最小值是 .
16、(泰州市2019届高三上学期期末)已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点,且满足
20PA PB PD ++=u u u r u u u r u u u r r ,0PA PB PC λμ++=u u u r u u u r u u u r r
,则λμ=
17、(苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查(二))如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠ABC =90°,AB =2,以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ,P 为半圆弧AB 上的动点,点Q 在斜边BC 上,
若AB AQ ⋅u u u r u u u r =83
,则AQ CP ⋅u u u r u u u r
的最小值为
18、(苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查(一))在△ABC 中,已知AB =2,AC =1,∠BAC
=90°,D ,E 分别为BC ,AD 的中点,过点E 的直线交AB 于点P ,交AC 于点Q ,则BQ CP ⋅u u u r u u u r 的
最大值为
19、(盐城市2019届高三第三次模拟)已知⊙O 的半径为2,点A.B.C 为该圆上的三点,且AB=2,0>⋅→
→
BC BA ,则)(→
→
→
+⋅BA BO OC 的取值范围是_____.
20、(江苏省2019年百校大联考)在平面凸四边形ABCD 中,22AB =,3CD =,点E 满足
2DE EC =uuu r uu u r ,且2AE BE ==.若8
5
AE EC =uu u r uu u r g ,则AD BC uuu r uu u r g 的值为 .
21、(南京市、盐城市2019届高三第二次模拟)已知AD 时直角三角形ABC 的斜边BC 上的高,点
P 在DA 的延长线上,
且满足()42PB PC AD +⋅=u u u r u u u r u u u r
.若2AD =,则PB PC ⋅u u u r u u u r 的值为 . 22、(南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟(二))在平面四边形OABC 中,已知||3OA =u u u r
,
OA ⊥OC ,AB ⊥BC ,∠ACB =60°,若OB AC u u u r u u u r g =6,则||OC =u u u r
__
二、解答题
1、(苏锡常镇2018高三3月教学情况调研(一))已知向量(2sin ,1)a α=r ,(1,sin())4
b π
α=+r .
(1)若角α的终边过点(3,4),求a b ⋅的值; (2)若//a b ,求锐角α的大小.
2、((南京市13校2019届高三12月联合调研)在如图所示平面直角坐标系中,已知点(1,0)A 和点
(1,0)B -,||1OC =u u u r
,且AOC x ∠=,其中O 为坐标原点.
(Ⅰ)若3
4
x π=,设点D 为线段OA 上的动点,求||OC OD +u u u r u u u r 的最小值;
(Ⅱ)若[0,]2
x π
∈,向量m BC =u r u u u r ,(1cos ,sin 2cos )n x x x =--r ,求m n ⋅u r r 的最小值及对应的x 值.
3、(苏州市2018高三上期初调研)在平面直角坐标系中,设向量
(
)()
3,,cos ,3m cosA sinA n B sinB =
=-u r r
,其中,A B 为ABC ∆的两个内角.
(1)若m n ⊥u r r
,求证:C 为直角; (2)若//m n u r r
,求证:B 为锐角.
4、(泰州市2019届高三上学期期末)已知向量(sin ,1)a x =r ,1
(,cos )2
b x =r ,其中(0,)x π∈。
(1)若a b r r
P ,求x 的值;
(2)若tanx =-2,求|a b +r r
|的值。
5、(无锡市2019届高三上学期期末)在 △ABC 中,设 a ,b ,c 分别是角 A ,B ,C 的对边,已知向
量
m u r
= (a ,sin C -sin B ),
n
r
= (b + c ,sin A + sin B ),且m n u r r P (1) 求角 C 的大小
(2) 若 c = 3, 求 △ABC 的周长的取值范围.
6、(无锡市2019届高三上学期期中)已知A (-2,4),B (3,-1),C (-3,k ).
(1) 若 AB → 与 BC →
垂直,求实数k 的值;
(2) 若A ,B ,C 三点构成三角形,求实数k 的取值范围.
7、(扬州市2019届高三上学期期中)在△ABC 中,已知3AB AC AB AC ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
,设∠BAC =α.
(1)求tan α的值; (2)若3cos 5β=,β∈(0,2
π
),求cos(β﹣α)的值.
8、(苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查(一))已知向量a r
=(2cos α,2sin α),b r
=(cos sin αα-,cos sin αα+).
(1)求向量a r 与b r
的夹角;
(2)若()b a λ-r r ⊥a r ,求实数λ的值.
9、(盐城市2019届高三第三次模拟)设向量)sin 2,cos 2(x x a =→,)cos ,cos 3(x x b =→
,函数3)(-⋅=→
→b a x f .
(1)求)(x f 的最小正周期;
(2)若,5
6)2(-=αf 且)2(ππα,∈,求αcos 的值.
10、(江苏省2019年百校大联考)设向量(cos ,sin )θθ=m ,(22sin ,22cos )=θθ+-n ,
3(π,π)2θ∈--,若12
⋅=m n .
(1)求π
sin()4θ+的值; (2)求7π
cos()12
θ+的值.
参考答案
一、填空题
1、1
3 2、-92 3、-4
4、答案:{﹣6}
解析:建立如图所示的平面直角坐标系
则A(0,3),B(﹣1,0),C(1,0)
由AM 2MB =u u u u r u u u r 得M(2
3-,33
),设N(n ,0),直线AC 为:33y x =-+,设T(t ,
33t -+) 所以AB NT (1,3)(,33)23t n t t n ⋅=--⋅--+=+-u u u r u u u r
,
224
BC TM (2,0)(,33)2333
t t t ⋅=⋅---
=--u u u r u u u r ,
235
CA MN (1,3)(,)333
n n ⋅=-⋅+-
=--u u u r u u u u r 则45
AB NT BC TM CA MN=2326
33t n t n ⋅+⋅+⋅+-----=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r
5、43-
6、5
7、34
π 8、1 9、214 10、7
11、32- 12、2
3
13、
14、-1 15、82-8 16、-
3
4
17、
18、9
4
- 19、(6,43]- 20、2 21、2 22、3
二、解答题
1、解:(1)由题意4sin 5α=,3cos 5
α=, 所以2sin sin()4a b a πα⋅=
++2sin sin cos 4παα=+cos sin 4
π
α+ 4242552=
+⨯3232
522
+⨯=. (2)因为//a b ,所以2sin sin()14
a π
α+
=,即2sin α(sin cos
cos sin )144
π
π
αα+=,所以
2sin sin cos 1ααα+=,
则2
sin cos 1sin ααα=-2
cos α=,对锐角α有cos 0α≠,所以tan 1α=, 所以锐角4
π
α=
.
2、解:(Ⅰ) 设(,0)D t (01t ≤≤),又22
(,)22
C -
所以22
(,)22
OC OD t +=-+u u u r u u u r 所以 22
211||22122
OC OD t t t t +=-++=-+u u u r u u u r ……………3分
221
()(01)22
t t =-
+≤≤ 所以当22t =时,||OC OD +u u u r u u u r 最小值为2
2
………………6分
(Ⅱ)由题意得(cos ,sin )C x x ,(cos 1,sin )m BC x x ==+u r u u u r
则22
1cos sin 2sin cos 1cos 2sin 2m n x x x x x x ⋅=-+-=--u r r 12sin(2)
4x π
=-+ ……………9分 因为[0,]2x π∈,所以52444x πππ
≤+≤ ……………10分
所以当24
2x π
π
+
=
,即8x π
=
时,sin(2)4x π
+
取得最大值1
所以8x π=时,12sin(2)4m n x π
⋅=-+u r r 取得最小值12-
所以m n ⋅u r r 的最小值为12-,此时8
x π
=…………………………14分
3、(1)易得()()cos cos sin sin 3cos m n A B A B A B ⋅=-=+u r r
,
因为m n ⊥u r r ,所以0m n ⋅=u r r ,即()cos cos 2
A B π+=.
因为0A B π<+<,且函数cos y x =在()0,π内是单调减函数, 所以2
A B π
+=
,即C 为直角.
(2)因为//m n u r r
,所以()
3cos 3sin sin cos 0A B A B ⋅--=,
即sin cos 3cos sin 0A B A B +=.
因为,A B 是三角形内角,所以cos cos 0A B ≠, 于是tan 3tan A B =-,因而,A B 中恰有一个是钝角,∴2
A B π
π<+<,
从而()2
2tan tan 3tan tan 2tan tan 01tan tan 13tan 13tan A B B B B
A B A B B B
+-+-+=
==<-++, 所以tan 0B >,即证B 为锐角
注:(2)解得tan 3tan A B =-后,得tan A 与tan B 异号, 若tan 0B <,
则()22tan tan 3tan tan 2tan tanC tan 01tan tan 13tan 13tan A B B B B
A B A B B B
+-+=-+=-
=-=<-++
于是,在ABC ∆中,有两个钝角B 和C ,这与三角形内角和定理矛盾,不可能 于是必有tan 0B >,即证B 为锐角
4、解:(1)因为a b r r P ,所以,sinxcosx =1
2
,即sin2x=1,
因为(0,)x π∈,所以,4
x π=;
(2)因为tanx =
sin cos x
x
=-2,所以,sinx =-2cosx , 1
(sin ,1cos )2
a b x x +=++r r ,
221||(sin )(1cos )2a b x x +=+++r r =9sin 2cos 4x x ++=32
5、(1)由m n u r r
P ,得:a (sin A + sin B )=(b + c )(sin C -sin B )
由正弦定理,得:a (a + b )=(b + c )(c -b ) 化为:a 2+b 2-c 2=-a b ,由余弦定理,得:cosC =-1
2
, 所以,C =
3
π (2)因为C =
3π,所以,B =3π-A ,由B >0,得:0<A <3
π, 由正弦定理,得:
23sin sin sin a b c
A B C
===, △ABC 的周长为:a + b +c =23(sin sin )3A B ++=23[sin sin(
)]33
A A π
+-+
=3sin 3cos 3A A ++=2
3sin()33
A π
++,
由0<A <
3π,得:3sin()123
A π<+≤, 所以,周长C =2
3sin()33
A π
++∈(6,323)+
6、解:(1) 因为AB →=(5,-5),BC →
=(-6,k +1),(2分)
若AB →与BC →垂直,则AB →·BC →
=-30-5k -5=0,(4分) 解得k =-7.(6分)
(2) 若A ,B ,C 三点不构成三角形,则 AB →=λBC →
,(8分) 即(5,-5)=λ(-6,k +1).(10分) 所以5=-6λ,-5=λ(k +1), 解得k =5.(12分)
所以若A ,B ,C 三点构成三角形,则k 的取值范围是k ≠5.(14分)
7、解:(1)由3AB AC AB AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,得3cos AB AC AB AC α⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
,
所以1cos 3
α=,又因为0α<<π,所以2212sin 1cos 1(
)3
3
αα=-=-=
.
∴tan 2α= …………6分 (2)∵3cos 5β=,(0,)2πβ∈ ∴4
sin 5
β= ………8分
由(1)知:2
sin 3
α=
,∴31423346
cos()cos cos sin sin 551533βαβαβα+-=+=⨯+⨯=. 8、(1)设向量a 与b 的夹角为θ,
因为2=a ,22(cos sin )(cos sin )2αααα=-+-=b ,………………………4分 所以cos θ⋅=
⋅a b a b (2cos ,2sin )(cos sin ,cos sin )
22
αααααα⋅-+=
222cos 2sin 2
222
αα+==. …………………………………………………………7分
考虑到0πθ剟,得向量a 与b 的夹角
4
π
. ………………………………………9分 (2)若()λ-⊥b a a ,则()0λ-⋅=b a a ,即20λ⋅-=b a a , ………………………12分 因为2⋅=b a ,24=a ,
所以240λ-=,解得2λ=. ……………………………………………………14分
9、解:(1)因为()3(2cos ,2sin )(3cos ,cos )3f x a b x x x x =⋅-=⋅-r r
223cos 2sin cos 3x x x =+-3cos 2sin 2x x =+2sin(2)3
x π
=+. …………4分
所以)(x f 的最小正周期为22
T π
π==. ……………………6分 (2)因为6()25f α=-,所以62sin()35πα+=-,即3
sin()35πα+=-, ………………8分
又因为(,)2παπ∈,所以54(,)363πππ
α+∈,
故2234
cos()1sin ()1()3355
ππαα+=--+=---=-, …………10分
所以13cos cos(())cos()sin()332323
π
πππ
αααα=+
-=+++ 1433()()2525=⨯-+⨯-433
10+=-. ……………………14分
10、(1)因为1
2
⋅=
m n 所以,1(22sin )cos (22cos )sin 2
θθθθ++-= 化简,得:122cos 22sin 2
θθ+=, 即1sin()48π
θ+
= (2)3
(π,π)2
θ∈--
53(,)444
πθππ+∈--
由1sin()48πθ+=,5
(,)44
πθππ+∈--,
所以,2137
cos()1()488
π
θ+
=--=-, 7π
cos()12
θ+
=cos()43ππθ++=cos()cos sin()sin 4343ππππθθ+++
=37113373828216
+-⨯-⨯=-。