理论力学05点的运动学和刚体的基本运动

例 5.7 如图圆盘 C 以匀角速度ω 绕倾斜轴 OB 转动，盘面与 转轴垂直，圆盘的半径为 r； 设 OB 轴在 平面Oyz内，盘面与 平面Oyz的交线为 CD，点A 为圆盘边缘上一个固连点。 求： CA 与CD 为任意角φ时
A 点的速度和加速度矢量。
解：以矢量思路考虑，有
vA w OA OB方向单位矢 :
引言
5-1 运动学的基本概念
①运动学 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 (包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。
②运动学研究的对象 ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
③运动学学习目的 为后续课打基础及直接运用于工程实际。
பைடு நூலகம்
④运动是相对的 ( relativity ):参考体(物);参考系;静系;动系。
arctg |a |
an
11
例 5.1 一绳AMC的一端系于固定点A，绳子穿过 滑块M上的小孔。绳的另一端系于滑块C上。滑块 M以已知等速v0运动。绳长为l，AE的距离为a且 垂直于DE。求滑块C的速度与距离AM = x之间的 关系。又当滑块M经过E点时，滑块C的速度为何 值？
vc v0
12
曲率半径与法 向加速度有关 先求速度和法 向加速度
（否则△ t 时间后，该直线将被弯曲或伸缩，这对刚体是不容许的）。
同理AB 线上各点的速度也必须是直线分布， 因为与 矢端的连线不平行于π平面，这条矢端连线一定会与π 平面相交，设交点为 C，其速度必为零，所以 OC 线上所有点 的速度为零（OC 线上所有点的速度也必须直线分布）
一.弧坐标,自然轴系
1.弧坐标的运动方程S=f (t)
补充：极坐标法(对平面曲线运动时可用) 同理可导出柱坐标下的点的运动方程
r f1 (t )
f2(t)
5
§5-3 动点的速度和加速度
一.矢径法：
r OM r (t)
速度：
v
Δltim0ΔΔtr
dr dt
r
v dr dt
dr
dr
dt dt
⑤瞬时、时间间隔 ()t
( )t t2 t1
⑥运动分类
1)点的运动 2)刚体的运动
§5-2 点的运动方程
一.矢径法： 运动方程，轨迹
r OM r (t)
二.直角坐标法
r xi yj zk x x(t) y y(t) z z(t)
4
三.弧坐标法
以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的位置的方法叫自然坐标法。弧坐标法
rAB
)
drA dt
v
A
(drAB dt
0)
同理:aB
d 2rB dt 2
d2 dt 2
(rA
rAB
)
d 2rA dt 2
aA
得出结论:即 二.刚体平动的特点:
平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状,速度,加速度都一 样。
即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。
平动定理: 当刚体平动时，刚体内各点轨迹的形状相同 （或重叠），在同一瞬时各点都有相同的速度和加速度
§5-4-2 刚体的定轴转动
一.刚体定轴转动的特征及其简化 定义：当刚体运动时，刚体内有一线段上的所有点始终保 持不动，刚体的这种运动称为定轴转动，该直线称转轴。
二.转角和转动方程
---转角,单位弧度(rad) =f(t)---为转动方程 方向规定: 从z 轴正向看去,
逆时针为正 顺时针为负
三.定轴转动的角速度和角加速度
其中m代表外啮合的个数；负号表示最后一个轮转向与
第一个轮转向相反。
§5-4-5 定轴转动刚体的角速度、角加速度，
其上各点的速度、加速度的矢量表示 一. 角速度和角加速度的矢量表示
按右手定则规定
w ， 的方向。
大小:|w ||ddt |
方向如图 w wk
dw
dt
dw
dt
k
k
二 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示
一般（思考园）
加速度：
a
Δltim0ΔΔvt
dv dt
d 2r dt 2
r
6
二.直角坐标法
r xi yj zk
v
dr dt
ddxt i
dy dt
j
dz dt
k
v vxi vy jvzk
v vx2 vy2 vz2
c
os
(v i
)
vx v
c
os
(v j )
vy v
c
os
(v k
)
v
z
v
7
加速度.
dS v 割线Δr与弧线Δs极限时重合
dt
9
点的加速度
a
dv dt
ddt(vτ
)
dv dt
τ
v
dτ
dt
d 2S dt2
τ
v ddτt
①切向加速度 a
----表示速度大小的变化
a
dv
dt
d 2S dt 2
②法向加速度
-----表示速度方向的变化
an
v
d
dt
v lim
t0
t
v lim (
t0
vRw rsin w |w r|wrsin Rw
v w r a r
w r v
a
dv dt
d
(w r
dt
)
dw
dt
r
w
dr dt
a r w v
先检查他们的方向—分别为切 向和法向
a | r| rsin R |an ||w v |wvsin90o w 2R
a r an w v
an w v
第五章 点的运动学 和刚体的基本运动
各点速度分布图
各点加速度分布图
§5-4-4 轮系的传动比
我们常见到在工程中,用一系列互相啮合的齿轮来实现变速, 它们变速的基本原理是什么呢? 一.齿轮传动
因为是做纯滚动(即没有相对滑动) 无论内、外啮合，都有：
v1 v2
w1R1 w2 R2
v1 w1R1 v2 w2R2
w1 R2 w2 R1
lim
t0
w t
dw
dt
d 2
dt 2
f
(t)
单位:rad/s2 (代数量)
与w方向一致为加速转动, 与w 方向相反为减速转动
3.匀速转动和匀变速转动
当w =常数,为匀速转动；当 =常数,为匀变速转动。
w w0 t
常用公式
0
w0t
1 t 2
2
与点的运动相类似。
w 2 w02 2 ( 0 )
OB作定轴转动 CD作平动
AB、凸轮均作平动
[例]
AB在运动中方向和大小始
终不变
它的轨迹
可以是直线 可以是曲线
一.刚体平动的定义:
刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不变。
由A,B 两点的运动方程式: rA rA( t),rB rB(t) 而rB rA rAB
vB
drB dt
d dt
(rA
速度投影定理 刚体上任意两点在同一瞬时的速度在两点连线方向的 投影相等。
定点转动刚体的角速度、角加速度和其上各点的速度、加速度
设 t 瞬时某点 A 的速度 v A ≠0， v A ⊥OA （ O为其定点） 取含 OA线的平面π ⊥ v A， 取平面上异于 OA 线任取一点B，使 v B ≠v A，π平面上所有点的速度 均垂直于该平面（ 对A、B应用速度投影定理 面内分量必然都为零） ， π 平面上任意直线上各点的速度必为直线分布；
a
dv dt
d dt
(wR)
dw
dt
R
R,
an
v2
(wR
R
)
2
Rw
2
|a全 ||an a | an2 a 2 R 2 w 4
tg
a an
R w2R
w
2
结论: ① v方向与w 相同时为正 , R ,与 R 成正比。 ②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角 都一致,且
小于90o , 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为:
z f3(t) 形式的轨迹方程。 F(y,z)=0
8
三.自然轴系
切线方向矢
n 法线方向矢
指向凹侧
副法线方向矢 b n
全是变矢量, --密切面
点的速度
v lim r lim ( r S ) t0 t t0 S t
lim S lim r dS dr t0 t t0 S dt dS
a dv dvx i dvy j dvz k dt dt dt dt
d2x dt 2
i
d2y dt 2
j
d 2z dt 2
k
a
x
i
ay
jazk
a
a2x a2 y a2z
c
os
(ai
)
ax a
[注] 这里的 x,y,z 都是时间单位连续函数。
x
y
f1(t) f 2(t)
当消去参数 t 后,可得到 F(x,y)=0
1.角速度： 定义:
w
Δlitm0ΔΔt
d
dt
若已知转动方程 f(t)
则:w f (t) 单位 rad/s
工程中常用单位： n = 转/分(r / min)
则n与w的关系为:
w
2n
60
3n0
1n0(rad/s
)
( 代数量)
2.角加速度:
设当t 时刻为w , t +△t 时刻为w+△w
角加速度:
vB
d rB dt
d rA dt
d AB dt
vA
d AB dt
点积矢量AB AB长度不变：
vB
AB
vA
AB
d AB dt
AB
1 d ( AB)2 vA AB 2 dt
d ( AB)2 0 dt
vB AB vA AB
AB换为AB方向的单位矢量： eAB 也必然成立
vB eAB vA eAB
aA wvA
e1
1 2
j
3k 2
CD方向单位矢:
e2
3j 2
1k 2
角速度矢量:
w
w e1
1 2
w
j
3 wk
2
OA
OC
CA
l e1
CA
1 2
l
j
3 lk r sin i
2
r cose2
OA
OC
CA
l e1
CA
1 2
l
j
3 lk r sin i
2
r cose2
r sin i (1 l 3 r cos) j ( 3 l 1 r cos)k
§5-4-3 定轴转动刚体上各点的速度和加速度 (即角量与线量的关系)
一.线速度V和角速度w之间的关系 w , 是对整个刚体而言(各点都一样)；
v, a是对刚体中某个点而言(各点不一样)。
v
dS dt
lim
t0
S t
v
lim
t0
R t
wR
v wR
R称为转动半径
二.角加速度 与an ,a 的关系
二.皮带轮系传动
vA vB (而不是vA vB 方向不同 )
w ArA wBrB 皮带传动
iAB
w w
A B
rB rA
三.链轮系: 设有： A,B,C,D,E,F,G,H 轮系,则总传动比为：
i A,H
wA wH
(1)m
w w
A B
wwCB
wwCD
ww
D E
ww
E F
wwGF
wwHG
(1)m
iA,B iB,C iC,D iD,E iE,F iF ,G iG,H
定义齿轮传动比
i12
w1 w2
R2 R1
Z2 Z1
对于两个啮合的齿轮，其齿 数 Z1， Z2与齿轮的半径 R1 ,R2 成正比
由于转速n与w 有如下关系：
w 2n
60
w1 w2
n1 n2
成正比
即:i1,2
ww12
n1 n2
r2 r1
z2 z1
主动轮 从动轮
显然当: | i1,2 | 1 时, w2 w1 ,为升速转动； | i1,2 | 1 时, w2 w1 ,为降速转动。
S
S t
)
v
2
lim
t0
S
( lim
t0
S t
dS dt
v)
10
由图可知
|
||
'
|2|
|sin
2
2sin 2
当t
0时,S 0,sin
2
2
| |1于是
lim |
t0
S
2sin
| lim
t0
2
S
sin
lim (
t0
2
S
)
d
dS
1
2
即an
v2
n ,a a
an
ddvt
v2
n
a
a2 an2 ,
3 cos j 1 cosk)
2
2
e2
3j 2
1k 2
§5-5 刚体的定点转动（不讲）
一. 定义
刚体运动时，如果其上有一点始终不动，
则称该刚体作定点转动
速度投影定理-----讲解 刚体上任意两点在同一瞬时的速度在两点 连线方向的投影相等。
证明：设刚体上任意两点A、B，它们在同 一瞬时的速度分别为 v A， vB，则
习题课
一.基本概念和基本运动规律及基本公式
例 5.6 如图机构中， AB 杆与套筒 B 固连，可在铅垂滑道内滑动， CD 杆穿过套筒 B 与齿轮 E 固连， 齿轮 E 的半径为 r； 曲柄 OC 长度为 R、以匀角速度ω 转动。 齿轮 G 与齿轮 E始终啮合。 求：（1）齿轮 G 的半径，轮心的位置如何确定？
22
22
速度矢量:
i
j
k
vA w OA 0
1w
2
3w
2
r sin 1 l 3 r cos 3 l 1 r cos
22
22
vA wr( cosi
3 sin j 1 sin k)
2
2
角加速度矢量:
i
j
k
aA w vA w2r 0 cos
1
2
3 sin
2
3
2
1 sin
2
aA w 2r( sin i
（2）齿轮 G 的角速度。
解：（1）CD 杆作平动， 则点 E 的轨迹与 C 点轨迹相同， 是一个半径为R 的圆， 该圆心 G 在 OC 的平行线上， 且 EG = OC。 以 G为圆心、半径分别为 R- r、 R + r的两个圆均可取为齿轮 G ， 前者为外啮合、后者为内啮合；图示为外啮合情况，因此， 我们取齿轮 G 的半径 R - r。
an
v2
点的瞬时全加速度
13
（求切向加速度）
14
5-4 刚体的平动和定轴转动
[例]
是指刚体的平行 基本运动
移动和转动
§5-4-1刚体的平行移动(平动)
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺 寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的