甘肃省天水市2018届高三第二次模拟考试数学(理)试题有答案AlUwAP

天水市2015级2017-2018学年度第二学期第二次模拟考试数学
试卷（理科）
第I卷（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（）
2．A. B. C. D.
2．设为虚数单位，，若是纯虚数，则
A. 2
B.
C. 1
D.
3．已知条件：，条件：，则是成立的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4．已知是锐角，若，则
A. B. C. D.
5．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（）
A. B. C. 或 D. 或
6．设向量满足，则 ( )
A. 6
B.
C. 10
D.
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 64
B. 32
C. 96
D. 48
8．已知随机变量服从正态分布，且，（）
A. B. C. D.
9．《九章算术》上有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”假设墙厚尺，现用程序框图描述该问题，则输出（）
A. B. C. D.
10．函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
11．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足b=c，=，若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2，OB=1，则平面四边形OACB面积的最大值是（）
A．B．C．3 D．
12．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且
=2,则直线OM的斜率的最大值为（）
A. B. C. D.1
第II卷（非选择题）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）
13．设实数，满足则的取值范围是__________.
14．的展开式中，的系数是_____________.（用数字作答）
15．甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是_____________.
16．如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的正方形的中心为，，，，
为圆上的点，，，，分别以，，，为底边的等腰三角形，
沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得，
，，重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知在中，角，，的对边分别为，，，且有
.
（1）求角的大小；
（2）当时，求的最大值.
18．（本小题满分12分）四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面,,,是中点,点在侧棱上.
（Ⅰ）求证:;
（Ⅱ）若是中点,求二面角的余弦值;
（Ⅲ）是否存在,使平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
19．（本小题满分12分）第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我
市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：
收看时间（单位：
小时）
收看人数143016282012
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表：
男女合计
体育达人40
非体育达人30
合计
并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；
（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望.
0.150.100.050.0250.0100.0050.001
2.072 2.706
3.841 5.024 6.6357.87910.828
.
20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点，圆，点
是圆上一动点，线段的中垂线与线段交于点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若直线与曲线相交于两点，且存在点（其中不共线），使得被轴平分，证明：直线过定点.
21．（本小题满分12分）已知函数.
（1）当
时，试判断函数
的单调性；
（2）若，求证：函数在上的最小值小于.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线
的极坐标方程为
，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面
直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.
（1）写出曲线
的参数方程和直线的普通方程；
（2）已知点是曲线上一点，求点到直线的最小距离. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对于
恒成立，求实数
的取值范围.
参考答案
1．C2．C3．A4．D5．C6．D7．A8．C9．D10．C11．B 12．C 【解析】
试题分析：设()()2
2,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则2
12,2.,23p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
u u u r u u u u r u u u r Q
()222max 22,,2121223633,1222121,,2
2332
OM OM p p p p p x t x t t k t k pt pt t t t y y t ⎧⎧
-=-=+⎪⎪⎪⎪∴∴∴==≤=∴=
⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩当且仅当时取等号，，故选C.
【考点】抛物线的简单几何性质，平面向量的线性运算
【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率k 用参数t 表
示出后，可根据表达式形式选用函数或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．
13．4,25
⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．5-15．乙
16．500327
π3cm
【解析】如图：
连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x ()0x >，则OI=2x ，IE 62
x
=-. 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以2
46222x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
n
，解得4x =，设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，则OC 22OP 16423==-=，()(222
3R 2R =+，解得R 3
=，外接
球的体积3
45003V 327
3ππ==3
cm 17．(1)4
C π
=；(2)12
解析：（1）由cos cos 2cos 0a B b A c C +=及正弦定理， 得sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C C +=，
即()sin 2sin cos 0A B C C +=，即sin 2sin cos 0C C C =.
因为在ABC ∆中，0A π<<，0C π<<，
所以sin 0A ≠，所以2cos C =
，得4C π=. （2）由余弦定理，得22222
2cos 2c a b ab C a b ab =+-=+，
即(2
2
4222a b ab ab =+≥， 故(22222
ab ≤
=+-，当且仅当422a b ==+.
所以(11
2
sin 2221222
ABC S ab C ∆=
≤⨯+=+，即ABC S ∆的最大值为12 18．（Ⅰ）见解析;21
.（Ⅲ）23
λ=
. 解析：
（Ⅰ）取AD 中点O ,连接,,OP OB BD .
因为PA PD =,所以PO AD ⊥.
因为菱形ABCD 中,60BCD ∠=o
,所以AB BD =. 所以BO AD ⊥.
因为BO PO O ⋂=,且,BO PO ⊂平面POB ,所以AD ⊥平面POB . 所以AD PB ⊥.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,BO AD PO AD ⊥⊥,
因为侧面PAD ⊥底面ABCD ,且平面PAD ⋂底面ABCD AD =,所以PO ⊥底面ABCD . 以O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系O xyz -
.
则()()()()
1,0,0,3,0,0,0,1,3,0D E P C ---,因为Q 为PC 中点,所以312Q ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
. 所以()
313,0,0,,22DE DQ ⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v u u u v ,所以平面DEQ 的法向量为()11,0,0n =u v .
因为()
313,0,2DC DQ ⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v u u u v ,设平面DQC 的法向量为()2,,n x y z =u u v ,
则220{ 0DC n DQ n ⋅=⋅=u u u v u u v u u u v u u v ,即30 310
2
x y y z -=+=. 令3x =则1,3y z ==-,即23,1,3n =-u u v
.
所以121212
21
cos ,7n n n n n n ⋅==
u v u u v u u v u v u u v . 由图可知,二面角E DQ C --为锐角,21. （Ⅲ）设()01PQ PC λλ=≤≤u u u v u u u v
由（Ⅱ）可知()
()3,1,1,0,1PC PA =--=-u u u v u u u v
.
设(),,Q x y z ,则(),,1PQ x y z =-u u u v
,
又因为()
23,PQ PC λλλλ==--u u u v u u u v
,所以2{3 1
x y z λ
λλ=-==-+,即()
23,1Q λλλ--+.
所以在平面DEQ 中,
()()
3,0,123,1DE DQ λλλ==--u u u v u u u v , 所以平面DEQ 的法向量为()11,0,21n λλ=--u v
,
又因为//PA 平面DEQ ,所以10PA n ⋅=u u u v u v
,
即()()()11210λλ-+--=,解得23
λ=. 所以当2
3
λ=
时,//PA 平面DEQ . 19．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工， 所以ξ的可能取值为0，1，2.计算ξ概率值．得到ξ分布列与数学期望. 试题解析：
男 女 合计 体育达人 40 20 60 非体育达人 30 30 60 合计 70
50
120
2k 的观测值为
()
2
120120060070506060
-⨯⨯⨯24
2.7067
=
>. 所以有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关. （2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工， 所以ξ的可能取值为0，1，2.
且()24260C P C ξ==62155==，()1142261C C P C ξ==815=，()222
62C P C ξ==1
15
=， 所以ξ的分布列为
ξ
0 1 2
P
25 815 115
()2801515E ξ=⨯+⨯1102
215153+⨯==.
20．（1）2
214
x y +=；（2）()1,0 试题解析：（1）由已知()
13,0F -，)
23,0F ，圆2F 的半径为4r =
依题意有：1PF PQ =，12224PF PF PQ PF QF r ∴+=+=== 故点P 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为4的椭圆，即3,2,1c a b ==∴=
故点P 的轨迹E 的方程为2
214
x y += （2）令()()1122,,,A x y B x y ，因A ，B ，D 不共线，故l 的斜率不为0，可令l 的方程为：x my n =+，则
由
2244
{ x my n x y =++=得()222
4240m y mny n +++-= 则221222124
,44
mn n y y y y m m --+=⋅=++①
ADB ∠Q 被x 轴平分，0DA DB k k ∴+=
即1212044
y y x x +=--，亦即()12211240y x y x y y +-+=② 而()()()1221122112122y x y x y my n y my n my y n y y +=+++=++代入②得：
()()1212240my y n y y +-+=③
①代入③得：2m 2244n m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭
()22404mn n m -⎛⎫
+-= ⎪+⎝⎭
0m ≠时得：1n =此时l 的方程为：1x my =+过定点（1，0） 0m =时，1n =亦满足，此时l 的方程为：1x = 综上所述，直线l 恒过定点（1，0）
21．(1) 函数()f x 在R 上单调递増(2)见解析
试题解析：
（1）由题可得()x
f x e x a '=-+，
设()()x
g x f x e x a ==-+'，则()1x
g x e '=-，
所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增， 当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减，
所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>， 所以函数()f x 在R 上单调递増.
（2）由（1）知()f x '在[
)1,+∞上单调递増，
因为1a e <-，所以()110f e a =-+<'，
所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-，
所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时
()()()
()222min 111
1222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+，
令()()21
1,12
x h x e x x x =-+>，则()()
10x h x x e =-<'恒成立，
所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()211
11122
h x e <-+⨯=，
所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 1
2
f x <，
故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于1
2
.
点睛：本题的难点在()()()2min 112t f x f t e t t ==-+后，要证明f(t)1
2
<.这时，要再构造函数，求它的
单调性和最值，从而找到突破口.在导数解答里，构造函数是一个常规技巧，我们要理解掌握和灵活运用.
22．（1）曲线C 的直角坐标方程为:2
213
x y +=，直线l 的普通方程为：6y x -=；（2）min d = 试题解析：
(1)由曲线C 的极坐标方程得：2
2
2
2sin 3ρρθ+=，
∴曲线C 的直角坐标方程为:2
213
x y +=，
曲线C
的参数方程为{
x y sin α
α
==,（α为参数）；
直线l 的普通方程为：6y x -=.
(2)设曲线C 上任意一点P
为
)
,sin αα，则
点P 到直线l
的距离为d =
=
min d =23．（1）()8
03
⎛⎫
-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
，，；
（2）1|32m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩
⎭
【解析】试题分析：（1）绝对值函去绝对值得到分段函数()431221{12 342x x f x x x x x x x -<=-+-=≤≤->，，
，，，，
，得
()4f x >的解集为()803⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
，
，；（2）由题意得，()2
min 274f x m m >-+，即22741m m -+<，解得1
32
m <<。

试题解析：
（1）依题意，()431221{12 342x x f x x x x x x x -<=-+-=≤≤->，，
，，，，
故不等式()4f x >的解集为
()803⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
，
， （2）由（1）可得，当1x =时，()f x 取最小值1，()2
274f x m m >-+对于x R ∈恒成立，
∴()2
min 274f x m m >-+，即22741m m -+<，∴22730m m -+<，
解之得132m <<，∴实数m 的取值范围是1|32m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭。