上海中考数学第18题分析(翻折类)

上海中考数学第18题分析（一）
——翻折类前言，函数图像的变换和几何图像的变换，我们一般归类为这几类：平移、对称、翻折、旋转、伸缩；而恰恰在初三中考试卷的18题位置，对旋转和翻折的考察更是重中之重，通过旋转和翻折的深入研究，充分的展现学生对几何知识的熟练驾驭能力和对平面图形的变换规律把握能力；
一、平移、旋转、翻折知识储备
1、运动的性质：运动前、后的图形全等
（1）平移的性质：①对应点之间的距离等于平移的距离；②对应点之间的距离相等，对应角大小相等，对应线段的长度相等；③平移前、后的图形全等.
（2）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；①对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
（3）翻折的性质：①对应线段的长度相等，对应角的大小相等，对应点到对称轴的距离相等；②翻折前、后的图形全等
二、翻折类题型总结及归纳
1. 翻折定义：翻折是指把一个图形按某一直线翻折180º后所形成的新的图形的变化。

2. 翻折特征：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。

3. 翻折总结：解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素。

4. 翻折归纳：翻折在三大图形运动中是比较重要的，考查得较多．另外，从运动变化得图形得特殊位置探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的，值得大家留意。

三、翻折类题型解题策略
⑴图形翻折之“翻折边长”题型解题方法与策略：
1.寻找翻折直线，即对称轴；
2.根据翻折情况，画图，画图是解题的关键；
3.寻找翻折相等的线段或角度；
4.利用翻折并结合题目中的特殊条件解题；
5.部分题目注意分类讨论。

⑵图形翻折之“翻折角度”题型解题方法与策略：
1.寻找翻折直线，即对称轴；
2.根据翻折情况，画图，画图是解题的关键；
3.寻找翻折相等的线段或角度；
4.利用翻折并结合题目中的特殊条件解题；
5.利用好三角形的内角和外角性质。

⑶图形翻折之“翻折面积”题型解题方法与策略：
1.寻找翻折直线，即对称轴；
2.根据翻折情况，画图，画图是解题的关键；
3.寻找翻折相等的线段和角度；
4.利用翻折并结合题目中的特殊条件解题；
5.利用好勾股定理和一些特殊条件。

四、典型例题分析
例1：2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题
如图1，在矩形ABCD中，AD＝15，点E在边DC上，联结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D 落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．如果AD＝3GD，那么DE＝_____．
图1 图2
解析：如图2，过点F作AD的平行线交AB于M，交DC于N．因为AD＝15，当AD＝3GD
时，MF ＝AG ＝10，FN ＝GD ＝5．在Rt △AMF 中，AF ＝AD ＝15，MF ＝10，所以AM ＝55． 设DE ＝m ，那么NE ＝55m -．由△AMF ∽△FNE ，得
AM FN MF NE =，即555
1055m
=
-．解得m ＝35．
例2：2014年上海市中考第18题
如图1，已知在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE ＝2CE ，将矩形沿着过点E 的直线翻折后，点C 、D 分别落在边BC 下方的点C ′、D ′处，且点C ′、D ′、B 在同一条直线上，折痕与边AD 交于点F ，D ′F 与BE 交于点G ．设AB ＝t ，那么△EFG 的周长为______________（用含t 的代数式表示）．
图1 图2
解析：当点C ′、D ′、B 在同一条直线上时，直角三角形BCE 的斜边BE 等于直角边C ′E 的2倍，△BCE 是30°角的直角三角形，此时△EFG 是等边三角形（如图2）．等边三角形EFG 的高＝AB ＝t ，计算得边长为
23
3
t ． 例3：2017年上海虹口区一模试卷第18题
如图，在梯形ABCD 中，BC AD ∥，BC AB ⊥,1=AD ,3=BC ,点P 是边AB 上一点，如果把△BCP 沿折痕CP 向上翻折，点B 恰好与点D 重合，那么ADP ∠sin 为 。

解析：∵把△BCP 沿折痕CP 向上翻折，点B 恰好与点D 重合∴3==BC CD 在直角梯形中，作BC DH ⊥,则1==AD BH ,2=CH 作DCP ∠的角平分线交AB 于点P ，联结PD ， 过点C 作CB 的垂线交AD 的延长线于点G 。

由翻折可知，
90=∠=∠PBC PDC ,由作图易得△PAD ∽△DGC ，GCD ADP ∠=∠ 在DGC Rt △中，由勾股定理易得,3
232sin sin ==
∠=∠GCD ADP
例3：2017年上海崇明区一模试卷第18题
如图，已知△ABC 中，∠
45=ABC ,BC AH ⊥于点H ，点D 在AH 上，且CH DH =,联结BD ，将△BHD 绕点H 旋转，得到△EHF （点B 、D 分别与点E 、F 对应），联结
AE ,当点F 落在AC 上时（F 不与C 重合）
，如果4=BC ，3tan =C ，那么AE 的长为 。

解析：易得10
10cos ,3,1=
∠==ACH HA CH 当点F 落在AC 上时（F 不与C 重合）,5
10cos 2=∠⋅⋅=ACH HC CF 易得等腰△HCF ∽等腰△HAE
CH
CF
AH AE =，1510
3=AE ，5103=AE 。

例4：2017年上海宝山区一模试卷第18题
如图，D 为直角ABC △的斜边AB 上一点，DE AB ⊥交AC 与E ，如果AED △沿DE 翻折，A 恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F ，如果8AC =，1
tan 2
A =，那么:CF DF = ；
解析：∵在直角三角形AB C 中，8=AC ,2
1tan =
A
∴4=BC ,52=AB ，∵AB DE ⊥,△ADE 沿DE 翻折，A 恰好与B 重合 ∴DE 垂直平分AB ，52BD AB ==，A B E A ∠=∠
∵D 为AB 中点，CD 为AB 边中线
∴在直角三角形ADE 中，5CE B E A E ===，ACD A ∠=∠ ∴3CE =，AB E ACD =∠，∵B FD CFE =∠； ∴△CFE ∽△B FD ,
BD
CE
DF EF BF CF =
=，设x =DF ,x CF -52= 5
23
-52=
=x EF BF x ，∴352-20x BF =,x EF 1053= ∵5==+BE BF EF ，∴11521=
CF ，11501=DF ，∴5
6:=DF CF 例5：2017年上海长宁+金山区一模试卷第18题
如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，D 是AB 的中点，点E 在边AC 上，
将ADE ∆沿DE 翻折，使得点A 落在点'A 处，当'A E AC ⊥时，'A B =___________.
解析：设AC 的中点为H ，则DH AC ⊥,DH=3，AH=CH=4.
如图2，当'A E AC ⊥时，因为DE 平分∠AEA’,得到△DEH 是等腰直角三角形. ∴'437AE A E ==+=，CE=1，所以'761A E BC -=-=. 此时A’,B 之间的水平距离，竖直距离都是1，所以'2A B =.
如图3，'431AE A E ==-=,CE=7，
此时A’,B 之间的水平距离，竖直距离都是7，所以'72A B =.
如图，已知△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 在边BC 上，将△ABD 沿着直线
AD 翻折，点B 落在点1B 处，如果1B D AC ⊥，那么BD
= 。

解析：
'B D AC ⊥,垂足为O
''''30,,2,13,23233232
B AO CDO AB AB B O AO O
C O
D B D BD ∴=∠=∴===∴==-=-==- 例7：2017年上海嘉定区一模试卷第18题
在Rt ΔABC 中，D 是斜边AB 的中点（如图3），点M 、N 分别在边AC 、BC 上，将ΔCMN 沿直线MN 翻折，使得点C 的对应点E 落在射线CD 上，如果B α∠=∠,那么AME ∠度数为 .（用含α的代数式表示）
解析：CD 是Rt ABC ∆斜边中线
CD BD
DCB B α∴=∴∠=∠=，又CE MN ⊥，
1802CMN B AME αα
∴∠=∠=∴∠=-
一张直角三角形纸片ABC ，90C ∠=︒，24AB
，2
tan 3
B
（如图），将它折叠使直角顶点C 与斜边AB 的中点重合，那么折痕的长为________.
解析：取AB 的中点D ，联结CD ，过CD 的中点M 做直线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ， 有ACM B ∠=∠，BCM B ∠=∠，且CM=6，利用锐角三角比，有MF=4，ME=9， 所以折痕的长为4+9=13
例9：2016年上海奉贤区二模试卷第18题
如图，在ABC ∆中，45B ︒∠=，30C ︒∠=，2AC =，点D 在BC 上，将△ACD 沿直线
AD 翻折后，点C 落在点E 处，边AE 交边BC 于点F ，如果DE ∥AB ，那么
CF
BF
的值 是
解析：如图2，作BC AH ⊥于H ，在ABH Rt ∆中，
45=∠B ，可得：13+=
BC ；
如图3，当AB DE //时，
30=∠=∠=∠C AED BAE ;
2==CA CF ,13213-=-+=-=CF BC BF ，从而可得：
13+=BF
CF
；
例10：2016年上海青浦+静安区二模试卷第18题 如图，在ABC ∆中，4AB AC ==，1
cos 4
C =
，BD 是中线，将CBD ∆沿直线BD 翻折后，点C 落在点E ，那么AE 的长为
思路分析及详细解答如下：。