2015-2016学年高中数学 第三章 概率本章归纳总结课件 北师大版必修3

第三行依次填：0.200,0.278,0.258,0.253,0.250，0.252，
0.248. (2)由(1)知，虽然抽取次数不同，所得频率值不同，但随 试验次数的增加，频率在常数0.250附近摆动，故P≈0.25.
[规律总结]
只有当频率值在某一常数附近摆动时，才能
将此常数近似看作该事件发生的概率．现实生活中很多事件的 概率是难以确切得到的，鉴于随机事件的发生带有随机性的同 时又存在一定的规律性，故一般通过大量的重复试验，用随机 事件的频率来估计概率．
5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
(1)由表知：基本事件有 36 个，记“点数之和为奇数”为 事件 A，“点数之和为偶数”为事件 B，事件 A 含基本事件 18 个，事件 B 含基本事件 18 个， 18 1 所以 P(A)＝P(B)＝ ＝ ，即事件 A、B 的概率一样大． 36 2 (2)记“点数之和为 6”为事件 C，记“点数之和为 8”为 事件 D， 事件 C 含有 5 个基本事件， 分别为： (1,5)， (5,1)， (2,4)， (4,2)，(3,3)．事件 D 含有 5 个基本事件，分别为：(2,6)，(6,2)， (3,5)，(5,3)，(4,4)．
摸球次数 30 摸到红球 的次数 摸到红球 的频率 6 0.300 60 90 120 150 180 210 270 25 31 38 45 53 67 0.247 300
(1)将表格补充完整；(所求频率保留3位小数) (2)估计从中随机摸一个球，求摸到红球的概率P.(保留2位 小数) [规范解答] (1)第二行依次填：18,74.
(2)如右图所示上述 10 个基本事件发生的可能性相同，且 只有 3 个基本事件是摸到 2 只白球(记为事件 A)， 即(1,2)， (1,3)， 3 (2,3)，故 P(A)＝ . 10 3 答： 共有 10 个基本事件， 摸出 2 只球都是白球的概率为 . 10
[规律总结] 助于解题．
对于生活应用题，利用韦恩图进行分类，有
4．互斥事件 (1)一般地，在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同 时发生的两个事件 A 和 B 称为互斥事件． (2)互斥事件的特征：①互斥事件研究的是两个事件之间的 关系；②所研究的两个事件是在一次试验中所涉及的；③两个 事件互斥是从试验的结果不能同时发生来确定的． (3)给定事件 A，B，我们规定 A＋B 为一个事件，事件 A＋ B 发生是指事件 A 和事件 B 至少有一个发生(推广：事件 A1＋ A2＋„＋An 表示在一次随机试验中，A1，A2，„，An 中至少有 一个发生)．
将长为 l 的木棒随机折成 3 段， 求 3 段长度能构 成三角形的概率．
[思路分析] 再表示第三边．
构成三角形要用三边长的度量，设出两边，
[规范解答] 如图所示， 设 A＝“3 段长度能构成三角形”， x，y 分别表示其中两段的长度，则第 3 段的长度为 l－x－y.
则试验的全部结果可构成集合 G＝{(x，y)|0<x<l,0<y<l,0<x ＋y<l}． 要使 3 段长度能构成三角形，当且仅当任意两段长度之和 l l 大于第 3 段长度， 即 x＋y>l－x－y⇒x＋y> ， x＋l－x－y>y⇒y< ， 2 2 l y＋l－x－y>x⇒x< . 2 l l l 故所求结果构成的集合 A＝{(x，y)|x＋y> ，y< ，x< }． 2 2 2
律、标准，不重不漏地列举出来．
用正方体做一颗骰子，在 6 个面上分别标上 1,2,3,4,5,6，现将这颗骰子先后抛掷两次，试问： (1)“点数之和为奇数”与“点数之和为偶数”的概率是 否一样大？ (2)“点数之和为 6”与“点数之和为 8”的概率是否一样 大？ (3)从问题(2)中你能发现什么样的一般规律？
某人发现中国人在邮箱名称里喜欢用数字，于是他做了调 查，结果如下表：
每批邮箱数 60 130 265 306 1233 2130 4700 6897 名称里有数 字的邮箱数 频率
36
78
165 187
728
1300 2820 4131
(1)填写上表中的频率(精确到0.01)； (2)中国人的邮箱名称里使用数字的概率是多少？ [解析] (1)由频率公式可算出，表格中应填的频率从左到 右依次为：0.60、0.60、0.62、0.61、0.59、0.61、0.60、0.60. (2)由(1)知，计算出的频率虽然不全相同，但都在常数0.6 附近摆动，因此，中国人的邮箱名称里使用数字的概率约为 0.6.
[思路分析] 两次点数之和的事件数比较多，可利用表格 列举法来处理，分别用第一行和第一列的数表示先后掷出的点 数，交叉处表示它们的和，由此可计算出所求事件的概率． [规范解答] 如表格：第一行、第一列中的数表示出现的 点数，行与列交叉处的数表示点数之和： 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 6 7 8 9 10
5 所以 P(C)＝P(D)＝ ，即事件 C、D 的概率一样大． 36 (3)从上面的(2)中及表格中可发现“点数之和为 x”与“点 数之和为 14－x”的概率一样大．
[规律总结]
涉及到两次结果的问题，一般可采用表格列
举法来列举基本事件，这样可保证列举时不重不漏．
一个盒子中装有 4 张卡片，每张卡片上写有 1 个数字，数 字分别是 1,2,3,4，现从盒子中随机抽取卡片． (1)若一次从中随机抽取 3 张卡片，求 3 张卡片上数字之和 大于或等于 7 的概率； (2)若第一次随机抽 1 张卡片， 放回后再随机抽取 1 张卡片， 求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字 2 的概率．
古典概型 古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概率的基 础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧 紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．另外
在古典概型问题求概率时，往往需要我们将所有基本事件一一
列举出来，以便确定基本事件总数及所求事件所包含的基本事 件数．这就是我们常说的穷举法．在列举时应注意按一定的规
则试验的全部结果可构成集合要使3段长度能构成三角形当且仅当任意两段长度之和大于第3段长度即xylxyxy由图可知所求概率为paa的面积的面积规律总结一般地若一个随机事件需要用两个连续变量如本例中的xy来描述用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几如图m是半径为r的圆周上一个定点在圆周上等可能n连接mn则弦mn的长度超过2r的概率是解析连接圆心o点作弦mn使mon90这样的点有两个分别记为的半圆弧上取值时满足mn2r此时n180故所求的概率为180360互斥事件和对立事件都是研究怎样从一些简单的事件的概率的计算来推算较复杂事件的概率应用互斥事件的概率的加法公式解题备受高考命题者的青睐应用公式时一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥然后求出各事件分别发生的概率再求和
6．模拟方法 (1)用模拟方法近似计算不规则图形的面积有两种方法：试 验模拟和计算机模拟．这两种方法都是在不规则图形外套上一 个规则图形，则近似地有：不规则图形的面积＝规则图形的面 落在不规则图形内的点数 积× . 落在规则图形内的点数
(2)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M，若点 M 落在子区域 G1 G 的概率与 G1 的面积成正比，而与 G 的形状、 G1的面积 位置无关，即 P(点 M 落在 G1)＝ ，则这种模型称为几 G的面积 何概型．
说明：G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概 率是体积之比或长度之比．
专题探究
随机事件的频率与概率 解决这类问题的关键是应理清频率与概率的关系，频率是
概率的估计值，是随机的，随着试验的不同值，是一个常数．不要以一次或少数 次试验中的频率来估计概率．
一个不透明的袋中有大小质地相同的红、 白两种 颜色的小球， 某学习小组做摸球试验， 每次从袋中摸出一个球， 记下颜色后放回，搅匀后再摸．试验的部分数据如下表：
一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共 24 个，除颜色外 完全相同，已知蓝色球 3 个，若从袋子中随机取出 1 个球，取 1 到红色球的概率是 . 6 (1)求红色球的个数； (2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将 1 号红色球， 1 号白色球， 2 号蓝球和 3 号蓝色球这四个球装入另一个袋子中， 甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取， 取出的球不放 回)，求甲取出的球的编号比乙的大的概率．
基本事件与概率
一只口袋内装有大小相同的 5 只球， 其中 3 只白 球，2 只黑球，从中一次摸出 2 只球． (1)共有多少个基本事件？ (2)摸出的 2 只球都是白球的概率是多少？
[规范解答]
(1)分别记白球为 1,2,3 号，黑球为 4,5 号，从
中摸出 2 只球，有如下基本事件(摸到 1,2 号球用(1,2)表示)： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)， (2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)． 因此，共有 10 个基本事件．
3．古典概型 (1)古典概型的特征：①试验的所有可能结果只有有限个， 每次试验只能出现其中的一个结果；②每一个试验结果出现的 可能性相同． (2)基本事件：试验的每一个可能结果称为基本事件． (3)对于古典概型，通常试验中的某一事件是由几个基本事 件组成．如果试验的可能结果(基本事件)数为 n，随机事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 的概率规定为 P(A)＝ 事件A包含的可能结果数 m ＝ . 试验的所有可能结果数 n
几何概型及其应用
几何概型的概率公式适用于有无限多个试验结果的情况， 且每种结果的出现是等可能的．试验的结果发生在一个确定的 区域内，由于在确定范围内的等可能性，所以其概率等于该事 件构成的子区域占总区域的比例．依这种比例求解，类似古典
概型的思路，即事件A的概率由“构成事件A的基本事件所占的
图形面积(长度、体积)”与“试验的全部结果所占的总面积(长 度、体积)”之比来表示．
(4)互斥事件的概率加法公式：如果事件 A 与 B 互斥，那么 事件 A＋B 发生(即 A， B 中至少有一个发生)的概率等于事件 A， B 分别发生的概率的和，即 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(推广：P(A1 ＋A2＋„＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋„＋P(An))．
5．对立事件 (1)在一次试验中，不能同时发生且必有一个发生的事件称 为对立事件．事件 A 的对立事件记为 A ，对立事件也称为逆事 件． (2)两对立事件概率之间的关系：在每一次试验中，相互对 立的事件 A 和 A 不会同时发生，并且一定有一个发生，因此有 P( A )＝1－P(A)．
(2)设 B 表示事件“至少一次抽到数字 2”， 第一次抽 1 张， 放回后再抽取 1 张的全部可能结果为(1,1)， (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 个． 事件 B 包含的结果有(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)， (4,2)，共 7 个． 7 所以所求事件的概率为 P(B)＝ . 16
x 1 [解析] (1)设红色球有 x 个，依题意得 ＝ ，解得 x＝4， 24 6 ∴红色球有 4 个． (2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件 A， 所有的基本事件有(红 1，白 1)，(红 1，蓝 2)，(红 1，蓝 3)，(白 1，红 1)，(白 1，蓝 2)，(白 1，蓝 3)，(蓝 2，红 1)，(蓝 2，白 1)，(蓝 2，蓝 3)，(蓝 3，红 1)，(蓝 3，白 1)，(蓝 3，蓝 2)，共 12 个事件 A 包含的基本事件有(蓝 2，红 1)，(蓝 2，白 1)，(蓝 3，红 1)，(蓝 3，白 1)，(蓝 3，蓝 2)，共 5 个所以，P(A) 5 ＝ . 12
第三章
概 率
第三章 本章归纳总结
1
知 识 结 构
2
知 识 梳 理
3
专 题 探 究
4
即 时 巩 固
知识结构
知识梳理
1．不可能事件、必然事件、随机事件 在一定条件下必然发生的事件，叫作必然事件；在一定条 件下不可能发生的事件，叫作不可能事件；在一定条件下可能 发生也可能不发生的事件，叫作随机事件． 2．频率与概率 在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件 A m 发生的频率 (n 是试验的总次数，m 是事件 A 发生的次数)会在 n 某个常数附近摆动，即随机事件 A 发生的频率具有稳定性．这 时常把这个常数叫作事件 A 的概率．
[解析] (1)设 A 表示事件“抽取 3 张卡片上的数字之和大 于或等于 7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的 结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共 4 种， 数字之和大于或等于 7 的是(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共 3 3 种，所以 P(A)＝ . 4