江苏省南通市海门中学2020-2021学年高一上学期期中数学试卷及解析

江苏省南通市海门中学2020-2021学年高一上学期期中数学试
卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题
1.已知集合{1,2}A =-， {}|02B x Z x =∈≤≤，则A B 等于
A.{0}
B.{}2
C.{0,1,2}
D.φ
2.若命题p :∃x ∈R ，x 2+2x +1≤0，则命题p 的否定为（ ） A.∃x ∈R ，x 2+2x +1>0
B.∃x ∈R ，x 2+2x +1<0
C.∀x ∈R ，x 2+2x +1≤0
D.∀x ∈R ，x 2+2x +1>0
3.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.计算3log 4
23log 3log 4⋅+的值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
5.已知0a >，0b >，且21a b ab +=-，则2+a b 的最小值为（ ）
A.5+
B. C.4+ D.9
6.已知函数2
()23f x x x =--在[]1m －
，上的最大值为()f m ，则m 的取值范围是（ ）
A.(11]－
， B.(1,1-+ C.[1)++∞
D.
(1,1][1)-⋃++∞
7.设,()max{,},()
a a
b a b b a b ≥⎧=⎨
<⎩则函数{}22
()max ,1f x x x x =--的单调增区间为（ ）
A.1[1,0],,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
B.1(,1],0,2⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦
C.1,,[0,1]2
⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦
D.1,0,[1,)2⎡⎤
-
+∞⎢⎥⎣⎦
8.已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x ≥时，22
()f x x a a =--，若对任意实数x
有()()f x a f x -≤成立，则正数a 的取值范围为（ ）
A.)
1,4
⎡+∞⎢⎣ B.)
1,2
⎡+∞
⎢⎣ C.(
1
0,4⎤⎥⎦
D.(
1
0,2⎤⎥⎦
第II 卷（非选择题）
二、填空题
9.设0a >，1b >，若2a b +=，则911
a b +-的最小值为__________．
三、解答题
10.已知函数()f x ＝
21ax b
x
++是定义在(－1，1)上的奇函数，且12
25
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）确定函数()f x 的解析式；
（2）用定义证明()f x 在(－1，1)上是增函数； （3）解不等式：(1)()0f t f t -+<. 11.设2()(1)2f x ax a x a =+-+-．
（1）若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()1f x a <-（a ∈R ）．
四、新添加的题型
12.已知函数()2
2435f x ax a x =+-+，下列关于函数()f x 的单调性说法正确的是（ ）
A.函数()f x 在R 上不具有单调性
B.当1a =时，()f x 在(),0-∞上递减
C.若()f x 的单调递减区间是(],4-∞-，则a 的值为1-
D.若()f x 在区间(),3-∞上是减函数，则a 的取值范围是30,4
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
13.（多选）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，
()0f x >，则函数()f x 满足（ ）
A.(0)0f =
B.()y f x =是奇函数
C.()f x 在[],m n 上有最大值()f n
D.(1)0f x ->的解集为(),1-∞
参考答案
1.B
【解析】1.
试题因为{}{}|020,1,2B x Z x =∈≤≤=，{}1,2A =-，所以A B ⋂={}2，故选B. 2.D
【解析】2.
根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题p 的否定. 由题,则p 的否定为x R ∀∈, x 2+2x +1>0. 故选：D 3.A
【解析】3.
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻
辑推理能力的考查.
当0, 0a >b >时，a b +≥4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 4.D
【解析】4.
由对数的换底公式和对数的运算性质化简求值.
3log 4
23log 3log 4⋅+
31
log 42lg32lg 2
3lg 2lg3
=⋅+3log 223224=+=+=. 故选：D. 5.A
【解析】5.
由所给等式可用b 表示a ，代入0a >进一步求出b 的范围，用b 表示2+a b ，通过配凑然后利用基本不等式即可求得其取值范围，得解. 由21a b ab +=-得()21a b b -=+，
若2b =，则()21a b b -=+不成立，故2b ≠，
13
1022
b a b b +∴=
=+>--，解得2b >或1b <-（舍去）， ()33
212122422
a b b b b b ∴+=++=++-+--， 2b >，
3
02b ∴
>-，()31224552b b ++-+≥+=+-
()3
222b b =--，即22
b =+1a =+
25a b ∴+≥+，即2+a b 的最小值为5+故选：A 6.D
【解析】6.
作出函数图象，结合图象可以观察所得. ()f x 的图象如下图：
对称轴为1,(1)4x f ==，
令2234x x --=，得1x =±. 因为(1)0f -=，
所以数形结合可得11m -<或122m +. 故选：D 7.D
【解析】7.
先根据定义化简函数解析式，再根据二次函数性质确定对应单调区间.
由221x x x -≥-得2210x x --≥，解得1≥x 或12
x ≤-， 当1≥x 或12
x ≤-
时，{}222
()max ,1f x x x x x x =--=-，此时函数的递增区间为[1,)+∞，
由221x x x -<-得2210x x --<，解得1
12
x -<<， 当112x -
<<时{}222,()max ,11f x x x x x =--=-，此时函数的递增区间为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
， 综上所述函数的递增区间为1,0,[1,)2⎡⎤
-+∞⎢⎥⎣⎦
. 故选：D 8.C
【解析】8.
由于22
()f x x a a =--有绝对值，分情况考虑2x a ≥和2x a <，再由()y f x =是奇函数
画出图象，再根据()()f x a f x -≤考虑图象平移结合图形可得答案.
由题得， 当0x ≥时，22
()f x x a a =--，故写成分段函数
222222,0(),x a a x a f x x a a x a ⎧-+-≤≤=⎨-->⎩，化简得2
22
,0()2,x x a f x x a x a ⎧-≤≤=⎨->⎩
， 又()y f x =为奇函数，故可画出图像：
又()f x a -可看出()y f x =往右平移a 个单位可得，若()()f x a f x -≤恒成立，则
2
2
2(2)a a a ≥--，即2
4a a ≤，又a 为正数，故解得1
04
a <≤
. 故选：C . 9.16
【解析】9.
把
911a b +-乘以111a b =+-=得到()919
1111a b a b a b ⎛⎫+=++-⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭
，后用均值定理 解：0a >，1b >且210a b b +=⇒->且()11a b +-=
∴()()91919
111010616111
b a a b a b a b a b -⎛⎫+=++-=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭ 当且仅当
()911
b a
a a -=
-取等号， 又2a b +=，即3
4a =，54
b =时取等号，故所求最小值为16． 故答案为：16 10.（1）()21x f x x =+；（2）证明见详解；（3）1|02t t ⎧
⎫<<⎨⎬⎩⎭
.
【解析】10.
(1)由()f x 为奇函数且12
25
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭求得参数值，即可得到()f x 的解析式； (2)根据定义法取－1＜x 1＜x 2＜1，利用作差法12())0(f x f x -<即得证； (3)利用()f x 的增减性和奇偶性，列不等式求解即可 （1）()f x 在(－1，1)上为奇函数，且12
25
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭ 有(0)0
12()2
5f f =⎧⎪
⎨=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()f x ＝21x x +， 此时2
()(),()1x
f x f x f x x
--==-∴+为奇函数， 故()f x ＝
2
1x
x +； （2）证明：任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则12122212()()11x x f x f x x x -=
-++12122212()(1)
(1)(1)
x x x x x x --=++
而122
100,1x x x -<+>，且1211x x -<<，即1210x x ->，
∴12())0(f x f x -<，()f x 在(－1，1)上是增函数. （3）(1)()()f t
f t f t ，又()f x 在(－1，1)上是增函数
∴－1＜t －1＜－t ＜1，解得0＜t ＜
12
∴不等式的解集为1|02t t ⎧
⎫<<⎨⎬⎩
⎭
11.（1）1
3
a ≥（2）见解析
【解析】11.
（1）由不等式()2f x ≥-对于一切实数x 恒成立等价于2
(1)0ax a x a +-+≥对于一切实数
x 恒成立，利用二次函数的性质，即可求解，得到答案．
（2）不等式()1f x a <-化为2(1)10ax a x +--<，根据一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解．
（1）由题意，不等式()2f x ≥-对于一切实数x 恒成立，等价于2
(1)0ax a x a +-+≥对于
一切实数x 恒成立．
当0a =时，不等式可化为0x ≥，不满足题意；
当0a ≠时，满足00a >⎧⎨∆≤⎩，即()22
140
a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得13a ≥． （2）不等式()1f x a <-等价于2(1)10ax a x +--<．
当0a =时，不等式可化为1x <，所以不等式的解集为{|1}<x x ； 当0a >时，不等式可化为(1)(1)0ax x +-<，此时1
1a
-<， 所以不等式的解集为1
{|1}x x a
-
<<； 当0a <时，不等式可化为(1)(1)0ax x +-<， ①当1a =-时，1
1a
-
=，不等式的解集为{|1}x x ≠； ②当10a -<<时，1
1a -
>，不等式的解集为11x x x a ⎧⎫>-<⎨⎬⎩⎭
或； ③当1a <-时，1
1a -<，不等式的解集为11x x x a ⎧⎫><-⎨⎬⎩
⎭或． 12.BD
【解析】12.
对于A ，取0a =可判断；对于B ，可得()f x 的单调递减区间为(),2-∞，即可判断；对
于C ，由题可得()2043422a a a
>⎧⎪
-⎨-
=-⎪⨯⎩无解，即可判断；对于D ，讨论0a =和0a ≠即可求出.
对于A ，当0a =时，()125f x x =-+在R 上单调递减，故A 错误；
对于B ，当1a =时，()2
285f x x x =-+对称轴为2x =，开口向上，∴()f x 的单调递
减区间为(),2-∞，()(),0,2-∞⊆-∞，∴()f x 在(),0-∞上递减，故B 正确；
对于C ，若()f x 的单调递减区间是(],4-∞-，则()2043422a a a
>⎧⎪
-⎨-
=-⎪⨯⎩无解，故C 错误；
对于D ，当0a =时，()125f x x =-+在R 上单调递减，满足题意；当0a ≠时，若
()f x 在区间(),3-∞上是减函数，则()20
43322a a a
>⎧⎪
-⎨-
≥⎪⨯⎩，解得304a <≤；综上304a ≤≤，
故D 正确. 故选：BD. 13.ABD
【解析】13.
先研究函数的奇偶性，可以先令x =y =0求得f (0)的值，再令y =-x ，代入原式，可得奇偶性；然后结合单调性的定义判断单调性，最后判断函数在[],m n 上的最值情况以及根据单调性求解不等式(1)0f x ->即可.
令x =y =0，则f (0)=f (0)+f (0)，所以f (0)=0，故A 正确；
再令y =-x ，代入原式得f (0)=f (x )+f (-x )=0，所以f (-x )=-f (x )，故该函数为奇函数，故B 正确；由f (x +y )=f (x )+f (y )得f (x +y )-f (x )=f (y )，令x 1<x 2，再令x 1=x +y ，x 2=x ，则y =x 1-x 2<0，结合x <0时，f (x )>0，所以f (x 1)-f (x 2)=f (x 1-x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以原函数在定义域内是减函数，所以函数f (x )在[],m n 上递减，故f (n )是最小值，f (m )是最大值，故C 错误；
又(1)0f x ->，即(1)(0)f x f ->，结合原函数在定义域内是减函数可得，10x -<，解得1x <，故D 正确. 故选：ABD.。