线性代数方程组的解法ppt课件

设 是n维实向量空间Rn上的范数，最常用的向量
范数是 p范数： x ( x1, x2 , , xn )T
x
p


n
|
xi
|p
1/
p
,
i1

p [1,),
其中 p 1,2,是最重要的,即：
x 1 | x1 | | x2 |
x
2


n i 1
xi2
4) x Rn 时 Ax A x 5) A B A B , A 、B Rnn
定理5.3中的性质 1), 2) 和 3)是一般范数所满 足的基本性质，性质 4)、5) 被称为相容性条件， 一般矩阵范数并不一定满足该条件.
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三种从属范数计算：
n
（1）矩阵的1-范数（列和范数）:
此时 A ( AT A) 2
若 A Rnn 为对称阵， A ( A) 2 （ 因为 ( AT A) ( A2 ) ）
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关于矩阵的谱半径与矩阵的范数之间有如下关系. 定理 5.4 设 A Rnn，则有
（1）对任意一种 A的从属范数 ，有
(A) A . （2）对任给的 0，存在一种 A的从属范数 ，
x0 x
x 1
称为 A的由向量范数 导出的矩阵范数，简称 A的从属
范数.
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定理5.3 矩阵的从属范数具有下列基本性质： 1） A 0 ，当且仅当 A 0 时， A 0
2) R , A | | A
3) A B A B ,A, B Rnn;

2

7
2 向量序列的收敛问题
设 x(k) Rn , k 1, 2, , 为 Rn 中的一个给定
向量序列 x(k) ( x1(k) , , xn(k) )T
若对 i 1, 2,
,n
有
lim
k
x(k) i

xi
则称向量序列{ x(k) } 收敛于向量 x ( x1,
, xn )T
1/ 2
n
| xn | | xi |
i 1
x max(| x1 |, ,| xn |) 5
例 : 设 x (1, 3, 5,4)T , 求 xwenku.baidu.com, p 1, 2, p
根据定义:
4
x 1
| xi | 13
i 1
x
2

4 i 1
xi2
1
/
2


51
x max(| x1 |, ,| x4 |) 5
6
范数的等价性
定理 5.1 对于Rn中任意两种范数 和 ，总存在常
p
q
数m和M ，使对一切 x Rn都有
m x x M x .
(*)
q
p
q
例如：
1
x x x
n1
2
1
x x n x

1

x x nx
A
1

max j
i 1
|
aij
|
n
（2）矩阵的-范数（行和范数）:
A


max i
| aij
j 1
|
（3）矩阵的2-范数:
A 2
1
其中 1 : AT A 的最大特征值
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例
已知矩阵
A

1 3
2 4
,
求
A , p 1, 2, p
解： 按定义 A 6 A 7
第五章 线性代数方程组的解法
5.1 预备知识
1
求解线性方程组 Ax b
其中
a11 a12
A a21
a22


an1。
an2
a1n
a2n


ann

且 | A | 0
x x1, x2 , , xn T b b1, b2 , , bn T
2
利用 Cramer 法则求解时存在的困难是：当方程 组的阶数 n 很大时，计算量为 O(n!) O(n2 ) 常用计算方法: (1) 直接解法：它是一类精确方法，即若不考虑计 算过程中的舍入误差，那么通过有限步运算可以获得 方程解的精确结果.

使得
A ( A) .
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3. 矩阵级数的收敛性
定义5.3
称矩阵序列
A(k )

(
a(k ij
)
)

Rnn
是收敛的，
如果存在 A (aij ) Rnn ，使得
lim
k
a(k ij
)

aij ,
i, j 1, 2,
,n
此时称 A 为矩阵序列 A(k) 的极限 记为
命题: 当 k 时
x(k) x lim x(k ) x 0
k

这是因为
x(k) x max
|
x(k) 1

x1
|,
,|
x(k) n

xn
|
从而当 k 时， x(k) x 与 x(k) x 0 等价
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定理 5.2 设 为Rn中的任一种范数，则序 列{x(k)}收敛于 x Rn的充分必要条件为
矩阵范数的等价定理：
对
A
、
A

，存在常数
m
和M
，使得：
m A A M A



几种常用范数的等价关系：
1
A A nA
n
2

1 A A nA
n1
2
1
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2. 谱半径： 定义 5.2 设 A Rnn, 称其特征值的按模最大值
(A) max{ : (A)} 为 A的谱半径，这里 ( A)表示 A的特征值全体.
Gauss 逐步（顺序）消去法、 Gauss主元素法、矩阵分解法等；
3
(2) 迭代解法：所谓迭代方法，就是构造某种 极限过程去逐步逼近方程组的解.
经典迭代法有： Jacobi 迭代法、Gauss Seidel 迭代法、 逐次超松弛（SOR）迭代法等；
4
5.1.1 向量空间及相关概念和记号
1 向量的范数
1

AT
A


1 2
3 1 4 3
2 4


10 14
14 20
I AT A 10 14 2 30 4 0 14 20
15 221
A ( AT A) 15 221 5.46 2 13
x(k) x 0, k 时.
利用向量范数的等价性及向量范数的连续性, 容易 得到定理5.2的证明
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5.1.2 矩阵的一些相关概念及记号
1. 矩阵的范数
对于 Rn 上的任何向量范数,我们可以定义矩阵范数.
定义 5.1 若 是Rn上任意范数,则对任一 A Rnn
A max Ax max Ax ,