四年级奥数(2)简单的数列求和

教学内容：简单的数列问题（一）

世界著名的数学家高斯（1777年～1855年），幼年时代聪明过人。上小学时，有一天数学老师出了一道题让全班同学计算：

1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快地说出了正确答案5050。那些正忙着把这100个数一个一个相加求和的同学大吃一惊!小高斯有什么窍门呢？

原来小高斯通过细心观察，发现1～100这一串数中，1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51＝101。即：与这串数首末两端距离相等的每两个数的和，都等于首末两数的和，这样的和为101的数共有100÷2＝50对。于是小高斯就把这道题巧算为：

1＋2＋3＋…＋99＋100

＝（1＋100）×100÷2

＝5050

像1，2，3，…，99，100这样的一串数我们称为“等差数列”，下面介绍有关等差数列的概念。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。从第一项开始，后项与前项之差都相等的数称为等差数列，后项与前项之差称为公差，数列中数的个数称为项数。

例如：

（1）5，6，7，8， (100)

（2）1，3，5，7，9， (99)

（3）4，12，20，28， (804)

（4）1，4，8，16， (256)

其中（1）是首项为5，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为4，末项为804，公差为8的等差数列；（4）中前后两项的差都不相等，它不是等差数列。

从高斯的故事我们知道，要想求出像1，2，3，…，99，100这一等差数列的和，只要用第一个数1与最后一个数100相加求和，再乘以这串数的个数100，最后除以2。

由此，我们得到等差数列的求和公式为：

数列和＝（首项＋末项）×项数÷2

[例1]计算1＋2＋3＋…＋1999

[分析与解]这串加数组成的数列1，2，3，…，1999是等差数列，公差是1，首项是1，末项是1999，项数是1999。根据等差数列求和公式可解得：

原式＝（1＋1999）×1999÷2

＝1999000

[例2]求首项是5，公差是3的等差数列的前1999项的和。

[分析]等差数列中首项、末项、公差的关系是：末项＝首项＋公差×（项数－1）[解] 末项＝5＋3×（1999－1）

＝5999

和＝（5＋5999）×1999÷2

＝6000998

[例3]计算3＋7＋11＋…＋99

[分析]这串加数组成的数列是等差数列，公差是4，首项是3，末项是99，但是我们发现项数从题中看不出来，这时就需要先求出项数。根据上例中介绍的等差数列中首项、末项、公差的关系，可以得到：

项数＝（末项－首项）÷公差＋1

[解] 项数＝（99－3）÷4＋1＝25

原式＝（3＋99）×25÷2＝1275

[例4] 计算

（1）2000－3－6－9－…－51－54

（2）（2＋4＋6＋…＋96＋98＋100）－（1＋3＋5＋…＋95＋97＋99）

（3）1991－1998＋1985－1982＋…＋11－8＋5－2

[分析与解] （1）利用第一讲中的知识，“某数连续减去几个数，等于减去这几个数的和”，可将原式转化为：2000－（3＋6＋9＋…＋51＋54），所以，此题关键是求3＋6＋9＋…＋51＋54的和。

3＋6＋9＋…＋51＋54

＝（3＋54）×[（54－3）÷3＋1]÷2

＝57×9

＝513

从而，原式＝2000－513＝1487。

（2）同学们可能已经发现和式2＋4＋…＋98＋100，1＋3＋5＋…＋97＋99中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再做减法。这样做，很自然，也比较简便。有其他更为简单的解法吗？再看题，你会冒出一个好想法：运用加减法性质，先做减法：2－1，4－3，6－5，…，100－99，它们的差都等于1，然后计算等于1的差数有多少个。由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减（以大减小），共得50个差数1，从而，

原式＝（2－1）＋（4－3）＋…＋（98－97）×（100－99）

＝50

（3）利用求解题（2）的经验，容易发现

1991－1988＝3，1985－1982＝3，…，5－2＝3

这样，此题就归结为计算上述差的个数。

可以这样计算，由于此数列为等差数列，公差是3，由求项数公式可求得项数为：

（1991－2）÷3＋1＝664（个）

这664个数两两配对做减法运算，共得到664÷2＝332个差数，因而

”个“原式) (332)25()811()19821985()19981991(-+-+⋯+-+-=

＝3×332＝996

[思考] 还可以怎样计算出差的个数？

（还可根据每个括号中被减数所组成的等差数列的项数。）

[例5] 2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋4×3－3×2＋2×1

[解]

原式＝1999×（2000－1998）＋1997×（1998－1996）＋…＋3×（4－2）＋2×1

＝（1999＋1997＋…＋3＋1）×2

＝（1999＋1）×[（1999－1）÷2＋1]÷2×2

＝2000×1000

＝2000000

[小结] 解简单的数列问题，首先要判断该数列是否为等差数列，再找出首项、末项、项数等相关量，最后运用相应公式正确求解。