四年级奥数(2)简单的数列求和

教学内容：简单的数列问题（一）

世界著名的数学家高斯（1777年～1855年），幼年时代聪明过人。上小学时，有一天数
学老师出了一道题让全班同学计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快地说出了正确答案5050。那些正
忙着把这100个数一个一个相加求和的同学大吃一惊!小高斯有什么窍门呢？
原来小高斯通过细心观察，发现1～100这一串数中，1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49
＋52＝50＋51＝101。即：与这串数首末两端距离相等的每两个数的和，都等于首末两数的
和，这样的和为101的数共有100÷2＝50对。于是小高斯就把这道题巧算为：
1＋2＋3＋…＋99＋100
＝（1＋100）×100÷2
＝5050
像1，2，3，…，99，100这样的一串数我们称为“等差数列”，下面介绍有关等差数列
的概念。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后
一项称为末项。从第一项开始，后项与前项之差都相等的数称为等差数列，后项与前项之差
称为公差，数列中数的个数称为项数。
例如：
（1）5，6，7，8，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；
（3）4，12，20，28，…，804；
（4）1，4，8，16，…，256。
其中（1）是首项为5，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，
公差为2的等差数列；（3）是首项为4，末项为804，公差为8的等差数列；（4）中前后两
项的差都不相等，它不是等差数列。
从高斯的故事我们知道，要想求出像1，2，3，…，99，100这一等差数列的和，只要
用第一个数1与最后一个数100相加求和，再乘以这串数的个数100，最后除以2。
由此，我们得到等差数列的求和公式为：
数列和＝（首项＋末项）×项数÷2

[例1] 计算1＋2＋3＋…＋1999
[分析与解] 这串加数组成的数列1，2，3，…，1999是等差数列，公差是1，首项是1，
末项是1999，项数是1999。根据等差数列求和公式可解得：
原式＝（1＋1999）×1999÷2
＝1999000

[例2] 求首项是5，公差是3的等差数列的前1999项的和。
[分析] 等差数列中首项、末项、公差的关系是：末项＝首项＋公差×（项数－1）
[解] 末项＝5＋3×（1999－1）
＝5999
和＝（5＋5999）×1999÷2
＝6000998

[例3] 计算3＋7＋11＋…＋99
[分析] 这串加数组成的数列是等差数列，公差是4，首项是3，末项是99，但是我们
发现项数从题中看不出来，这时就需要先求出项数。根据上例中介绍的等差数列中首项、末
项、公差的关系，可以得到：
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
[解] 项数＝（99－3）÷4＋1＝25
原式＝（3＋99）×25÷2＝1275

[例4] 计算
（1）2000－3－6－9－…－51－54
（2）（2＋4＋6＋…＋96＋98＋100）－（1＋3＋5＋…＋95＋97＋99）
（3）1991－1998＋1985－1982＋…＋11－8＋5－2
[分析与解] （1）利用第一讲中的知识，“某数连续减去几个数，等于减去这几个数的
和”，可将原式转化为：2000－（3＋6＋9＋…＋51＋54），所以，此题关键是求3＋6＋9＋…
＋51＋54的和。
3＋6＋9＋…＋51＋54
＝（3＋54）×[（54－3）÷3＋1]÷2
＝57×9
＝513
从而，原式＝2000－513＝1487。
（2）同学们可能已经发现和式2＋4＋…＋98＋100，1＋3＋5＋…＋97＋99中的项成等
差数列，从而可能想到先求和，再做减法。这样做，很自然，也比较简便。有其他更为简单
的解法吗？再看题，你会冒出一个好想法：运用加减法性质，先做减法：2－1，4－3，6－5，…，
100－99，它们的差都等于1，然后计算等于1的差数有多少个。由于题中1至100的全部
偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减（以大减小），共得50
个差数1，从而，
原式＝（2－1）＋（4－3）＋…＋（98－97）×（100－99）
＝50
（3）利用求解题（2）的经验，容易发现
1991－1988＝3，1985－1982＝3，…，5－2＝3
这样，此题就归结为计算上述差的个数。
可以这样计算，由于此数列为等差数列，公差是3，由求项数公式可求得项数为：
（1991－2）÷3＋1＝664（个）
这664个数两两配对做减法运算，共得到664÷2＝332个差数，因而


”个“原式) (332

)25()811()19821985()19981991(

＝3×332＝996
[思考] 还可以怎样计算出差的个数？
（还可根据每个括号中被减数所组成的等差数列的项数。）

[例5] 2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋4×3－3×2＋2×1
[解]
原式＝1999×（2000－1998）＋1997×（1998－1996）＋…＋3×（4－2）＋2×1
＝（1999＋1997＋…＋3＋1）×2
＝（1999＋1）×[（1999－1）÷2＋1]÷2×2
＝2000×1000
＝2000000

[小结] 解简单的数列问题，首先要判断该数列是否为等差数列，再找出首项、末项、
项数等相关量，最后运用相应公式正确求解。

【能力训练】
1．计算：
（1）1＋2＋3＋…＋76＋77＋78

（2）1＋3＋5＋…＋95＋97＋99

（3）2＋6＋10＋14＋…＋202＋206＋210

（4）4＋7＋10＋…＋292＋295＋298

2．求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

3．求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

4．计算：
（1）4000－1－2－3－…－76－77－78

（2）560－557＋554－551＋…＋500－497

（3）204－198＋192－186＋…＋24－18＋12－6

*5．计算：
（1）（1＋3＋5＋…＋1999）－（2＋4＋6＋…＋1998）

（2）1＋2＋3－4＋5＋6＋7－8＋9＋10＋11－12＋…＋25＋26＋27－28

参考答案
【能力训练】
1．（1）（1＋78）×78÷2＝3081
（2）（1＋99）×50÷2＝2500
（提示：1到100这一百个自然数中奇、偶数各一半）
（3）（2＋210）×[（210－2）÷4＋1]÷2＝5618
（4）（4＋298）×[（298－4）÷3＋1]÷2＝14949
2．（5＋93）×[（93－5）÷4＋1]÷2＝1127
3．末项＝13＋（30－1）×5＝158
和＝（13＋158）×30÷2＝2565
4．（1）4000－（1＋2＋3＋…＋78）
＝4000－[（1＋78）×78÷2]
＝4000－3081
＝919
（2）3×11＝33（等差数列560，557，554，551，…，500，497，共有（560－497）
÷3＋1＝22项）
（3）6×17＝102（等差数列204，198，192，…，12，6，共有（204－6）÷6＋1＝
34项）
*5．（1）1＋（3－2）＋（5－4）＋（7－6）＋（1999－1998）
＝1＋999×1
＝1000
（2）（1＋2＋3＋4＋…＋25＋26＋27＋28）－2×（4＋8＋…＋24＋28）
＝（1＋28）×28÷2－2×（4＋28）×[（28－4）÷4＋1]÷2
＝29×14－16×14
＝13×14
＝182

教学内容：简单的数列问题（二）

上一讲中，我们学习了什么是等差数列，等差数列的求和公式，以及求项数、末项的公
式。这一讲，我们介绍如何利用这些公式，解决与等差数列有关的问题。

[例1] 求所有被2除余数是1的三位数的和。
[分析] 首先应分析一下被2除余数是1的三位数是哪些数。能被2整除的三位数中最
小的是100，所以被2除余数是1的三位数中最小的是101。采用同样的办法可知，三位数
中最大的被2除余1的数是999，而且这样的三位数前后两数都差2，因此它们构成一个等
差数列，故可以利用等差数列求和公式求和。
[解] 所求的三位数的和是101＋103＋105＋…＋999
项数＝（999－101）÷2＋1
＝898÷2＋1
＝450
和 ＝（101＋999）×450÷2
＝247500
答：所有被2除余数是1的三位数的和是247500
由例1可以看出，解这种类型题目的关键是根据题意正确地找出满足条件的数列，然后
求和。

[例2] 1至100内所有不能被5或9整除的数的和是多少？
[分析与解] 如果要直接找出1至100内所有不能被5或9整除的数比较麻烦，因此我
们采用间接的办法来解。可以先分别找出能被5或9整除的数，并求出它们的和，然后再从
1＋2＋3＋…＋100的和中减去它们的和，即为所求的解。
1至100内所有能被5整除的数是5，10，15，…，100，这个等差数列的项数＝（100
－5）÷5＋1＝95÷5＋1＝20，因此
5＋10＋15＋…＋100＝（5＋100）×20÷2
＝105×20÷2