四年级奥数(2)简单的数列求和
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教学内容:简单的数列问题(一)
世界著名的数学家高斯(1777年~1855年),幼年时代聪明过人。上小学时,有一天数
学老师出了一道题让全班同学计算:
1+2+3+4+…+99+100=?
老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快地说出了正确答案5050。那些正
忙着把这100个数一个一个相加求和的同学大吃一惊!小高斯有什么窍门呢?
原来小高斯通过细心观察,发现1~100这一串数中,1+100=2+99=3+98=…=49
+52=50+51=101。即:与这串数首末两端距离相等的每两个数的和,都等于首末两数的
和,这样的和为101的数共有100÷2=50对。于是小高斯就把这道题巧算为:
1+2+3+…+99+100
=(1+100)×100÷2
=5050
像1,2,3,…,99,100这样的一串数我们称为“等差数列”,下面介绍有关等差数列
的概念。
若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后
一项称为末项。从第一项开始,后项与前项之差都相等的数称为等差数列,后项与前项之差
称为公差,数列中数的个数称为项数。
例如:
(1)5,6,7,8,…,100;
(2)1,3,5,7,9,…,99;
(3)4,12,20,28,…,804;
(4)1,4,8,16,…,256。
其中(1)是首项为5,末项为100,公差为1的等差数列;(2)是首项为1,末项为99,
公差为2的等差数列;(3)是首项为4,末项为804,公差为8的等差数列;(4)中前后两
项的差都不相等,它不是等差数列。
从高斯的故事我们知道,要想求出像1,2,3,…,99,100这一等差数列的和,只要
用第一个数1与最后一个数100相加求和,再乘以这串数的个数100,最后除以2。
由此,我们得到等差数列的求和公式为:
数列和=(首项+末项)×项数÷2
[例1] 计算1+2+3+…+1999
[分析与解] 这串加数组成的数列1,2,3,…,1999是等差数列,公差是1,首项是1,
末项是1999,项数是1999。根据等差数列求和公式可解得:
原式=(1+1999)×1999÷2
=1999000
[例2] 求首项是5,公差是3的等差数列的前1999项的和。
[分析] 等差数列中首项、末项、公差的关系是:末项=首项+公差×(项数-1)
[解] 末项=5+3×(1999-1)
=5999
和=(5+5999)×1999÷2
=6000998
[例3] 计算3+7+11+…+99
[分析] 这串加数组成的数列是等差数列,公差是4,首项是3,末项是99,但是我们
发现项数从题中看不出来,这时就需要先求出项数。根据上例中介绍的等差数列中首项、末
项、公差的关系,可以得到:
项数=(末项-首项)÷公差+1
[解] 项数=(99-3)÷4+1=25
原式=(3+99)×25÷2=1275
[例4] 计算
(1)2000-3-6-9-…-51-54
(2)(2+4+6+…+96+98+100)-(1+3+5+…+95+97+99)
(3)1991-1998+1985-1982+…+11-8+5-2
[分析与解] (1)利用第一讲中的知识,“某数连续减去几个数,等于减去这几个数的
和”,可将原式转化为:2000-(3+6+9+…+51+54),所以,此题关键是求3+6+9+…
+51+54的和。
3+6+9+…+51+54
=(3+54)×[(54-3)÷3+1]÷2
=57×9
=513
从而,原式=2000-513=1487。
(2)同学们可能已经发现和式2+4+…+98+100,1+3+5+…+97+99中的项成等
差数列,从而可能想到先求和,再做减法。这样做,很自然,也比较简便。有其他更为简单
的解法吗?再看题,你会冒出一个好想法:运用加减法性质,先做减法:2-1,4-3,6-5,…,
100-99,它们的差都等于1,然后计算等于1的差数有多少个。由于题中1至100的全部
偶数之和作为被减数,奇数之和为减数,所以,相邻的奇偶数相减(以大减小),共得50
个差数1,从而,
原式=(2-1)+(4-3)+…+(98-97)×(100-99)
=50
(3)利用求解题(2)的经验,容易发现
1991-1988=3,1985-1982=3,…,5-2=3
这样,此题就归结为计算上述差的个数。
可以这样计算,由于此数列为等差数列,公差是3,由求项数公式可求得项数为:
(1991-2)÷3+1=664(个)
这664个数两两配对做减法运算,共得到664÷2=332个差数,因而
”个“原式) (332
)25()811()19821985()19981991(
=3×332=996
[思考] 还可以怎样计算出差的个数?
(还可根据每个括号中被减数所组成的等差数列的项数。)
[例5] 2000×1999-1999×1998+1998×1997-1997×1996+…+4×3-3×2+2×1
[解]
原式=1999×(2000-1998)+1997×(1998-1996)+…+3×(4-2)+2×1
=(1999+1997+…+3+1)×2
=(1999+1)×[(1999-1)÷2+1]÷2×2
=2000×1000
=2000000
[小结] 解简单的数列问题,首先要判断该数列是否为等差数列,再找出首项、末项、
项数等相关量,最后运用相应公式正确求解。
【能力训练】
1.计算:
(1)1+2+3+…+76+77+78
(2)1+3+5+…+95+97+99
(3)2+6+10+14+…+202+206+210
(4)4+7+10+…+292+295+298
2.求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和。
4.计算:
(1)4000-1-2-3-…-76-77-78
(2)560-557+554-551+…+500-497
(3)204-198+192-186+…+24-18+12-6
*5.计算:
(1)(1+3+5+…+1999)-(2+4+6+…+1998)
(2)1+2+3-4+5+6+7-8+9+10+11-12+…+25+26+27-28
参考答案
【能力训练】
1.(1)(1+78)×78÷2=3081
(2)(1+99)×50÷2=2500
(提示:1到100这一百个自然数中奇、偶数各一半)
(3)(2+210)×[(210-2)÷4+1]÷2=5618
(4)(4+298)×[(298-4)÷3+1]÷2=14949
2.(5+93)×[(93-5)÷4+1]÷2=1127
3.末项=13+(30-1)×5=158
和=(13+158)×30÷2=2565
4.(1)4000-(1+2+3+…+78)
=4000-[(1+78)×78÷2]
=4000-3081
=919
(2)3×11=33(等差数列560,557,554,551,…,500,497,共有(560-497)
÷3+1=22项)
(3)6×17=102(等差数列204,198,192,…,12,6,共有(204-6)÷6+1=
34项)
*5.(1)1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+(1999-1998)
=1+999×1
=1000
(2)(1+2+3+4+…+25+26+27+28)-2×(4+8+…+24+28)
=(1+28)×28÷2-2×(4+28)×[(28-4)÷4+1]÷2
=29×14-16×14
=13×14
=182
教学内容:简单的数列问题(二)
上一讲中,我们学习了什么是等差数列,等差数列的求和公式,以及求项数、末项的公
式。这一讲,我们介绍如何利用这些公式,解决与等差数列有关的问题。
[例1] 求所有被2除余数是1的三位数的和。
[分析] 首先应分析一下被2除余数是1的三位数是哪些数。能被2整除的三位数中最
小的是100,所以被2除余数是1的三位数中最小的是101。采用同样的办法可知,三位数
中最大的被2除余1的数是999,而且这样的三位数前后两数都差2,因此它们构成一个等
差数列,故可以利用等差数列求和公式求和。
[解] 所求的三位数的和是101+103+105+…+999
项数=(999-101)÷2+1
=898÷2+1
=450
和 =(101+999)×450÷2
=247500
答:所有被2除余数是1的三位数的和是247500
由例1可以看出,解这种类型题目的关键是根据题意正确地找出满足条件的数列,然后
求和。
[例2] 1至100内所有不能被5或9整除的数的和是多少?
[分析与解] 如果要直接找出1至100内所有不能被5或9整除的数比较麻烦,因此我
们采用间接的办法来解。可以先分别找出能被5或9整除的数,并求出它们的和,然后再从
1+2+3+…+100的和中减去它们的和,即为所求的解。
1至100内所有能被5整除的数是5,10,15,…,100,这个等差数列的项数=(100
-5)÷5+1=95÷5+1=20,因此
5+10+15+…+100=(5+100)×20÷2
=105×20÷2