排序不等式 课件

bc ca ab
由排序不等式：顺序和≥乱序和得：
a ＋b ＋c b ＋c ＋a ， bc ca ab bc ca ab
a ＋b ＋c c ＋a ＋b ， bc ca ab bc ca ab
两式相加得：2( a ＋ b ＋ c ) 3.
bc ca ab
所以 a ＋ b ＋ c 3 .
bc ca ab 2
(1,2,3) (30,25,45)
和
S1=a1b1+a2b2+a3b3=220 (最大值)
备注 顺序和
S2=a1b1+a2b3+a3b2=205 乱序和
S3=a1b2+a2b1+a3b3=215 乱序和
对应关系
和
(1,2,3) (30,45,25)
S4=a1b2+a2b3+a3b1=195
(1,2,3) (45,25,30)
2.首先分析待证不等式的结构特点，左端是 1 1右 1端，是
abc
a8 b8 应 c该8 分离成积的和形式，首先构造右端，寻找有序
a3b3c3
实数组，然后根据结论证明本题需要两次利用排序不等式.
【证明】1.如图,ha=bsin C，hb=csin A, hc=asin B,不妨设a≥b≥c.由大角对大边 可知A≥B≥C. ①若A≤90°，则有sin A≥sin B≥sin C,由顺序和≥乱序和， 可得asin A+bsin B+csin C≥asin B+bsin C+csin A. ②若A>90°,此时sin A=sin(B+C),因为B+C为锐角,故亦有 sin A≥sin B≥sin C.由顺序和≥乱序和，可得asin A+bsin B+csin C≥asin B+bsin C+csin A. 综上可知,asin A+bsin B+csin C≥ha+hb+hc成立.
因为a+b+c>0，所以aA bB cC .
abc 3
所以 aA bB的 c最C小值为
.
abc
3
【互动探究】题2中，若条件不变，你能证明 aA bB cC 吗？
abc 2
【证明】由0＜b+c-a,0＜a+b-c,0＜a+c-b,有 0＜A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+CB)+c(A+B-C)=a(π-2A)+b(π-2B)+c(π-2C)=(a+b+c)π2(aA+bB+cC). 得 aA bB cC
2.由不等式的性质，不妨设 1 1 1，
cba
因而
1 b3c3
1 c3a3
a31b可3 ,a知ab5≥ cb, 5≥c5，由排序不等式
得：a5
b3c3
b5 c3a3
c5 a3b3
a5 c3a3
b5 a3b3
c5 b3c3
a2 c3
b2 a3
c2 b3
.
又由不等式的性质知 a2 b2 c2，1 根 据1 排 序1 ，原理：
对于出现的“逐步调整比较法”,则要引起注意,研究数组这种 带“顺序”的乘积的和的问题时,这种方法对理解相关问题时 是比较简单易懂的.
2.排序原理的思想 在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量,它们之间 并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时,我们可以利用排 序原理的思想方法,将它们按一定顺序排列起来,继而利用不等 关系来解题.因此,对于排序原理,我们要记住的是处理问题的这 种思想及方法,同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处 理实际问题.
类型 一 利用排序不等式求最值
【典型例题】
1.设a，b，c为正数， 则 a ＋ b ＋ c 的最小值为_______．
bc ca ab
2.用A，B，C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其
对边，求 aA bB cC 的最小值.
abc
【解题探究】
1.题1中要利用排序不等式求解最小值，关键是什么？ 2. 题2中的 aA bB对解cC题有什么暗示？
abc
探究提示： 1.要利用排序不等式求解 a ＋ b 的＋最小c 值关键是找
bc ca ab
出两组有序数组，然后根据反序和≤乱序和≤顺序和求解最
小值.
2. 题2中的 aA bB分 c子C，出现了三角形的边与角的积，结合排
abc
序原理可以考虑寻找的两组有序实数组为a,b,c和A,B,C.
【解析】1.不妨设a≥b≥c，于是a＋b≥c＋a≥b＋c. 则 1 1 1.
阴影面积=a1b1+a2b2,而空白 面积=a1b2+a2b1. 根据顺序和≥反序和可知答案.
答案:≥
3.已知两组数1,2,3和45,25,30,若c1,c2,c3是45,25,30的一个
排列,则1c1+2c2+3c3的最大值是
,最小值是
.
【解析】
对应关系
(1,2,3) (25,30,45)
(1,2,3) (25,45,30)
【典型例题】
1．在△ABC中，ha,hb,hc为边长a,b,c
上的高，求证：asin A+bsin B+csin C≥ha+hb+hc.
2.设a，b，c都是正数，求证：1
a
1 b
1 c
a8
b8 a3b3c3
c8
.
【解题探究】 1.要用排序不等式证明，待证不等式的特征是什么？怎么办？ 2.题2应该如何寻找两个有序实数组？ 探究提示： 1.根据排序不等式可知，待证的不等式中左端是积的形式， 所以需要将右端的ha，hb，hc结合已知量转化为积的形式， 进而运用排序原理去求证.
2.排序不等式(排序原理).
设有两个有序实数
组:a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn,c1,c2,…,cn是b1,b2,…, bn的任一排列,则_a_1_b_n+_a_2_b_n_-1_+_…__+_a_n_b_1 ≤a1c1+a2c2+…+ancn ≤_a_1_b_1+_a_2_b_2_+_…__+_a_nb_n_,当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时, 反序和等于顺序和.
abc 2
【拓展提升】利用排序不等式求最值的方法 利用排序不等式求最值时,先要对待证不等式及已知条件仔细 分析,观察不等式的结构,明确两个数组的大小顺序,分清顺序和、 乱序和及反序和,由于乱序和是不确定的,根据需要写出其中的 一个即可.一般最值是顺序和或反序和.
类型 二 利用排序不等式证明不等式
排序不等式
1.顺序和、乱序和、反序和的概念.
设有两个有序实数组:a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn, c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列. (1)顺序和:_a_1b_1_+_a_2_b_2+_…__+_a_n_b_n_ (2)乱序和:_a_1c_1_+_a_2_c_2+_…__+_a_n_c_n_ (3)反序和:_a_1b_n_+_a_2_b_n-_1_+_…__+_a_nb_1_
1.使用排序不等式的关键是什么? 提示:使用排序不等式,关键是出现有大小顺序的两列数(或者 代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系.
2.如图所示,矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,则阴影部分的矩形的
面积之和
空白部分的矩形的面积之和.
【解析】这可沿图中线段MN向上
翻折比较即知.当然由图我们可知,
c3 b3 a3
a2 b2 c2 a2 b2 c2 1 1 1
c3
a3
b3
a3
b3
c3
a
b
. c
由不等式的传递性可知：
1 1 1 a5 b5 c5 a8 b8 c8 .
a b c b3c3 c3a3 a3b3
a3b3c3
【拓展提升】排序不等式证明不等式的策略 (1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组 量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和.利 用排序不等式证明即可. (2)若在解答数学问题时,涉及一些可以比较大小的量,它们之 间并没有预先规定大小顺序.那么在解答问题时,我们可以利用 排序原理将它们按一定顺序排列起来,继而用不等关系来解题.
S5=a1b3+a2b1+a3b2=185
(1,2,3) (45,30,25)
S6=a1b3+a2b2+a3b1=180 (最小值)
答案:220 180
备注 乱序和 乱序和 反序和
1.对排序不等式的证明的理解 对排序不等式的证明中,用到了“探究——猜想——检验—— 证明”的思维方法,这是探索新知识、新问题常用到的基本方 法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了“一 一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识的处 理问题的方法,所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事 例来理解.
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
所以 a ＋ b 的＋最c小值为
3.
bc ca ab
2答案：32 Nhomakorabea.由对称性，不妨设a≥b≥c,于是A≥B≥C，于是由顺序和≥
乱序和，可得aA+bB+cC=aA+bB+cC,
aA+bB+cC≥aB+bC+cA,
aA+bB+cC≥aC+bA+cB.
将上面三式相加可得
3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=π(a+b+c).