初三数学 锐角三角函数知识精讲 华东师大版

初三数学 25.1 测量 25.2 锐角三角函数知识精讲 华东师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容： §25.1 测量
§25.2 锐角三角函数
二. 重点、难点： 1、重点：
（1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数(sinA 、cosA 、tanA 、cotA)。

（2）知道30°、45°、60°角的三角函数值；能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角大小。

（3）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角； （4）能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。

2、难点：
（1）理解正弦、余弦、正切、余切的概念。

（2）怎样运用已学过的正余切，以及正余弦概念解决实际问题。

（3）理解30°、45°、60°角的三角函数值的探究过程。

（4）计算器的使用方法。

三. 知识梳理： 1、测量
（1）利用相似测量物高和距离
相似三角形对应边成比例及有关知识可以解决生活中的某些测量问题。

这里介绍两种测量方法：一是构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应边成比例的性质计算出所要测量的物体的高度；二是利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，运用刻度直尺测量出所某某物在纸上对应边的长度，再根据比例尺计算出实际物体的高度。

注意：利用阳光下的影子时须在同一时刻；利用镜面反射，由于反射角等于入射角，人与被测物都与地面垂直，所以可以构造相似三角形。

总之，关键是构造相似三角形。

（2）利用勾股定理进行测量 勾股定理：2
2
2
a b c +=。

其中a 、b 为直角边，c 为斜边，已知其中任两个量，都可求出第三个量。

勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

在解题中注意构造直角三角形，灵活运用勾股定理，分清直角三角形的直角边和斜边。

2、锐角三角函数
（1）锐角三角函数的定义
如图，在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切；锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切。

锐角A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数。

（2）锐角三角函数的表示
锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切分别记作sinA 、cosA 、tanA 、cotA 。

即sin ,A A ∠=
的对边斜边cos A A ∠=的邻边斜边，tan A A A ∠=∠的对边
的邻边
，
cot A A A ∠=
∠的邻边
的对边。

说明：①锐角∠A 的四个三角函数都是在直角三角形中定义的。

②三角函数的实质是一个比值，这些比值只与锐角的大小有关，与三角函数的边长无关；即在直角三角形中自变量是锐角∠A ，三角函数值随着角度的变化而变化。

③sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是数学表达符号，是一个整体，不能理解为相乘的关系，即不是sinA 。

④锐角三角函数是直角三角形的边与边之比，因此锐角三角函数值都是正实数，而且斜边大于直角边，所以0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1。

tanA ＞0，cotA ＞0，且1cot tan =⋅=
⋅a
b
b a A A 。

3、特殊角的三角函数
30°、45°、60°的三角函数值经常用到，根据三角函数的意义，分别可以求出，列表如下：
由sin30°=
1
2
，得到一个重要结论：在直角三角形中， 30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半。

此结论可直接作为解题的依据应用。

4、锐角三角函数之间的关系
（1）同角三角函数的关系(∠A 为锐角)。

①平方关系：2
2
sin cos 1;A A +=
②商的关系：sin tan ,cos A A A =
cos cot ;sin A
A A
= ③倒数关系：tan cot 1A A ⋅=。

（2）互余的两个锐角的三角函数关系(∠A 为锐角) 直角三角形的两锐角互余，并且这两个锐角共用一个斜边，其中一个锐角的对边正好是
另一个锐角的邻边，一个锐角的邻边正好是另一个锐角的对边，所以这两个锐角的三角函数间就存在必然的关系。

把互余的两个锐角α、β放入到同一个直角三角形中，使之成为直角三角形的两个内角。

如图：
根据三角函数的意义可得
sin,cos,tan,cot
sin,cos,tan,cot.
BC AC BC AC
AB AB AC BC
AC BC AC BC
AB AB BC AC
αααα
ββββ
====
====
比较上面各式立即得到：
sinα＝cosβ，cosα＝sinβ，tanα＝cotβ，cotα＝tanβ
这说明：如果两个锐角互余，那么其中一个锐角的正弦(切)等于另一个锐角的余弦(切)。

5、用计算器求锐角三角函数值
因为各种型号计算器的功能不尽相同，键盘的位置也有区别，因此使用计算器前，应当仔细阅读所持计算器的使用说明，熟悉各个键盘的位置和功能。

由于计算器面板上通常没有余切函数键cot，所以求一个锐角的余切函数值或由锐角
的余切函数值求锐角，应由关系式tanA·cotA＝1，得
A
A
cot
1
tan=转化为正切函数值。

【典型例题】
例1. 为了测量学校旗杆的高度，身高1.65m的小明和小刚来到操场上，他让小刚到体育室借来皮尺，量出小明的影长为0.5m，旗杆的影长为2.3m。

运用这些数据，小明算出了旗杆的大约高度。

分析：由于太阳光可以看作是一束平行光线，小明和旗杆又都垂直于地面。

所以由太阳光线、实物及实物的影子构成的三角形都是相似的(在同一时刻)。

故△ABC∽△A B C
'''，如图。

解：∵△ABC ∽△A B C '''
∴
C A AC
C B BC '
'=
'' 又∵m .AC ,m .C B ,m .BC 6513250==''= ∴m C A 59.7=''
即旗杆的高度为7.59m 。

例2. 如图，为了测量河的宽度，可以先在河对岸找到一个具有明显标志的点A ，再在所在的边找到两点B 、C ，使ABC ∆构成直角三角形。

如果测得m BC 50=，∠ABC ＝70°，求河的宽度AC 。

分析：根据课本介绍的方法，只须按1：2000的比例在纸上把△ABC 画出来。

由于△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，∠ABC ＝70°，所以画出的三角形C B A '''也是直角三角形，且︒='∠90C ，︒='''∠70C B A ，因为BC ＝50m ，所以cm C B 5.22000
50
==''。

如图。

用刻度尺量出C A ''的长度，就可以算出河宽AC 。

解：画直角三角形C B A '''，使︒='∠90C ，用刻度直尺量得 cm C B B 5.2,70=''︒='∠，用刻度尺量得cm C A 9.4=''。

∵
2000
1
=
''=''BC C B AC C A ∴AC ＝98m 。

即河宽AC 为98m 。

例3. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c 。

若a ＝2b ，求∠A 和∠B 的四个三角函数值。

分析：根据锐角三角函数的定义，锐角的三角函数值是比值，因此只要求出锐角所在的直角三角形任何两条边的比例关系，由a ＝2b 和勾股定理可以求出c 与a 或b 的比例关系，进而求出，∠A 、∠B 的四个三角函数值。

解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2b
∴()b b b b a c 522
222=+=
+=
如下图55
252sin ===
b b
c a A
22cot ,212tan 55252cos ,555sin 2
12cot ,22tan 5
5
5cos =====
======
======
==
==
b
b b a B b b a b
B b b c a B b b c b
B b b a b A b b b a
A b b
c b
A
例4. 在△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，6,3==BC AC ，求∠BCD 的
四个三角函数值。

分析：因为∠BCD 在Rt △BCD 中，如图，且6=
BC 所以只须求出其他两边BD 、
CD 的长，即可以求∠BCD 的四个三角函数值。

又因为∠BCD ＝∠A(它们都是∠B 的余角)，所以∠BCD 的四个三角函数值与∠A 的四个三角函数值分别相等，故只需求∠A 的三角函数值，把∠A 放在Rt △ABC 中考虑，求出斜边AB 即可。

解：在Rt △ABC 中，6,3==BC AC
根据勾股定理得：
()()
3632
2
=+=
AB
∴3
3
cos ,36sin ====
AB AC A AB BC A 22
6
3cot ,236tan =
=====
BC AC A AC BC A 又∵∠BCD ＝∠A ∴3
3
cos cos ,36sin sin ==∠=
=∠A BCD A BCD 2
2
cot cot ,2tan tan =
=∠==∠A BCD A BCD
例5.已知直线y ＝2x －4与x 轴相交成的锐角为a ，求a 的四个三角函数值。

分析：如图，把a 放在Rt △AOB 中考虑，其中点A 、B 分别是直线y ＝2x －4与x 轴、y 轴的交点，点O 是坐标原点，先求出点A 、点B 的坐标，再求出OA 、OB 的长及AB 的长即可求出a 的四个三角函数值。

解：如图，直线y ＝2x －4与x 轴交于点A(2，0)，与y 轴交于点B(0，－4)，∠OAB ＝α。

∴OA ＝2，OB ＝4。

根据勾股定理5222=+=OB OA AB 。

∴,5
5
522cos ,552524sin ======
AB OA AB OB αα 2
142OB OA cot ,224OA OB tan ======
αα。

例6. 已知△ABC 中，∠C ＝90°，135,2
3
tan ==
c B ，求△ABC 的面积。

分析：ab S ABC
Rt 21=∆，只须求出a 、b 即可，因为135,2
3
tan ===c a b B ，可以根据2
2
2
c b a =+。

得到关于a 、b 的方程组。

解：∵2
3tan ==a b B ∴b a 3
2=
① ∵︒=∠=90,135C c ∴()
13251352
22⨯==+b a ②
由①、②得：
13259
422
⨯=+b b 。

2592⨯=b ，∴b ＝15(取正)
∴a ＝10，7515102
1
=⨯⨯=∆ABC Rt S 。

例7. 如图，在Rt △ABC 中，AB CD A C ⊥︒=∠︒=∠,30,90，垂足为D ，求
AD
DB
的值。

分析：由∠A ＝30°，能够得到∠DCB ＝30°，运用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可以知道，进行比较，推得DB 与AD 的关系。

解：设DB ＝k
∵∠C ＝90°，CD ⊥AB ，∠A ＝30°，
∴∠DCB ＝30°，在Rt △DCB 中，∠DCB ＝30°，DB ＝k ， ∴BC ＝2k(30°所对的直角边等于斜边的一半)。

在Rt △ACB 中，∠A ＝30°，BC ＝2k
∴AB ＝4k(为什么?)
∴AD ＝AB －DB ＝4k －k ＝3k ∴
3
1
3==k k AD DB 。

例8. 计算．
（1）sin30°+cos45°
（2）sin 260°+cos 260°－tan45°
（3）sin 213°+sin 277－sin45°
分析：直接根据特殊锐角的三角函数值计算，注意运用锐角三角函数的关系使解题简洁。

解：（1）sin30°+cos45°=
1
2+2
=12+；
（2）sin 260°+cos 260°－tan45°=
34+1
4
－1=0．
（3）sin 213°+sin 277－sin45°
=cos 277°+sin 277sin45° =1－|cos45°－1|－sin45° =1+cos45°－1－sin45°=0。

例9. 已知∠A 、∠B 、∠C 是△ABC 的三个内角，且01tan 1sin 2=-+-B A 。

求∠C 的度数。

分析：由条件可以得到2sinA －1＝0，tanB －1＝0，即能求出∠A 、∠B 的度数，根据三角形的内角和定理求∠C 。

解：∵01tan 1sin 2=-+-B A ∴2sinA －1＝0，tanB －1＝0 即1tan ,2
1
sin ==
B A ∴锐角∠A ＝30°，锐角∠B ＝45° ∴∠
C ＝180°－30°－45°＝105°
例10. 已知()1950.050cot =︒+x ，求锐角x(精确到1′)。

分析：把x+50°看做一个整体设为α，即cot α＝0.1950。

根据α
αcot 1
tan =，可以求出tan α的值。

再求出α，最后求出锐角x
解：设x+50°=α，则cot α
128.51950
.01
cot 1tan ≈==
αα 在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示出D)，按下列顺序依次按键：
，
显示结果为78.96536044。

再按键：
，
显示结果为78°57′55″30
∴α≈78°58′，所以x+50°＝78°58′， x ＝28°58′
例11. 已知如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=1
3
，求：∠A 的四个三角函数值。

解析：过B 点作AC 的垂线交AC 的延长线于E 点， ∵DC ⊥AC ，BE ⊥AE ∴DC ∥BE
∴∠BCD=∠CBE ∵D 是AB 中点，DC ∥BE ∴C 是AE 的中点
∵tan ∠BCD=13，∠BCD=∠CBE ∴tan ∠CBE=13
CE BE = ∵C 是AE 的中点 ∴tan ∠A=32BE AE =，cot ∠A=2
3
AE BE =
∴sin ∠A=31313BE AB =，cos ∠A=13
13
AE AB =
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，且tanA=3，则cosB 的值为（ ） A.
131010310
.
10
3
10
10
B C D 2、若∠B 为锐角，且sinB>
3
2
，那么∠B （ ） A 、小于30° B 、大于30° C 、大于45°且小于60° D 、大于60° 3、在△ABC 中，锐角A ，B 满足（sinA 3）2+│cosB 3=0，则△ABC 是（ ）
A 、等腰三角形
B 、等边三角形
C 、等腰直角三角形
D 、直角三角形 4、已知sin35°=cos α，则α为（ ） A 、35° B 、55° C 、75° D 、65° 5、若0°<∠A<45°，那么sinA －cosA 的值（ ） A 、大于0 B 、小于0 C 、等于0 D 、不能确定 6、若0°<α<90°，且4sin 2α－3=0，则α等于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 7、若3cot （α+10°）=1，则锐角α的值是（ ） A 、20° B 、50° C 、40° D 、30° 8、计算：
（1）2sin30°·tan60°
（2）3tan30°－2cos30°+tan60° 9、解答题：
（1）已知∠A 为锐角，若sinA=
2
3
，求cosA 及tanA 。

（2）已知cot α－tan α=1，试求tan 2α+2
1
tan α
的值。

（3）已知tan α=3，求2sin cos cos 2sin αα
αα
-+的值。

10、在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E 点，CE=2，sinB=5
13
，求菱形ABCD 的面积。

11、利用三角函数定义说明sin 2A+cos 2A=1。

【试题答案】
1、D 点拨：画出对应的图形，用份数表示边长，既简单又准确。

2、D 点拨：掌握锐角的正弦值的变化规律是关键。

3、D 点拨：利用特殊角的三角函数值，求出对应角的度数。

4、B 点拨：掌握sinA=cos （90°－A ）的性质。

5、B 点拨：可用特殊值法确定sinA 与cosA 的关系。

6、C 点拨：通过方程求三角函数值。

7、B 3（α+10°）=1可知，cot （α+10°）=
3
3
， ∴α+10°=60°，∴α=50°。

8、（1）原式=2×
1
2
33
（2）原式=3
×
3－2
×
2
9、（1）∵∠A为锐角，sinA=2
3
，
∴
2
sin
tan
cos
3
A
A
A
=====
（2）tan2α+
2
1
tanα
=tan2α+cot2α=（tanα－cotα）2+2tanα·cotα=12+2=3 （3）∵tanα=3，即
sin
cos
α
α
=3，
∴sinα=3cosα，
∴原式=23cos cos5cos5 cos23cos7cos7
ααα
ααα
⨯-
== +⨯
10、在Rt△ABE中，sinB=
5 13
，
∴AE=5x，AB=13x，BE=12x
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，即13x=12x+2，∴x=2
∴AB=26，AE=10，S菱形ABCD=26×10=260 11、
在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=c，BC=a，AC=b，
∴sinA=a
c
，cosA=
b
c
，
∴sin2A+cos2A=
2222 222
a b a b c c c
+
+=
又∵在Rt△ABC中，c2=a2+b2，
∴sin2A+cos2A=1
【励志故事】
足迹
一天晚上，一个人做了个梦，他梦见他一直与神同行。

他注意到有些地方有两行足迹在身后——一行属于他，另一行属于神。

而有一些地方只有一行足迹，这些地方刚好都是他人生最低潮、最悲观的阶段。

他感觉被神欺骗了。

他问神：“神，你曾说一旦我决定跟随你，你就会一路陪着我走下去。

但是，我注意到在我人生最糟糕的时候，却只有我的一行足迹。

到底是因为什么？在我最需要的时候，你却离开了我？”
神回答：“可爱的孩子，我爱你，而且永远不会离开你。

是的，在你经历考验和挫折的时候，只有一行足迹，但那是我背着你留下的。

”
那人仔细查看了一番地上的脚印，突然说：“那是我自己的脚印呀！”
神笑了：“现在你知道了，既然你在最低潮、最悲观的阶段，都能够背负我走过去，那你现在还需要我吗？”。