北师大版2020-2021学年九年级上册数学期末复习试题(有答案)

北师大新版2020-2021学年九年级上册数学期末复习试题一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．圆柱
C．三棱柱D．正方体
2．若反比例函数的图象经过（﹣1，3），则这个函数的图象一定过（）A．（﹣3，1）B．（﹣，3）C．（﹣3，﹣1）D．（，3）3．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（）
A．B．C．D．
4．抛物线y＝x2﹣6x+4的顶点坐标是（）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）5．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长等于（）
A．2B．4C．D．
6．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AC＝6，则AB的长是（）
A．2（+1）B．3（+1）C．4（+1）D．5（+1）7．如图，A B是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（）
A．20°B．30°C．40°D．70°
8．关于x的一元二次方程x2＝m（m为常数）有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m＞0C．m≤0D．m≥0
9．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（）
A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m
10．关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）
A．函数图象分别位于第二、四象限
B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
11．长为10米的木杆斜靠在墙壁上，且与地面的夹角∠OBA＝60°，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆AB的中点P也随之下落，则点P下落的路线及路线长为（）A．线段，5
B．线段，
C．以点O为圆心，以AB为半径的一段弧，弧长为π
D．以点O为圆心，以OP为半径的一段弧，弧长为π
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，m）、（4，m）和（1，n），若n＜m，则（）
A．a＞0且4a+b＝0B．a＜0且4a+b＝0
C．a＞0且2a+b＝0D．a＜0且2a+b＝0
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标是．
14．如图，菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别为10cm与24cm，点E是AB的中点，则OE＝cm．
15．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球大约有个．
16．△OAB各顶点的坐标为O（0，0）、A（2，4）、B（4，0），要得到与△OAB位似的一个大三角形OA′B′，已知A′（4，8），那么B′的坐标为．
17．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为2，则该莱洛三角形的周长为．
18．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，连接BE交对角线AC于点F，则∠EFC＝°．
三．解答题（共9小题，满分78分）
19．计算：2cos45°+（﹣）﹣1+（2020﹣）0+|2﹣|．
20．如图，正方形ABCD的边长等于，P是BC边上的一动点，∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF．
（1）求证：△BEP∽△CPF；
（2）当∠PAB＝30°时，求△PEF的面积．
21．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝．求：（1）BC的长；
（2）∠ADC的正弦值．
22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件．设每件衬衫降价x元．
（1）降价后，每件衬衫的利润为元，销量为件；（用含x的式子表示）（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．但需要平均每天盈利1200元，求每件衬衫应降价多少元？
23．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1和2；
乙袋中有3个完全相同的小球，分别标有数字1，2和3，小明从甲袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为y，这样确定了点M的坐标（x，y）．
（1）写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M在直线y＝﹣x+3上的概率．
24．如图，AB为⊙O的直径，C为弧AB的中点，过C作⊙O的切线l，点D为l上一点，AB＝DB，AC与DB交于E．
（1）求证：DC∥AB；
（2）求的值．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y＝（k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．
（1）当m＝1时，求一次函数的解析式；
（2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式．
26．【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】
（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．
27．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1，交抛物线与点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；
（3）在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．解：圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，而俯视图是圆，因此选项A不符合题意；
圆柱体的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；
三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，因此选项C不符合题意；
正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，因此选项D符合题意；
故选：D．
2．解：∵反比例函数的图象经过（﹣1，3），
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
当x＝﹣3时，y＝﹣＝1，
∴反比例函数y＝﹣的图象经过点（﹣3，1），反比例函数y＝﹣的图象不经过点（﹣3，﹣1）；
当x＝﹣时，y＝﹣＝9，
∴反比例函数y＝﹣的图象不经过点（﹣，3）；
当x＝时，y＝﹣＝﹣9，
∴反比例函数y＝﹣的图象不经过点（，3）．
故选：A．
3．解：由游戏转盘划分区域的圆心角度数可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是：＝．
故选：A．
4．解：y＝x2﹣6x+4＝（x﹣3）2﹣5，
故抛物线y＝x2﹣6x+4的顶点坐标是：（3，﹣5）．
故选：C．
5．解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
∴BC＝，
∴CE＝BE﹣BC＝12﹣＝．
故选：C．
6．解：作CD⊥AB于D，如图所示：
则∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，∠BCD＝45°，
∵∠ACB＝75°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝30°，
∴AD＝AC＝×6＝3，CD＝AD＝3，
∴BD＝CD＝3，
∴AB＝BD+AD＝3+3＝3（+1）；
故选：B．
7．解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝40°，
∵∠BOC与∠BDC都对，
∴∠D＝∠BOC＝20°，
故选：A．
8．解：∵关于x的一元二次方程x2＝m，即x2﹣m＝0有实数根，∴△≥0，即0+4m≥0，
∴m≥0．
故选：D．
9．解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，
∴AC＝AB+BC＝14m，
∴，
解得，DC＝17.5，
即建筑物CD的高是17.5m，
故选：A．
10．解：反比例函数y＝﹣，k＝12＜0，
A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；
B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；
C、函数图象经过点（﹣6，2），故本选项说法不正确；
D、当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
故本选项说法正确；
故选：C．
11．解：如右图，
连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，
所以OP＝AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．
由题意运动路径＝＝，
故选：C．
12．解：∵点（0，m）、（4，m）为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
即﹣＝2，
∴b+4a＝0，
∵x＝1，y＝n，且n＜m，
∴抛物线的开口向上，
即a＞0．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．解：
∵y＝（x﹣1）2，
∴抛物线顶点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）．
14．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝10cm，BD＝24cm，∴OA＝OC＝AC＝5cm，OB＝OD＝BD＝12cm，AC⊥BD，∴AD＝＝＝13（cm），
又∵点E是AB中点，
∴OE是△DAB的中位线，
∴OE＝AD＝6.5cm．
故答案为：6.5．
15．解：设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在0.25左右，
∴口袋中得到红色球的概率为0.25，
∴＝，
解得：x＝15，
即白球的个数为15个，
故答案为：15．
16．解：根据题意得：△OA′B′∽△OAB，
∵A的坐标为（2，4），A′点的坐标为（4，8），
∴相似比k＝2，
∵B（4，0），
∴B′点的坐标为：（8，0）．
故答案为：（8，0）．
17．解：该莱洛三角形的周长＝3×＝2π．
故答案为：2π．
18．解：∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BCD＝120°，∠ACB＝∠ACD＝∠BCD＝60°，∴△ACD是等边三角形
∵CE⊥AD
∴∠ACE＝∠ACD＝30°
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°
∵CE＝BC
∴∠E＝∠CBE＝45°
∴∠EFC＝180°﹣∠E﹣∠ACE＝180°﹣45°﹣30°＝105°
故答案为：105°
三．解答题（共9小题，满分78分）
19．解：原式＝2×﹣2+1+2﹣
＝﹣2+1+2﹣
＝1．
20．解：（1）∵PE平分∠APB，PF平分∠APC，
∴∠APE＝∠APB，∠APF＝∠APC，
∴∠APE+∠APF＝（∠APB+∠APC）＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPB+∠BEP＝∠EPB+∠FPC＝90°，
∴∠BEP＝∠FPC，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BEP∽△CPF．
（2）∵∠PAB＝30°，
∴∠BPA＝60°，
∴∠BPE＝30°，
在Rt△ABP中，
∠PAB＝30°，AB＝，
∴BP＝1，
在Rt△BPE中，
∠BPE＝30°，BP＝1，
∴EP＝，
∵CP＝﹣1，∠FPC＝60°，
∴PF＝2CP＝2﹣2，
∴△PEF的面积为：PE•PF＝2﹣．21．解：（1）如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵cos C＝＝，AC＝，∴CH＝1，AH＝＝1，
在Rt△ABH中，∵tan B＝＝，
∴BH＝5，
∴BC＝BH+CH＝6．
（2）∵BD＝CD，
∴CD＝3，DH＝2，AD＝＝
在Rt△ADH中，sin∠ADH＝＝．
∴∠ADC的正弦值为．
22．解：（1）∵每件衬衫降价x元，
∴每件衬衫的利润为（40﹣x）元，销量为（20+2x）件．
故答案为：（40﹣x）；（20+2x）．
（2）依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
∴x＝20．
答：每件衬衫应降价20元．
23．解：（1）列表如下：
123
0（0，1）（0，2）（0，3）
1（1，1）（1，2）（1，3）
2（2，1）（2，2）（2，3）从表格中可知，点M坐标总共有九种可能情况：（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）．
（2）当x＝0时，y＝﹣0+3＝3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，当x＝2时，y＝﹣2+3＝1，由（1）可得点M坐标总共有九种可能情况，点M落在直线y＝﹣x+3上（记为事件A）有3种情况．
∴P（A）＝．
24．（1）证明：连接OC、BC，如图1所示：
∵过C作⊙O的切线l，
∴OC⊥DC，
∵C为弧AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴OC⊥AB，
∴DC∥AB；
（2）解：过D作DF⊥AB于F，如图2所示：
则四边形CDFO是矩形，
∴AB＝2DF＝2CO，
∵AB＝DB，
∴DB＝2DF，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BDA＝∠DAB＝75°，
∵C为弧AB的中点，
∴AC＝BC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠CAB＝45°，
∴∠DAC＝∠DAB﹣∠CAB＝75°﹣45°＝30°＝∠ABD，由（1）得：DC∥AB，
∴∠DCA＝∠EAB，
∴△DAC∽△EBA，
∴＝＝，
∴AE＝DC，
作EG⊥AB于G，
∵∠CAB＝45°，∠DBA＝30°，
∴AE＝EG，BE＝2EG，
∴BE＝AE＝2DC，
∴＝＝．
25．解：（1）当m＝1时，点A（﹣3，1），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣3×1＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
∵点B（n，2）在反比例函数y＝﹣图象上，
∴2n＝﹣3，
∴n＝﹣，
设直线AB的解析式为y＝ax+b，则，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x+3；
（2）如图，过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过点A作AF⊥BN于F，交BE于G，
则四边形AMNF是矩形，
∴FN＝AM，AF＝MN，
∵A（﹣3，m），B（n，2），
∴BF＝2﹣m，
∵AE＝2﹣m，
∴BF＝AE，
在△AEG和△BFG中，，
∴△AEG≌△BFG（AAS），
∴AG＝BG，EG＝FG，
∴BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，
∵点A（﹣3，m），B（n，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣3m＝2n，
∴m＝﹣n，
∴BF＝BN﹣FN＝BN﹣AM＝2﹣m＝2+n，MN＝n﹣（﹣3）＝n+3，
∴BE＝AF＝n+3，
∵∠AEM+∠MAE＝90°，∠AEM+∠BEN＝90°，
∴∠MAE＝∠NEB，
∵∠AME＝∠ENB＝90°，
∴△AME∽△ENB，
∴＝＝＝＝，
∴ME＝BN＝，
在Rt△AME中，AM＝m，AE＝2﹣m，根据勾股定理得，AM2+ME2＝AE2，∴m2+（）2＝（2﹣m）2，
∴m＝，
∴k＝﹣3m＝﹣，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣．
26．解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴AC2＝AD•AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴，
∴BF2＝BE•BC，
∴BC＝＝，
∴AD＝．
（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴DE2＝EF•EG，
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2，
∴DE＝EF，
又∵，
∴DG＝，
∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．
27．解：（1）由题意知，
∵点A（﹣1，0），B（4，0）在抛物线y＝x2+bx+c上，
∴解得：
∴所求抛物线的解析式为
（2）由（1）知抛物线的解析式为，令x＝0，得y＝﹣2
∴点C的坐标为C（0，﹣2）
∵点D与点C关于x轴对称
∴点D的坐标为D（0，2）
设直线BD的解析式为：y＝kx+2且B（4，0）
∴0＝4k+2，解得：
∴直线BD的解析式为：
∵点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1，交BD于点M，交抛物线与点Q ∴可设点M，
∴MQ＝
∵四边形CQMD是平行四边形
∴QM＝CD＝4，即
解得：m1＝2，m2＝0（舍去）
∴当m＝2时，四边形CQMD为平行四边形
（3）由题意，可设点Q且B（4，0）、D（0，2）
∴BQ2＝
DQ2＝
BD2＝20
①当∠BDQ＝90°时，则BD2+DQ2＝BQ2，
∴20+＝
解得：m1＝8，m2＝﹣1，此时Q1（8，18），Q2（﹣1，0）
②当∠DBQ＝90°时，则BD2+BQ2＝DQ2，
∴20+＝
解得：m3＝3，m4＝4，（舍去）此时Q3（3，﹣2）
∴满足条件的点Q的坐标有三个，分别为：Q1（8，18）、Q2（﹣1，0）、Q3（3，﹣2）．。