2.2.1直线的点斜式方程课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
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结论： (1) 直线的方程： 【解析】 直线上的点的坐标都是某方程的解，该方程为直线的方 程． (2) 直线的点斜式方程：
【解析】 y－y1＝k(x－x1)
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思考3►►► (1) 当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程是什么？为什么？当直线 l的倾斜角为90°时，直线l的方程如何表示？为什么？ 【解析】 当直线l的倾斜角为0°时，tan0°＝0，即k＝0，这时直线 l与x轴平行或重合，直线l的方程是y－y0＝0，即y＝y0.当直线l的倾斜角为 90°时，由于tan90°无意义，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重 合，它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都 等于x0，所以它的方程是x－x0＝0，即x＝x0.
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例1 直线l经过点P0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方 程，并画出直线l.
【解析】 直线l经过点P0(－2,3)，斜率k＝tan45°＝1，代入点斜式 方程，得y－3＝x＋2.
画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1，y1)，例如，取x1＝－1， 则y1＝4，得点P1的坐标为(－1，4)，过P0，P1两点的直线即为所求，如 图所示．
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谢谢观看
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【解析】 (1) 因为已知直线的斜率为 33，即 tanα＝ 33， 所以 α＝30°， 所以直线 l 的斜率 k＝tan2α＝tan60°＝ 3. 又直线 l 过点(2，－1)， 所以直线 l 的方程为 y－(－1)＝ 3(x－2)， 即 3x－y－2 3－1＝0.
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(2) 显然，直线 l 与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形， 设直线 l 的斜率为 k，且 k≠0，则直线 l 的方程为 y－3＝k(x＋2)． 令 x＝0，得 y＝2k＋3；令 y＝0，得 x＝－3k－2， 所以直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积为12|(2k＋3)－3k－2|＝4， 即(2k＋3)3k＋2＝±8， 解得 k＝－12或 k＝－92， 所以直线 l 的方程为 y－3＝－12(x＋2)或 y－3＝－92(x＋2)， 即 x＋2y－4＝0 或 9x＋2y＋12＝0.
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问题2：设直线l经过点P1(x1，y1)，斜率为k，则直线l上不同于点P1的 任意一点P(x，y)满足的方程是什么？
【解析】 由斜率公式，得 k＝xy－－xy11，即 y－y1＝k(x－x1)．
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思考2►►► 以这个方程的解为坐标的点是否都在直线l上？ 【解析】 若点 P2(x2，y2)的坐标 x2，y2 满足关系式 y－y1＝k(x－x1)， 则 y2－y1＝k(x2－x1)．当 x2＝x1 时，y2＝y1，这时点 P2 与 P1 重合，显然有 点 P1 在直线 l 上；当 x2≠x1 时，k＝xy22－－xy11，这表明过点 P1，P2 的直线 l1 的斜率为 k，因为直线 l，l1 的斜率都为 k，且都过点 P1，所以它们重合， 所以点 P2 在直线 l 上，因此以方程 y－y1＝k(x－x1)的解为坐标的点也都在 直线 l 上．
【解析】 一次函数y＝kx＋b，表示斜率为k，纵截距为b的直线．一 次函数中k不能为0，b可取任何值．y＝2x－1的图象与y轴交于点(0，－1)， 过第一、三、四象限；y＝3x的图象过原点，过第一、三象限；y＝－x＋ 3的图象与y轴交于点(0,3)，过第一、二、四象限．
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活动二 直线方程的简单应用
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思考4►►► 直线满足哪些条件时可直接利用点斜式写出直线方程？ 【解析】 直线斜率存在，并且知道直线的倾斜角和直线上的一点．
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例2 已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，求直线l的方 程．
【解析】 y＝kx＋b
定义： (1) 直线l与x轴交于点(a,0)，与y轴交于点(0，b)，称横坐标a为直线l 在x轴上的截距(横截距)，称纵坐标b为直线l在y轴上的截距(纵截距)． (2) 由直线l的斜率k和它在y轴上的截距b确定的方程y＝kx＋b，叫作 直线的斜截式方程，简称斜截式．
C. 2
D. 3
【解析】 b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，易知当直线y＝－2x
＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．当直线y＝－ 2x＋b过点A(－1，0)时，0＝－2×(－1)＋b，解得b＝－2；当直线y＝－ 2x＋b 过点B(1,0)时，0＝－2×1＋b，解得b＝2，所以b的取值范围是[－ 2,2]．故选ABC.
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思考1►►► 以所求方程的解为坐标的点是否都在直线l上？ 【解析】 若点 p′(x′，y′)的坐标满足方程 y＝－2x＋1，即 y′＝ －2x′＋1.当 x′＝－1 时，y′＝3，此时点 P′与点 A 重合，即点 P′在 直线 l 上；当 x≠－1 时，y′－3＝－2[x′－(－1)]，即xy－′－ －31＝－2，这 表明过点 P′，A 的直线 l1 的斜率为－2.因为直线 l，l1 的斜率都为－2， 且都过点 A，所以它们重合，从而点 P′在直线 l 上，因此以方程 y＝－ 2x＋1 的解为坐标的点也都在直线 l 上．
线的斜率为 k＝－k1AB＝－12，所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y－(－
3)＝－12(x－3)，即 x＋2y＋3＝0. 【答案】 D
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3. (多选)(2022·鄂州期中)设点A(－1,0)，B(1,0)，直线y＝－2x＋b与线
段AB相交，则b可取的值为( )
A. －1
B. 0
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例4 在同一平面直角坐标系中作出下列两组直线，分别说出这两组 直线有什么共同特征？
(1) y＝2，y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝3x＋2，y＝－3x＋2； (2) y＝2x，y＝2x＋1，y＝2x－1，y＝2x＋4，y＝2x－4. 【解析】 图略． (1) 这些直线在y轴上的截距都为2，它们的图象经过同一点(0,2)． (2) 这些直线的斜率都为2，它们的图象平行．
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(2) 直线的点斜式方程y＝k(x＋1)＋3能否表示经过点(－1,3)的所有直 线呢？
【解析】 不能，当斜率不存在时，无法使用点斜式表示． (3) 方程yx－ －31＝k 表示的几何图形是整条直线吗？ 【解析】 不是，该方程可化为y－3＝k(x－1)，但x≠1，即该方程表 示除点(1,3)外，斜率为k的直线部分．
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程
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学习目标 活动方案 检测反馈
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1. 掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线的方 程．
2. 了解直线的斜截式方程与一次函数的关系． 3. 会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直 问题．
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5. (2022·黄石期中) (1) 已知直线 y＝ 33x－1 的倾斜角为 α，另一条直线 l 的倾斜角 β＝2α， 且过点 M(2，－1)，求直线 l 的方程； (2) 已知直线 l 过点 P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为 4， 求直线 l 的方程．
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【答案】 ABC
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4. (2022·无锡一中期中)经过点( 3，1)且倾斜角为π3的直线方程为 ________.
【解析】 因为直线过点( 3，1)且倾斜角为π3，所以直线的斜率 k＝tanπ3 ＝ 3，故直线的方程为 y－1＝ 3(x－ 3)，即 3x－y－2＝0.
【答案】 3x－y－2＝0
例3 已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.试讨论： (1) l1∥l2的条件是什么？ (2) l1⊥l2的条件是什么？ 【解析】 (1) 若l1∥l2, 则k1＝k2，此时l1，l2与y轴的交点不同， 即 b1≠b2； 反之，若k1＝k2，且b1≠b2，则l1∥l2. (2) 若l1⊥l2，则k1k2＝－1； 反之，若k1k2＝－1，则l1⊥l2.
活动一 探究直线的点斜式方程
知识回顾： (1) 直线倾斜角、斜率的定义： 【解析】 略 (2) 直线斜率与倾斜角的关系： 【解析】 略 (3) 直线斜率及倾斜角对直线方向变化的影响： 【解析】 略
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探究： 问 题 1 ： 如 果 直 线 l 经 过 点 A( － 1,3) ， 斜 率 为 － 2 ， 点 P 在 直 线 l 上 运 动，那么点P的坐标(x，y)满足什么条件？ 【解析】 当点 P(x，y)在直线 l 上运动时(除点 A 外)，点 P 与定点 A(－ 1,3)所确定的直线的斜率恒等于－2，所以由斜率公式，得 k＝x－y－－31＝ －2，即点 P 的坐标(x，y)满足 y＝－2x＋1.
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思考5►►► “截距”与“距离”有何区别？ 【解析】 “截距”的值有正、负、零，是实数，而“距离”一定是 非负数．
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思考6►►► (1) 观察方程y＝kx＋b，它的形式具有什么特点？ 【解析】 方程y＝kx＋b与我们学过的一次函数表达式类似．
(2) 你如何从直线方程的角度认识一次函数y＝kx＋b？一次函数中k 和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y＝2x－1，y＝3x，y＝－x＋3 图象的特点吗？
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1. (2022·福州八县市协作校期中联考)直线 l：x＋ 3y－3＝0 的倾斜角
α 为( )
π A. 6
2π B. 3
π
5π
C. 3D. 6【解析】由题意，得直线l
的斜率
k＝－
1 ＝－ 3
33，即
tanα＝－
3 3.
又 α∈[0，π)，所以 α＝56π.
【答案】 D
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2. 以A(2，－5)，B(4，－1)为端点的线段的垂直平分线的方程是
() A. 2x－y＋9＝0 C. 2x－y－9＝0
B. x＋2y－3＝0 D. x＋2y＋3＝0
【解析】 由点 A(2，－5)，B(4，－1)，得线段 AB 的中点坐标为 P(3，
－3)．又由斜率公式可得 kAB＝－14－－－2 5＝2，所以线段 AB 的垂直平分
结论： (1) 直线的方程： 【解析】 直线上的点的坐标都是某方程的解，该方程为直线的方 程． (2) 直线的点斜式方程：
【解析】 y－y1＝k(x－x1)
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思考3►►► (1) 当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程是什么？为什么？当直线 l的倾斜角为90°时，直线l的方程如何表示？为什么？ 【解析】 当直线l的倾斜角为0°时，tan0°＝0，即k＝0，这时直线 l与x轴平行或重合，直线l的方程是y－y0＝0，即y＝y0.当直线l的倾斜角为 90°时，由于tan90°无意义，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重 合，它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都 等于x0，所以它的方程是x－x0＝0，即x＝x0.
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例1 直线l经过点P0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方 程，并画出直线l.
【解析】 直线l经过点P0(－2,3)，斜率k＝tan45°＝1，代入点斜式 方程，得y－3＝x＋2.
画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1，y1)，例如，取x1＝－1， 则y1＝4，得点P1的坐标为(－1，4)，过P0，P1两点的直线即为所求，如 图所示．
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【解析】 (1) 因为已知直线的斜率为 33，即 tanα＝ 33， 所以 α＝30°， 所以直线 l 的斜率 k＝tan2α＝tan60°＝ 3. 又直线 l 过点(2，－1)， 所以直线 l 的方程为 y－(－1)＝ 3(x－2)， 即 3x－y－2 3－1＝0.
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(2) 显然，直线 l 与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形， 设直线 l 的斜率为 k，且 k≠0，则直线 l 的方程为 y－3＝k(x＋2)． 令 x＝0，得 y＝2k＋3；令 y＝0，得 x＝－3k－2， 所以直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积为12|(2k＋3)－3k－2|＝4， 即(2k＋3)3k＋2＝±8， 解得 k＝－12或 k＝－92， 所以直线 l 的方程为 y－3＝－12(x＋2)或 y－3＝－92(x＋2)， 即 x＋2y－4＝0 或 9x＋2y＋12＝0.
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问题2：设直线l经过点P1(x1，y1)，斜率为k，则直线l上不同于点P1的 任意一点P(x，y)满足的方程是什么？
【解析】 由斜率公式，得 k＝xy－－xy11，即 y－y1＝k(x－x1)．
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思考2►►► 以这个方程的解为坐标的点是否都在直线l上？ 【解析】 若点 P2(x2，y2)的坐标 x2，y2 满足关系式 y－y1＝k(x－x1)， 则 y2－y1＝k(x2－x1)．当 x2＝x1 时，y2＝y1，这时点 P2 与 P1 重合，显然有 点 P1 在直线 l 上；当 x2≠x1 时，k＝xy22－－xy11，这表明过点 P1，P2 的直线 l1 的斜率为 k，因为直线 l，l1 的斜率都为 k，且都过点 P1，所以它们重合， 所以点 P2 在直线 l 上，因此以方程 y－y1＝k(x－x1)的解为坐标的点也都在 直线 l 上．
【解析】 一次函数y＝kx＋b，表示斜率为k，纵截距为b的直线．一 次函数中k不能为0，b可取任何值．y＝2x－1的图象与y轴交于点(0，－1)， 过第一、三、四象限；y＝3x的图象过原点，过第一、三象限；y＝－x＋ 3的图象与y轴交于点(0,3)，过第一、二、四象限．
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活动二 直线方程的简单应用
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思考4►►► 直线满足哪些条件时可直接利用点斜式写出直线方程？ 【解析】 直线斜率存在，并且知道直线的倾斜角和直线上的一点．
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例2 已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，求直线l的方 程．
【解析】 y＝kx＋b
定义： (1) 直线l与x轴交于点(a,0)，与y轴交于点(0，b)，称横坐标a为直线l 在x轴上的截距(横截距)，称纵坐标b为直线l在y轴上的截距(纵截距)． (2) 由直线l的斜率k和它在y轴上的截距b确定的方程y＝kx＋b，叫作 直线的斜截式方程，简称斜截式．
C. 2
D. 3
【解析】 b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，易知当直线y＝－2x
＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．当直线y＝－ 2x＋b过点A(－1，0)时，0＝－2×(－1)＋b，解得b＝－2；当直线y＝－ 2x＋b 过点B(1,0)时，0＝－2×1＋b，解得b＝2，所以b的取值范围是[－ 2,2]．故选ABC.
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思考1►►► 以所求方程的解为坐标的点是否都在直线l上？ 【解析】 若点 p′(x′，y′)的坐标满足方程 y＝－2x＋1，即 y′＝ －2x′＋1.当 x′＝－1 时，y′＝3，此时点 P′与点 A 重合，即点 P′在 直线 l 上；当 x≠－1 时，y′－3＝－2[x′－(－1)]，即xy－′－ －31＝－2，这 表明过点 P′，A 的直线 l1 的斜率为－2.因为直线 l，l1 的斜率都为－2， 且都过点 A，所以它们重合，从而点 P′在直线 l 上，因此以方程 y＝－ 2x＋1 的解为坐标的点也都在直线 l 上．
线的斜率为 k＝－k1AB＝－12，所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y－(－
3)＝－12(x－3)，即 x＋2y＋3＝0. 【答案】 D
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3. (多选)(2022·鄂州期中)设点A(－1,0)，B(1,0)，直线y＝－2x＋b与线
段AB相交，则b可取的值为( )
A. －1
B. 0
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例4 在同一平面直角坐标系中作出下列两组直线，分别说出这两组 直线有什么共同特征？
(1) y＝2，y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝3x＋2，y＝－3x＋2； (2) y＝2x，y＝2x＋1，y＝2x－1，y＝2x＋4，y＝2x－4. 【解析】 图略． (1) 这些直线在y轴上的截距都为2，它们的图象经过同一点(0,2)． (2) 这些直线的斜率都为2，它们的图象平行．
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(2) 直线的点斜式方程y＝k(x＋1)＋3能否表示经过点(－1,3)的所有直 线呢？
【解析】 不能，当斜率不存在时，无法使用点斜式表示． (3) 方程yx－ －31＝k 表示的几何图形是整条直线吗？ 【解析】 不是，该方程可化为y－3＝k(x－1)，但x≠1，即该方程表 示除点(1,3)外，斜率为k的直线部分．
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程
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1. 掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线的方 程．
2. 了解直线的斜截式方程与一次函数的关系． 3. 会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直 问题．
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5. (2022·黄石期中) (1) 已知直线 y＝ 33x－1 的倾斜角为 α，另一条直线 l 的倾斜角 β＝2α， 且过点 M(2，－1)，求直线 l 的方程； (2) 已知直线 l 过点 P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为 4， 求直线 l 的方程．
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【答案】 ABC
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4. (2022·无锡一中期中)经过点( 3，1)且倾斜角为π3的直线方程为 ________.
【解析】 因为直线过点( 3，1)且倾斜角为π3，所以直线的斜率 k＝tanπ3 ＝ 3，故直线的方程为 y－1＝ 3(x－ 3)，即 3x－y－2＝0.
【答案】 3x－y－2＝0
例3 已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.试讨论： (1) l1∥l2的条件是什么？ (2) l1⊥l2的条件是什么？ 【解析】 (1) 若l1∥l2, 则k1＝k2，此时l1，l2与y轴的交点不同， 即 b1≠b2； 反之，若k1＝k2，且b1≠b2，则l1∥l2. (2) 若l1⊥l2，则k1k2＝－1； 反之，若k1k2＝－1，则l1⊥l2.
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知识回顾： (1) 直线倾斜角、斜率的定义： 【解析】 略 (2) 直线斜率与倾斜角的关系： 【解析】 略 (3) 直线斜率及倾斜角对直线方向变化的影响： 【解析】 略
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探究： 问 题 1 ： 如 果 直 线 l 经 过 点 A( － 1,3) ， 斜 率 为 － 2 ， 点 P 在 直 线 l 上 运 动，那么点P的坐标(x，y)满足什么条件？ 【解析】 当点 P(x，y)在直线 l 上运动时(除点 A 外)，点 P 与定点 A(－ 1,3)所确定的直线的斜率恒等于－2，所以由斜率公式，得 k＝x－y－－31＝ －2，即点 P 的坐标(x，y)满足 y＝－2x＋1.
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思考5►►► “截距”与“距离”有何区别？ 【解析】 “截距”的值有正、负、零，是实数，而“距离”一定是 非负数．
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思考6►►► (1) 观察方程y＝kx＋b，它的形式具有什么特点？ 【解析】 方程y＝kx＋b与我们学过的一次函数表达式类似．
(2) 你如何从直线方程的角度认识一次函数y＝kx＋b？一次函数中k 和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y＝2x－1，y＝3x，y＝－x＋3 图象的特点吗？
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1. (2022·福州八县市协作校期中联考)直线 l：x＋ 3y－3＝0 的倾斜角
α 为( )
π A. 6
2π B. 3
π
5π
C. 3D. 6【解析】由题意，得直线l
的斜率
k＝－
1 ＝－ 3
33，即
tanα＝－
3 3.
又 α∈[0，π)，所以 α＝56π.
【答案】 D
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2. 以A(2，－5)，B(4，－1)为端点的线段的垂直平分线的方程是
() A. 2x－y＋9＝0 C. 2x－y－9＝0
B. x＋2y－3＝0 D. x＋2y＋3＝0
【解析】 由点 A(2，－5)，B(4，－1)，得线段 AB 的中点坐标为 P(3，
－3)．又由斜率公式可得 kAB＝－14－－－2 5＝2，所以线段 AB 的垂直平分