高考数学一轮复习 题组层级快练4(含解析)

题组层级快练(四)
1．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( )
答案 C
解析 A 中0既是非负数又是非正数；B 中0又是偶数；D 中自然数也是整数，也是有理数． 2．对于集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则由下列图形给出的对应f 中，能构成从A 到B 的函数的是( )
答案 D
解析 对于B ，C 两图可以找到一个x 与两个y 对应的情形，对于A 图，当x ＝2时，在B 中找不到与之对应的元素．
3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图像过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2
－3x B ．g (x )＝3x 2
－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2
－2x
答案 B
解析 用待定系数法，设g (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图像过原点，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋
b ＋
c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝3
b ＝－2，
c ＝0，
∴g (x )＝3x 2
－2x ，选B.
4．已知a ，b 为实数，集合M ＝{b a
，1}，N ＝{a,0}，若f 是M 到N 的映射，f (x )＝x ，则a ＋b 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±1
答案 C
解析 由f (x )＝x ，知f (1)＝a ＝1.
∴f (b
a
)＝f (b )＝0，∴b ＝0. ∴a ＋b ＝1＋0＝1.
5．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x
，x ≤1，
－x ，x >1，若f (x )＝2，则x 等于( )
A ．log 32
B ．－2
C ．log 32或－2
D ．2
答案 A
解析 当x ≤1时，3x
＝2，∴x ＝log 32； 当x >1时，－x ＝2，∴x ＝－2(舍去)． ∴x ＝log 32.
6．(2015·江西吉安四校联考)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2
x ，
x 2
＋x －2 x ，
则f [
1
f
]的值为( )
A.
15
16 B.89 C ．－2716
D ．18
答案 A
解析 f (2)＝4，f [
1
f
]＝f (14)＝1－(14)2＝1516
.
7．已知f ：x →2sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B 的一个映射，若B ＝{0,1,2}，则A 中的元素个数最多为( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
答案 A
解析 ∵A ⊆[0,2π]，由2sin x ＝0，得x ＝0，π，2π；由2sin x ＝1，得x ＝π6，5π
6；由2sin x ＝2，
得x ＝π
2
.故A 中最多有6个元素．故选A.
8．图中的图像所表示的函数的解析式为( )
A ．y ＝3
2|x －1|(0≤x ≤2)
B ．y ＝32－3
2
|x －1|(0≤x ≤2)
C ．y ＝3
2－|x －1|(0≤x ≤2)
D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2) 答案 B
解析 当x ∈[0,1]时，y ＝32x ＝32－32(1－x )＝32－32|x －1|；当x ∈[1,2]时，y ＝32－01－2(x －2)＝－3
2x ＋3
＝32－32(x －1)＝32－32|x －1|.因此，图中所示的图像所表示的函数的解析式为y ＝32－3
2
|x －1|. 9．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出
则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________． 答案 1,2
10．(2015·河南洛阳统考)设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (1
2)log 2x ，则f (2)＝________.
答案 32
解析 由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋1
2×log 22
＝3
2
. 11．已知集合M ＝{－1,1,2,4}，N ＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y ＝x 2
，②y ＝x ＋1，③y ＝2x
，④y ＝log 2|x |.其中能构成从M 到N 的函数的是________．
答案 ④
解析 对于①，②，M 中的2,4两元素在N 中找不到象与之对应，对于③，M 中的－1,2,4在N 中没有象与之对应．
12．已知f (x －1x )＝x 2
＋1x
2，则f (3)＝______.
答案 11
解析 ∵f (x －1x )＝(x －1x
)2
＋2，
∴f (x )＝x 2＋2(x ∈R )，∴f (3)＝32
＋2＝11.
13．已知x ∈N *
，f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
－35，x ≥3，f x ＋，x <3，其值域设为D .给出下列数值：－26，－1,9,14,27,65，
则其中属于集合D 的元素是________．(写出所有可能的数值)
答案 －26,14,65
解析 注意函数的定义域是N *
，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f (3)＝9－35＝－26，f (4)＝16－35＝－19，f (5)＝25－35＝－10，f (6)＝36－35＝1，f (7)＝49－35＝14，f (8)＝64－35＝29，f (9)＝81－35＝46，f (10)＝100－35＝65.故正确答案应填－26,14,65.
14．函数f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋cx ＋d 的部分数值如下表：
则函数y 答案 (－1,1)∪(2，＋∞)
解析 结合三次函数的图像和已知表可知f (x )＞0的解集为(－1,1)∪(2，＋∞)，即为y ＝lg f (x )的定义域．
15．设函数f (x )＝⎩⎨
⎧
－x －1，x ≤0，
x ，x >0.
若f (x 0)>1，则实数x 0的取值范围是________．
答案 (－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析 当x 0≤0时，由－x 0－1>1，得x 0<－2. ∴x 0<－2；当x 0>0时，由x 0>1，得x 0>1. ∴x 0的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．
16．(2015·衡水调研卷)具有性质：f (1
x
)＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列
函数：
①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1
x ；③y ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ，0<x <1，
0，x ＝1，－1
x
，x >1.
其中满足“倒负”变换的函数是________． 答案 ①③
解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f (1x )＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f (1x )＝1
x
＋x ＝f (x )，不满足；
对于③，f (1
x
)＝⎩⎪⎨⎪⎧
1
x ，0<1
x <1，
0，1
x ＝1，
－x ，1x >1，
即f (1
x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1
x ，x >1，0，x ＝1，
－x ，0<x <1.
故f (1
x
)＝－f (x )，满足．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
17．一个圆柱形容器的底面直径为d cm ，高度为h cm ，现以S cm 3
/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y (cm)与注入时间t (s)的函数关系式及定义域．
答案 y ＝4S πd 2·t ，t ∈[0，
πhd
2
4S
] 解析 依题意，容器内溶液每秒升高4S
πd 2 cm.
于是y ＝4S
πd
2·t .
又注满容器所需时间h ÷(4S πd 2)＝πhd
2
4S (秒)，
故函数的定义域是t ∈[0，πhd
2
4S
]．
18．(2015·四川泸州摸底)设集合A ＝{x |x ∈N ，且1≤x ≤26}，B ＝{a ，b ，c ，…，z}，对应关系f ：
A →
B 如下表(即1到26按由小到大顺序排列的自然数与按照字母表顺序排列的26个英文小写字母之间的
一一对应)：
又知函数g (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧log 2
－x ，22<x <32，x ＋4，0≤x ≤22，
若f [g (x 1)]，f [g (20)]，f [g (x 2)]，f [g (9)]所表示的字母依次排列恰好组成的英文单词为“exam”，求x 1＋x 2的值．
答案 31
解析 由题设知f [g (x 1)]＝e ，f [g (x 2)]＝a ，所以g (x 1)＝5，g (x 2)＝1.由log 2(32－x )＝5，得x ＝0(舍去)；由log 2(32－x )＝1，得x ＝30；由x ＋4＝5，得x ＝1；由x ＋4＝1，得x ＝－3(舍去)．所以x 1＋x 2
＝30＋1＝31.
1．若f (x ＋1x )＝x 2
＋1x
2＋1，则函数f (x )的解析式为( )
A ．f (x )＝x 2
－1 B ．f (x )＝x 2
－1(x ≥2) C ．f (x )＝x 2－1(x ≤－2) D ．f (x )＝x 2－1(x ≥2或x ≤－2) 答案 D
解析 因为f (x ＋1x )＝(x ＋1x
)2－1，所以f (x )＝x 2
－1，x ≥2或x ≤－2，选D.
2．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
c x ，x <A ，
c
A ，x ≥A
(A ，
c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是
( )
A ．75,25
B ．75,16
C ．60,25
D ．60,16
答案 D
解析 因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15①，所以必有4<A ，且c 4＝c
2
＝30②，联立①②解得c ＝60，A ＝16，故选D.
3．若定义x ⊙y ＝3x
－y ，则a ⊙(a ⊙a )等于( ) A ．－a B ．3a
C ．a
D ．－3a
答案 C
解析 由题意知：a ⊙a ＝3a
－a ，则a ⊙(a ⊙a )＝3a
－(a ⊙a )＝3a
－(3a
－a )＝a .选C. 4．对于函数f (n )＝
1＋－
n
2
(n ∈N *)，我们可以发现f (n )有许多性质，如：f (2k )＝1(k ∈N *
)等．下
列关于f (n )的性质中一定成立的是( )
A ．f (n ＋1)－f (n )＝1
B ．f (n ＋k )＝f (n )(n ∈N *
) C ．a f (n )
＝f (n ＋1)＋af (n )(a ≠0) D ．a
f (n ＋1)
＝a －(a ＋1)f (n )(a ≠0)
答案 C
解析 因为f (2k )＝1，f (2k ＋1)＝0(k ∈N *
)，所以f (n )＝1或0，f (n ＋1)＝0或1，因此f (n ＋1)－
f (n )＝±1，A 错误；当k 为奇数时，f (n ＋k )≠f (n )，B 错误；对于a f (n )与f (n ＋1)＋af (n )，不论n 为偶
数还是奇数均有a 1
＝0＋a 或a 0
＝1＋a ×0，C 正确；当n 为奇数时，a f (n ＋1)
＝a －(a ＋1)f (n )，当n 为偶数时，
等式不成立，故D 错误．
5.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图像大致是( )
答案 C
解析 函数在[0，π]上的解析式为
d ＝12＋12－2×1×1×cos l ＝2－2cos l ＝
4sin 2
l 2＝2sin l
2.
在[π，2π]上的解析式为d ＝2－π－l
＝2sin l 2，故函数的解析式为d ＝2sin l
2
，l ∈
[0,2π]．
点评 这类题目也是近年来的一个小热点．解决的基本方法有二：一是通过分析变化趋势或者一些特殊的点，采用排除法；二是求出具体的函数解析式．
6．设a 在映射f 下的象为2a
＋a ，则20在映射f 下的原象为________． 答案 4
解析 2a
＋a ＝20，当a ＝4时，24
＋4＝20. 又函数y ＝2x
＋x 为单调递增函数， ∴方程2a
＋a ＝20有且只有一个解4. ∴20在映射f 下的原象为4.
7．已知f (lg x )＝1
x
，则f (1)＝________.
答案
110
解析 f (1)＝f (lg10)＝1
10
.
8．如图所示，△AOB 是边长为2的正三角形，设直线x ＝t 截这个三角形所得到的位于此直线左方的图形的面积为y ，求函数y ＝f (t )的解析式．
解析 当t ∈[0,1]时，y ＝12t ·t ·tan60°＝32t 2
；
当t ∈(1,2]时，y ＝
34·22－12(2－t )2tan60°＝3－32
(2－t )2
， ∴y ＝f (t )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
3
2t 2
， t ∈[0，1]，
3－32
－t 2
， t ∈，2].。