2010—2014高考文科立体几何大题汇总—老师专用

2010—2014高考文科立体几何大题汇总
1.(2014年课标全国Ⅰ文.19) (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C 的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明：B1C⊥AB；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1的高．
分析：在第(1)问中，要证B1C⊥AB，应证明B1C与AB所在的某个平面垂直．结合已知条件知应考虑平面ABO.这是因为由BB1C1C为菱形可知B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，必有AO⊥B1C，即得证；在第(2)问中，三棱柱的高即为两底面ABC与A1B1C1之间的距离，可转化为点B1到平面ABC 的距离求解，又考虑到O为B1C的中点，因此可先求点O到平面ABC的距离，这时只需根据面面垂直的性质作出点O到平面ABC的垂线，结合已知即可求出点O到平面ABC的距离，从而可得三棱柱的高．
解：(1)连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.
又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO.
由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.
(2)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.
由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，
所以OH⊥BC.
又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.
因为∠CBB1＝60°，
所以△CBB1为等边三角形，
又BC ＝1，可得OD =
. 由于AC ⊥AB 1， 所以11122
OA B C =
=.
由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD =
=
14
OH =.
又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC .
故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为
7
. 2.(2014课标全国Ⅱ文.18) (本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．
(1)证明：PB ∥平面AEC ；
(2)设AP ＝1，AD =P －ABD 的体积V =
，求A 到平面PBC 的距离． 分析：在第(1)问中，欲证PB ∥平面AEC ，可根据线面平行的判定定理，只需在平面AEC 中找一条直线与PB 平行即可．又E 是PD 的中点，联想到三角形中位线定理，可找BD 的中点，又ABCD 为矩形，利用对角线互相平分从而可证．对于第(2)问，由已知棱锥P －ABD 的体积V 及AP ，AD 的长，可得底面矩形ABCD 的另一边AB 的长，欲求A 到平面PBC 的距离，可由A 向平面PBC 引垂线，关键是垂足的几何位置，再由条件知BC ⊥平面PAB ，故过A 作垂直于平面PBC 的垂线的垂足应在PB 上，而△PAB 为直角三角形，可利用等面积法求得斜边PB 上的高，从而求得答案． 解：(1)设BD 与AC 的交点为O ，连结EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．
又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .
(2)166V PA AB AD AB =
⋅⋅=，
由V =
，可得32
AB =. 作AH ⊥PB 交PB 于H ，
由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH . 故AH ⊥平面PBC .
又PA AB AH PB ⋅=
=
所以A 到平面PBC 3.(2014北京文.17) (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．
(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ；
(3)求三棱锥E －ABC 的体积．
分析：(1)首先利用侧棱垂直于底面得到BB 1⊥AB ，然后结合已知即可证得AB ⊥平面BCC 1B 1，最后利用面面垂直的判定定理即得结论．
(2)取AB 的中点G ，然后利用三棱柱的性质和三角形中位线性质可得GF 綉EC 1，进而转化为C 1F ∥EG ，最后利用线面平行的判定定理证得结论．
(3)先求出△ABC 的三边长，由已知可得该三棱锥的高等于AA 1，然后代入锥体体积公式即得结果． (1)证明：在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC .所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ， 所以AB ⊥平面B 1BCC 1. 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.
(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且1
2
FG AC =
. 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1. 所以四边形FGEC 1为平行四边形． 所以C 1F ∥EG .
又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .
(3)解：因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，
所以AB =
所以三棱锥E －ABC 的体积111112332ABC V S AA ∆=
⋅=⨯⨯=. 4.(2014福建文.19) (本小题满分12分)如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .
(1)求证：CD⊥平面ABD；
(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积．
分析：(1)线面垂直的证法有线线垂直与面面垂直两种，结合本题条件，可证明CD垂直于平面ABD
内的两条相交直线即可证得CD垂直于平面ABD.(2)三棱锥体积
1
3
V Sh
=，但要注意转换顶点和底面，
对于本题，可将S△ABM求出，高即为CD＝h，代入公式可求得，也可借助图中关系，利用V A－MBC＝V A－BCD－V M－BCD求得．
解法一：(1)∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
∴AB⊥CD.
又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.
(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，
∵AB＝BD＝1，∴
1
2
ABD
S
∆
=.
∵M是AD的中点，∴
11
24 ABM ABD
S S
∆∆
==.
由(1)知，CD⊥平面ABD，
∴三棱锥C－ABM的高h＝CD＝1，因此三棱锥A－MBC的体积
V A－MBC＝V C－ABM＝1
3ABM
S h
∆
⋅＝
1
12
.
解法二：(1)同解法一．
(2)由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，
如图，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ，
则MN ⊥平面BCD ，且1122
MN AB =
=. 又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，
∴1
2
BCD S ∆=
. ∴三棱锥A －MBC 的体积V A －MBC ＝V A －BCD －V M －BCD ＝
13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD ＝112
. 5.(2014重庆文.20) (本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，π3BAD ∠=
，M 为BC 上一点，且1
2
BM =.
(1)证明：BC ⊥平面POM ；
(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P －ABMO 的体积．
分析：先利用平面几何的方法，求出OB ，然后在△OBM 中，借助余弦定理求出OM 的值，运用勾股定理的逆定理，得出线线垂直，再结合已知条件，利用线面垂直的判定定理，得出BC ⊥平面POM ；在第(2)问中，充分利用第(1)问的结论，得到OA 的长度，然后分别在△POM ，△ABM ，△POA 中借助余弦定理得到关于PO 的方程，求出PO 的长度，再分别计算△AOB 与△OMB 的面积得出四边形ABMO 的面积，最后根据棱锥的体积公式求出四棱锥P －ABMO 的体积． (1)证明：如图，因ABCD 为菱形，O 为菱形中心，连结OB ，则AO ⊥OB .
因π3
BAD ∠=
， 故OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝π
2sin
6
＝1， 又因12BM =
，且π
3
OBM ∠=，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝2211π3
1()21cos 2234
+-⋅⋅⋅=.
所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM . 又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .
从而BC 与平面POM 内两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .
(2)解：由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝π
2cos
6
⋅=设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD 知，△POA 为直角三角形， 故PA 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3.
由△POM 也是直角三角形，故PM 2＝PO 2＋OM 2＝2
34
a +
. 连结AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝2
2
1
12π212()22cos 2
234
+-⋅⋅
⋅=. 由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形， 则PA 2＋PM 2＝AM 2，
即22
321
344
a a +
=++，得a =a =(舍去)，
即PO =
.
此时S ABMO＝S△AOB＋S△OMB
＝11
22
AO OB BM OM ⋅⋅+⋅⋅
＝111
1
22228
+⨯⨯=.
所以四棱锥P－ABMO的体积
115
·
338216 P ABMO ABMO
V S PO
-
=⋅=⨯=.
6.(2014广东文.18) (本小题满分13分)如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC
＝2.作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.
图1
图2
(1)证明：CF⊥平面MDF；
(2)求三棱锥M－CDE的体积．
(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，且PD⊂平面PCD，
∴平面PCD⊥面ABCD，交线为CD.
又∵四边形ABCD 为矩形，AD ⊥CD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴MD ⊥平面PCD . 又由于CF ⊂平面PCD ， ∴MD ⊥CF .
∵MF ⊥CF ，且MD ∩MF ＝M ， ∴CF ⊥平面MDF .
(2)解：∵MD ⊥平面PCD ，
∴V M －CDE ＝
13
·S △CDE ·MD . ∵CF ⊥平面MDF ，DF ⊂平面MDF ， ∴CF ⊥DF .
∵在Rt △PCD 中，CD ＝1，PC ＝2， ∴∠PCD ＝60°，且CD ＝1，
∴12CF =
，故13
222PF =-=. ∴32
MF =
.
又∵CF ⊥MF ，故利用勾股定理得：2
CM =
，
∴在Rt △MDC 中，2CM =
，CD ＝1，得2
DM =
又∵F 点位于CP 的四等分点，且PD =
∴E 为PD 的四等分点，故DE =
，
∴1112248
CDE S CD DE ∆=
⋅=⨯⨯=，
∴V M －CDE ＝
1
3
S △CDE ·DM ＝16.
7.(2014辽宁文.19) (本小题满分12分)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．
(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D －BCG 的体积． 附：锥体的体积公式1
3
V Sh
，其中S 为底面面积，h 为高． 分析：(1)由三角形全等证出AC ＝DC ，再由等腰三角形的性质(三线合一)得线线垂直，最后由线面垂直的判定定理及推论可证得结论．(2)由面面垂直得线面垂直，从而确定出点到平面的距离，即三棱锥G －BCD 的高，由等体积法可求三棱锥D －BCG 的体积． (1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC .
又G 为AD 中点，所以CG ⊥AD ； 同理BG ⊥AD ；因此AD ⊥面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥面BCG .
(2)解：在平面ABC 内，作AO ⊥CB ，交CB 延长线于O . 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥面BDC .
又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 距离h 是AO 长度的一半．
在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°
＝3， 所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝1
1131·sin 12033222
DBC S h BD BC ∆⋅=⋅⋅⋅⋅︒⋅=. 8.【2012高考新课标文19】（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，
AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点
(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.
【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥,BC ⊥AC ，,∴面, 又∵面，∴,
由题设知,∴=,即,
又∵, ∴⊥面, ∵面，
∴面⊥面；
1CC 1CC AC C ⋂=BC ⊥11ACC A 1DC ⊂11ACC A 1DC BC ⊥01145A DC ADC ∠=∠=1CDC ∠0901DC DC ⊥DC BC C ⋂=1DC BDC 1DC ⊂1BDC BDC 1BDC
C
B A D
C 1 A 1
（Ⅱ）设棱锥的体积为，=1，由题意得，==， 由三棱柱的体积=1，
∴=1:1， ∴平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1.
9.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分） 如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD.
（Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.
【答案】
【解析】（Ⅰ）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以
又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线，所以BD ⊥平面PAC ，
而PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥.
（Ⅱ）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，
所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而DPO ∠30=.
由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，知BD PO ⊥.
1B DACC -1V AC 1V 1121132+⨯⨯⨯12
111ABC A B C -V 11():V V V -1
BDC
在Rt POD 中，由DPO ∠30=，得PD=2OD.
因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC 均为等腰直角三角形，
从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222
AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 1(42)39.2
S =⨯+⨯=
在等腰三角形ＡＯＤ中，2
OD AD ==
所以2 4.PD OD PA ====
故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =
⨯⨯=⨯⨯=.
【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD ⊥平面PAC 即可，第二问由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由13
V S PA =⨯⨯算得体积. 10.【2012高考广东文18】如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12
DF AB =
，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；
（2）若1PH =，AD =1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；
（3）证明：EF ⊥平面PAB .
【解析】（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，
所以PH AB ⊥。

因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，
所以PH AD ⊥。

因为AB AD A =，
所以PH ⊥平面ABCD 。

（2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 。

因为E 是PB 的中点，
所以//EG PH 。

因为PH ⊥平面ABCD ，
所以EG ⊥平面ABCD 。

则1122
EG PH ==，
111332E BCF BCF V S EG FC AD EG -∆=
⋅=⋅⋅⋅⋅=12。

（3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME 。

因为E 是PB 的中点，
所以
1//2ME AB =。

因为1
//2DF AB =，
所以//ME DF =，
所以四边形MEDF 是平行四边形，
所以//EF MD 。

因为PD AD =，
所以MD PA ⊥。

因为AB ⊥平面PAD ，
所以MD AB ⊥。

因为PA AB A =，
所以MD ⊥平面PAB ，
所以EF ⊥平面PAB 。

11.【2012高考陕西文18】（本小题满分12分）直三棱柱ABC- A 1B 1C 1中，AB=A A 1 ，CAB ∠=2π
（Ⅰ）证明11B A C B ⊥;
（Ⅱ）已知AB=2，BC=5，求三棱锥11C A AB - 的体积
【解析】（Ⅰ）如图，连结,
是直三棱柱，=，1AB 111ABC A B C -CAB ∠2π
平面,故．
又，四边形是正方形，
，又， 平面，故．
（Ⅱ），，．
由（Ⅰ）知，平面，
S △·=． 12.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分) 如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=
，
AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。

(Ⅰ)证明：MN ∥平面//
A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥/
A MNC -的体积。

（椎体体积公式
V=13Sh,其中S 为地面面积，h 为高）
【命题意图】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。

【解析】（1）（法一）连结，由已知
三棱柱为直三棱柱， AC ∴⊥11ABB A 1AC BA ⊥1AB AA =∴11ABB A ∴11BA AB ⊥1CA
AB A =∴1BA ⊥1CAB 11CB BA ⊥12AB AA ==BC =∴111AC AC ==11A C ⊥1ABA ∴1113C ABA V -=1ABA 11A C 1
22133
⨯⨯=','AB AC =90,=BAC AB AC ∠︒-'''ABC ABC
所以为中点.又因为为中点 所以，又平面 平面，因此 ……6分
（法二）取的中点为P ，连结MP ，NP ，
∵分别为和的中点，
∴MP ∥,NP ∥,
∴MP ∥面,NP ∥面,
∵, ∴面MPN ∥面，
∵MN 面， ∴MN ∥面.
(Ⅱ)（解法一）连结BN ，由题意⊥,面∩面=, ∴⊥⊥面NBC ， ∵==1, ∴. (解法2) 【解析】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。

第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。

13.（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥
平面ABCD , .
M 'AB N ''BC
//'MN AC MN ⊄''AACC
'AC ⊂''AACC //''MN AACC 平面A B '',M N /A B //
B C AA 'A C ''A ACC ''A ACC ''MP NP P ⋂=A ACC ''⊂A ACC ''A ACC ''A N 'B C ''A B C '''B BCC ''B C ''A N 'A N '12
B C ''111226
A MNC N A MC N A BC A NBC V V V V ''''----====111226A MNC A NBC M NBC A NBC V V V V '''----==
==12AB AA ==
(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积.
【答案】解: (Ⅰ) 设.
.
.(证毕)
(Ⅱ) .
在正方形AB CD 中,AO = 1 .
. 所以,.
14．（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的
点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,
其中BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ;
(2) 证明:CF ⊥平面ABF ;
1
A 111O D
B 线段的中点为11111111//D B BD D
C B A ABC
D D B BD ∴-的对应棱是和 的对应线段
是棱柱和同理，111111D C B A ABCD O A AO - 为平行四边形四边形且且11111111//////OCO A OC O A OC O A OC AO O A AO ⇒=⇒∴1111111111//,.//B CD BD A O D B C O O BD O A C O O A 面面且⇒==⇒ 的高是三棱柱面ABD D B A O A ABCD O A -∴⊥11111 .111=∆O A OA A RT 中，在11)2(2
121111111=⋅⋅=⋅=-∆-O A S V ABD D B A ABD ABD D B A 的体积三棱柱1111111=--ABD D B A V ABD D B A 的体积三棱柱
(3) 当23
AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.
【答案】(1)在等边三角形ABC 中,AD AE =
AD AE DB EC ∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中
也成立,//DE BC ∴ ,DE ⊄平面BCF ,
BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;
(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,1
2BF CF ==
.
在三棱锥A BCF -中
,2BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面;
(3)由(1)可知//GE CF ,结合(2)可得GE DFG ⊥平面.
111111132323323324F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭
图 4
15.（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=.
(Ⅰ)证明:1
AB AC ⊥; (Ⅱ)若2AB CB ==
,1AC =求三棱柱111ABC A B C -的体积.
【答案】【答案】(I)取AB 的中点O,连接OC O 、1OA O 、1A B ,因为CA=CB,所以OC AB ⊥,由于AB=A A 1,∠BA A 1=600,故,AA B ∆为等边三角形,所以OA 1⊥AB.
因为OC ⨅OA 1=O,所以AB ⊥平面OA 1C.又A 1CC 平面OA 1C,故AB ⊥AC. (II)由题设知
12ABC AA B ∆∆与都是边长为的等边三角形，12AA B 都是边长为
的等边三角形，所以
22111
11.OC OA AC AC OA OA OC ===+⊥又，故 111111111,-3-= 3.ABC ABC OC AB O OA ABC OA ABC A B C ABC S A B C V S OA =⊥∆=⨯=因为所以平面，为棱柱的高，
又的面积，故三棱柱
ABC 的体积
16.（2013年高考安徽（文））如图,四棱锥P
ABCD -
的底面ABCD 是边长为2的菱形,60BAD ∠=.
已知2,PB PD PA === .
F
G
E
(Ⅰ)证明:PC BD ⊥
(Ⅱ)若E 为PA 的中点,求三菱锥P BCE -的体积.
【答案】解:
(1)证明:连接,BD AC 交于O 点
PB PD = PO BD ∴⊥
又 ABCD 是菱形 BD AC ∴⊥
而AC PO O ⋂= BD ∴⊥面PAC ∴BD ⊥PC (2) 由(1)BD ⊥面PAC
︒⨯⨯⨯==
45sin 32621
21PAC PEC S S △△=32
236=⨯
⨯ 1111
32322
P BEC B PEC PEC V V S BO --∆==
⋅⋅=⨯⨯= 17．（2013东莞一模）如图，平行四边形中，，，且，正方形
和平面垂直，是的中点．
ABCD 1=CD
60=∠BCD CD BD ⊥ADEF ABCD H G ,BE DF ,
（1）求证：平面；
（2）求证：∥平面； （3）求三棱锥的体积．
【解析】（1）证明：平面平面，交线为，
∵，
∴， ∴．
又， ∴．
（2）证明：连接，则是的中点，
∴中，， 又， ∴， ∴平面．
（3）设中边上的高为，
依题意：
， ∴ ．
即：点到平面的距离为
， ∴． 18.（2012辽宁高考) 如图，直三棱柱 中，，，，
点分别为和的中点．
BD ⊥CDE GH CDE D CEF -ADEF ⊥ABCD AD AD ED ⊥ABCD ED 平面⊥BD ED ⊥ CD BD ⊥CDE BD 平面⊥EA G AE EAB ∆AB GH // CD AB ////GH CD //GH CDE BCD Rt ∆BC h 312
1
221⋅⋅=⋅⋅h 23=h C DEF 2
3
3
323222131=⋅⋅⋅⋅=
=--DEF C CEF D V V 111ABC A B C -90BAC ∠=2AB AC ==11AA =,M N 1A B 11B C A C
A 1
B 1
C 1
M
N
(1)证明：∥平面；
(2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）连结，，
∵在直三棱柱 中，四边形为平行四边形， ∵为的中点，∴为中点． ∵为的中点，∴∥，
∵平面,平面,∴∥平面． (2)连结，∵,∴, ∵为的中点，∴,
平面平面，平面平面,
∴平面，
∵, ∴． 19.（2011年陕西文）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC=90°。

（1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ； （2 ）设BD=1，求三棱锥D —ＡＢＣ的表面积。

【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）充分利用垂直所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算．
MN 11A ACC 1A MNC -1AB 1AC 111ABC A B C -11ABB A M 1A B M 1AB N 11B C MN 1AC MN ⊄11A ACC 1AC ⊂11A ACC MN 11A ACC BN AB AC =1111A B AC =N 11B C 111A N B C ⊥111A B C ⊥11B BCC 111A B C 1111B BCC B C =1A N ⊥NBC 1111
12
A N
B
C =
=1112A MNC B MNC M NNC A NBC V V V V ----===
111111(21)123626
NBC S A N ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=
【解】（1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，
∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD ⊥ＤＣ，AD ⊥ＤＢ， 又DB ⋂ＤＣ＝Ｄ，
∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD 平面BDC.
∴平面ABD ⊥平面BDC ．
（2）由（1）知，DA DB ⊥,DB DC ⊥,DC DA ⊥,
DB=DA=DC=1，
∴AB=BC=CA=
2,
1111,22
DAM
DBC
DCA
S
S
S
===⨯⨯= 13
22sin 6022
ABC
S
=⨯⨯⨯︒= ∴三棱锥D —ＡＢＣ的表面积是1333
3.222
S +=⨯+=
20.（2011年全国新课标文）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．
（I ）证明：PA BD ⊥；
（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．
（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=， 由余弦定理得3BD AD =
从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD
（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E ．已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC ．由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC//AD ，所以BC ⊥BD ．
故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE ． 则DE ⊥平面PBC ．
由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，
根据BE·PB=PD·BD ，得DE=
2
3
， 即棱锥D —PBC 的高为
.2
3 21.（2010陕西文数）(本小题满分12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形PA ⊥平面ABCD ，
AP =AB ，BP =BC =2，E ，F 分别是PB ,PC 的中点.
(Ⅰ)证明：EF ∥平面PAD ； (Ⅱ)求三棱锥E —ABC 的体积V.
解 (Ⅰ)在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC . 又BC ∥AD ,∴EF ∥AD ,
又∵AD 平面PAD ,E F 平面PAD ,
∴EF ∥平面PAD .
(Ⅱ)连接AE ,AC,EC ,过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ,
则BG ⊥平面ABCD ,且EG =
PA .
在△PAB 中，AD =AB ,PAB °,BP =2,∴AP =AB ,EG =
. ∴S △ABC =
AB ·BC =×, ∴V E-AB C =
S △ABC ·EG =×=.
⊄⊄1
2
∠222
121
2
22131
3
22213
A
B
C
D
E
F
H
22.（2010安徽文数）19.(本小题满分13分)
如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为
BC 的中点，
(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB; （Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB; （Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；
【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和
运算能力.
【解题指导】（1）设底面对角线交点为G ，则可以通过证明EG ∥FH ，得∥平面；
（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH ⊥平面ABCD ，得FH ⊥BC ，FH ⊥AC ，进而得EG ⊥AC ，平面；（3）证明BF ⊥平面CDEF ，得BF 为四面体B-DEF 的高，进而求体积.
FH EDB AC ⊥EDB (1),1
//
,21
//,2
////AC BD G G AC EG GH H BC GH AB EF AB EFGH EG FH EG EDB FH EDB ∴∴⊂∴证：设与交于点，则为的中点，连，由于为的中点，故又四边形为平行四边形
，而平面，平面
【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积.
23.（2010山东文数）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，、、
分别为、、的中点，且.
（I ）求证：平面平面；
（II ）求三棱锥与四棱锥的体积之比.
ABCD MA ⊥ABCD //PD MA E G F MB PB PC 2AD PD MA ==EFG ⊥PDC P MAB -P ABCD -
24.（2010山东理数）（19）（本小题满分12分）
如图，在五棱锥P —ABCDE 中，PA ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ，AC ∥ED ，AE ∥BC ， ABC =45°，AB
=2，BC =2AE =4，三角形PAB 是等腰三角形． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P —ACDE 的体积．
【解析】（Ⅰ）证明：因为ABC =45°，AB =2
，BC =4，所以在中，由余弦定理得：
，解得，
所以，即，又PA ⊥平面ABCDE ，所以PA ⊥， 又PA ，所以，又AB ∥CD ，所以，又因为
，所以平面PCD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD ⊥平面PAC ，所以在平面PAC 内，过点A 作于H ，则
∠2∠2ABC ∆222AC =(22)+4-2224cos 45=8⨯⨯AC=222
2
2
AB +AC =8+8=16=BC AB AC ⊥AB AC A ⋂=AB AC ⊥平面P AC CD ⊥平面P CD CD ⊂平面P AH C ⊥P
，又AB ∥CD ，AB 平面内，所以AB 平行于平面，所以点A 到平面的
距离等于点B 到平面的距离，过点B 作BO ⊥平面于点O ，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线PB 与平面PCD 所成角的大小为； （Ⅲ）由（Ⅰ）知，所以，又AC ∥ED ，所以四边形ACDE 是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE 的面积为，所以四棱锥P —ACDE
的体积为=。

AH CD ⊥平面P ⊄CD P CD P CD P CD P CD P PBO ∠AH=BO AH=21
sin PBO=
2
∠PBO ∠3030AC CD ⊥平面P AC CD
⊥DE
=
1
32
=（
133
⨯。