2017深圳市高三一模数学试卷(文科)
2017届高考数学仿真卷：文科数学试卷(2)(含答案解析)
2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。
2017年广东省深圳市第一次调研数学文科
绝密★启用前 试卷类型：A2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科） 2011.3本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考结论：若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为13V Sh =．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0 1 2A =，，，集合{}2B x x =>，则AB =A ．{}2B ．{}0 1 2，，C ．{}2x x >D ．∅2．复数34i i +()（其中i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．双曲线2214y x -=的渐近线方程为A ．1x =±B ．2y =±C ．2y x =±D ．2x y =±4．已知:p 直线1:10l x y --=与直线2:20l x ay +-=平行，:1q a =-，则p 是q 的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设数列{}1n -()的前n 项和为n S ，则对任意正整数n ，n S =A ．112n n ⎡⎤--⎣⎦()B ．1112n --+()C ．112n -+()D ．112n --()6．如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ += A ．OH B ．OG C ．FO D ．EO7．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数2sin 24f x x π=+()()，sin 23g x x π=+()()，cos 6h x x π=-()()的部分图象（如图），则 A ．a 为f x ()，b 为g x ()，c 为h x ()F EPGOQH频率组距月收入（元）0.00050.00040.00030.00020.00014000350030002500200015001000B ．a 为h x ()，b 为f x ()，c 为g x () C ．a 为g x ()，b 为f x ()，c 为h x () D ．a 为h x ()，b 为g x ()，c 为f x ()8．已知圆面2221C x a y a -+≤-:()的面积为S ，平面区域24D x y +≤:与圆面C 的公共区域的面积大于12S ，则实数a 的取值范围是 A ．() 2-∞， B ．(] 2-∞， C ．()() 1 1 2-∞-，，D ．()(] 1 1 2-∞-，， 9．如图所示程序框图，其作用是输入空间直角坐标平面中一点 P a b c ()，，，输出相应的点 Q a b c ()，，．若P 的坐标为2 3 1()，，，则 P Q ，间的距离为 （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=” ）A ．0B ．2C ．6D ．2210．若实数t 满足f t t =-()，则称t 是函数f x ()的一个次不动点．设函数ln f x x=()与函数e x g x =()（其中e 为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m ，则 A ．0m < B ．0m = C ．01m << D ．1m >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 11．某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）．为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在2500 3000[，)（元）段应抽出 人．12．已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如下，则它的左(侧)视图的面积是 ．1 1是 否_ 结束开始 输入P （a ,b ,c ）a>b ? a>c ?b>c ?输出Q （a ,b ,c ）是 是 否否e=aa=b b=e e=a a=c c=e e=b b=c c=e13．已知y 与100x x ≤()之间的部分对应关系如下表：x11 12 13 14 15 … y297 148 295 147 293…则x 和y 可能满足的一个关系式是 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分． 14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中， P Q ，是曲线C :4sin ρθ=上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为 ．15．（几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于 A B ，的点，CD AB ⊥，垂足为D ，已知2AD =，43CB =，则CD = ．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量4 2cos 52b α=(，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边，若2222b c a bc +-=，求tan A α+()的值．17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB =，平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM AB =，DM DC =，SM AD ⊥．（1）证明：BM ⊥平面SMC ；（2）设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分别为1V 与V ，求1V V的值．18．（本小题满分14分）已知函数313f x x ax b =-+()，其中实数 a b ，是常数． （1）已知{}0 1 2a ∈，，，{}0 1 2b ∈，，，求事件A “10f ≥()”发生的概率；（2）若f x ()是R 上的奇函数，g a ()是f x ()在区间[]11-，上的最小值，求当1a ≥时g a ()的解析式．C DOEMSDCBA A BCD O19．（本题满分12分）如图，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．20．（本题满分14分）已知椭圆222210x y C a b a b +=>>:()的左焦点F 及点0 A b (，)，原点O 到直线FA 的距离为22b ． （1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．21．（本小题满分14分）设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ．（1）已知11a =，2d =，（ⅰ）求当n ∈N *时，64n S n +的最小值； （ⅱ）当n ∈N *时，求证：132********n n n S S S S S S +++++<； （2）是否存在实数1a ，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在，则求1a 的取值范围；若不存在，则说明理由．2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分50分． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 DBCADCBCCB5. 数列{}(1)n-是首项与公比均为1-的等比数列.6. ,a OP OQ =+利用平行四边形法则做出向量OP OQ +，再平移即发现. .a FO =7．从振幅、最小正周期的大小入手：b 的振幅最大，故b 为()f x ；a 的最小正周期最大，故a 为(),h x 从而c 为()g x .8. 圆面222:()1C x a y a -+≤-的圆心(,0)a 在平面区域:24x y +<内,23则210(,1)(1,2).204a a a ⎧->⇔∈-∞-⎨+<⎩9. 程序框图的作用是将三个实数按从小到大的顺序排列，若(2,3,1)P ，则(1,2,3)Q . 10.画图即知:函数ln y x =的图象与直线y x =-有唯一公共点(,),t t -e ln().x x x x x t =-⇔=-⇔=- 故两个函数的所有次不动点之和()0.m t t =+-=或利用函数ln y x =的图象与函数e x y =的图象关于直线y x =对称即得出答案.二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分． 11．25. 12．. 23 13．(108)2y x -=． 14．4． 15．23. 第13题写或不写100x ≤都可以，写成如2108y x=-等均可.11. 画出左(侧)视图如图,其面积为2 3. 12.每个个体被抽入样的概率均为100110000100=，在)3000,2500[内的频率为 0.0005×（3000－2500）＝0.25，频数为10 000×0.25＝2 500人，则该范围内应当抽取的人数为2 500×1001＝25人. 13. 将各11 ,12,13,14,15对应的函数值分别写成297,296,295,294,293, 分母成等差数列,可知分母11(11)(1)9711108.n a a n n n =+--=-+=- 14. 最长线段PQ 即圆22(2)4x y +-=的直径. 15. 根据射影定理得222(43)(2)6,12.CB BD BA BD BD BD CD AD BD =⨯⇔=+⇔==⨯=三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量4 2cos 52b α=(，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边，若2222b c a bc +-=，求tan A α+()的值．【命题意图】本题主要考查向量的数量积、二倍角公式、同角间三角函数关系、余弦定理、两角和的正切公式等基础知识，以及运算求解能力.解: (1)(1,sin)2a α=-,4(,2cos ),52b α=a b ⊥ 42s i nc o s 0,522a b αα∴⋅=-+=即4sin .5α=……………………3分α为第二象限角,23sin 4cos 1sin ,tan .5cos 3ααααα∴=--=-==- ………………………6分(2) 在ABC ∆中,2222,b c a bc +-=2222cos .22b c a A bc +-∴== …………………………………………9分(0,π)A ∈, π,tan 1,4A A ∴== ……………………11分 tan tan 1tan().1tan tan 7A A A ααα+∴+==-- ……………………14分17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB =，平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM AB =，DM DC =，SM AD ⊥．（1）证明：BM ⊥平面SMC ；别为1V 与V ，（2）设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分求1V V的值．【命题意图】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.（1） 证明: 平面SAD ⊥平面ABCD ,平面SAD 平面ABCD AD =,SM ⊂平面SAD ，SM AD ⊥SM ∴⊥平面ABCD ,…………………1分 BM ⊂平面,ABCD.SM BM ∴⊥ …………………2分四边形ABCD 是直角梯形，AB //CD ,,AM AB =,DM DC =,MAB MDC ∴∆∆都是等腰直角三角形,45,90,.AMB CMF BMC BM CM ∴∠=∠=︒∠=︒⊥………………4分 SM ⊂平面SMC ，CM ⊂平面SMC ，SMCM M =,MSDC BABM ∴⊥平面SMC …………………………………………6分（2） 解: 三棱锥C SBM -与三棱锥S CBM -的体积相等,由( 1 ) 知SM ⊥平面ABCD , 得1113211()32SM BM CMV V SM AB CD AD ⨯⨯=⨯+⨯,……………………………………………9分设,AB a =由3CD AB =,,AM AB =,DM DC = 得3,2,32,4,CD a BM a CM a AD a ====从而12323.(3)48V a a V a a a ⨯==+⨯ ……………………………12分18．（本小题满分14分）已知函数313f x x ax b =-+()，其中实数 a b ，是常数． （1）已知{}0 1 2a ∈，，，{}0 1 2b ∈，，，求事件A “10f ≥()”发生的概率；（2）若f x ()是R 上的奇函数，g a ()是f x ()在区间[]1 1-，上的最小值，求当1a ≥时g a ()的解析式．【命题意图】本小题主要考查古典概型、函数的奇偶性与零点、导数、解不等式等知识, 考查化归与转化、分类列举等数学思想方法，以及运算求解能力.解：(1) 当{}{}0,1,2,0,1,2a b ∈∈时，等可能发生的基本事件(,)a b 共有9个：(00)(01)(02),(10)(11)(12)(20)(21)(22).，，，，，，，，，，，，，，，，…………………………4分其中事件A “1(1)03f a b =-+≥”，包含6个基本事件： (00)(01)(02)(11)(12)(22).，，，，，，，，，，， …………………………4分故62()93P A ==．…………………………6分 答：事件“(1)0f ≥”发生的概率23.………………7分(2) 31(),3f x x a x b =-+是R 上的奇函数，得(0)0,0.f b ==………………8分 ∴31(),3f x x ax =- 2()f x x a '=-, ………………………9分① 当1a ≥时，因为11x -≤≤，所以()0f x '≤，()f x 在区间[]1,1-上单调递减， 从而1()(1)3g a f a ==-；……………………11分 ② 当1a ≤-时，因为11x -≤≤，所以()0f x '>，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，从而1()(1)3g a f a =-=-+. ……………………13分 综上，知1,13().1,13a a g a a a ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩……………………14分 19．（本题满分12分）如图，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．【命题意图】本小题主要考查二次函数的切线、最值等知识，考查坐标思想、数形结合、化归与转化等数学思想方法，以及将实际问题转化为数学问题的能力.解法一：以O 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC 的方程为2(02)y ax x =≤≤ ∵点C 的坐标为(2,1)，∴221a =，14a =故边缘线OC 的方程为21(02)4y x x =≤≤. ……4分 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为21(,)(02)4P t t t <<，∵12y x '=，∴直线EF 的的方程可表示为211()42y t t x t -=-，即21124y tx t =-，…………6分 由此可求得21(2,)4E t t -，21(0,)4F t -.∴2211|||(1)|144AF t t =---=-，2211|||()(1)|144BE t t t t =---=-++，…8分设梯形ABEF 的面积为()S t ，则[]1()||||||2S t AB AF BE =⋅+2211(1)(1)44t t t =-+-++2122t t =-++ A B C D O FEABCDOF Exy P2155(1)222t =--+≤. ……………………………………………………………10分∴当1t =时，5().2S t =，故()S t 的最大值为2.5. 此时||0.75,|| 1.75AF BE ==.………11分答：当0.75m, 1.75m AF BE ==时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为22.5m . ………………………………………………………………………12分解法二：以A 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC 的方程为21(02)y a x x =+≤≤ ∵点C 的坐标为(2,2)， ∴2212a +=，14a = 故边缘线OC 的方程 为211(02)4y x x =+≤≤. ………4分 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为21(,1)(02)4P t t t +<<，∵12y x '=，∴直线EF 的的方程可表示为2111()42y t t x t --=-，即211124y tx t =-+，…6分 由此可求得21(2,1)4E t t -+，21(0,1)4F t -+.∴21||14AF t =-，21||14BE t t =-++，……………7分设梯形ABEF 的面积为()S t ，则[]1()||||||2S t AB AF BE =⋅+2211(1)(1)44t t t =-+-++2122t t =-++ 2155(1)222t =--+≤. ……………………………………………………………10分∴当1t =时，5().2S t =，故()S t 的最大值为2.5. 此时||0.75,|| 1.75AF BE ==.………11分答：当0.75m, 1.75m AF BE ==时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为22.5m . ………………………………………………………………………12分20．（本题满分14分）已知椭圆222210x y C a b a b+=>>:()的左焦点F 及点0 A b (，)，原点O 到直线FA 的距离为22b ． （1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程与简单几何性质、点关于直线对称等知识，考查数形结合、方程等数学思想方法，以及运算求解能力.解：(1)由点(,0)F ae -，点(0,)A b 及21b e a =-得直线FA 的方程为211x y ae e a+=--，即22110e x ey ae e --+-=，…………………2分 ∵原点O 到直线FA 的距离为22122e b a-=， ∴2222112,.221ae e e a e e e--==-+………………………………………5分故椭圆C 的离心率22e =. …………………………………7分(2) 解法一：设椭圆C 的左焦点F 2(,0)2a -关于直线:20l x y +=的对称点为00(,)P x y ，则有00001,2222220.22y x a x a y ⎧=⎪⎪+⎪⎨⎪-⎪⋅+=⎪⎩ …………………………………………10分 解之，得003242,1010x a y a ==.P 在圆224x y +=上∴223242()()41010a a +=， ∴22228,(1) 4.a b e a ==-=……………………………………13分故椭圆C 的方程为22184x y +=, 点P 的坐标为68(,).55………………………………………14分解法二：因为F 2(,0)2a -关于直线l 的对称点P 在圆O 上，又直线:20l x y +=经过 圆22:4O x y +=的圆心(0,0)O ,所以F 2(,0)2a -也在圆O 上, ………9分从而222()042a -+=，22228,(1) 4.ab e a ==-= ………………………10分 故椭圆C 的方程为22184x y +=. ………………………………………11分 (2,0)F -与00(,)P x y 关于直线l 的对称,00001,22220.22y x x y ⎧=⎪+⎪∴⎨-⎪⋅+=⎪⎩ …………………………………………12分 解之，得0068,55x y ==.…………………………………………13分 故点P 的坐标为68(,).55………………………………………14分21．（本小题满分14分）设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ．（1）已知11a =，2d =，（ⅰ）求当n ∈N *时，64n S n+的最小值； （ⅱ）当n ∈N *时，求证：132********n n n S S S S S S +++++<； （2）是否存在实数1a ，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在，则求1a 的取值范围；若不存在，则说明理由．【命题意图】本小题主要考查等差数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力.(1) (ⅰ) 解: 11,2,a d == 21(1),2n n n d S na n -∴=+=646464216,n S n n n n n+=+≥⨯= 当且仅当64,n n =即8n =时,上式取等号. 故64n S n+的最大值是16.……………………………………………………4分 (ⅱ) 证明: 由(ⅰ)知2n S n =，当n ∈N *时,2222211111(2)4(2)n n n n S S n n n n +⎡⎤++==-⎢⎥++⎣⎦，……6分222222132422311111111114134244(2)n n n S S S S S S n n +⎡⎤+⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 2222222111111111412435(1)(2)n n n ⎡⎤⎛⎫=+++-++++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦222211111,412(1)(2)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦……………………………………8分 22110,(1)(2)n n +>++ 22132422311115().41216n n n S S S S S S ++∴+++<+<……………………………………9分 (2)对n ∀∈N *,关于m 的不等式1(1)m a a m d n =+-≥的最小正整数解为32n c n =-， 当1n =时，111(1)1a c d a +-=≥；……………………10分当2n ≥时，恒有11(1)(2)n n a c d n a c d n +-≥⎧⎨+-<⎩，即11(31)(3)0(31)(4)0d n a d d n a d -+-≥⎧⎨-+-<⎩, 从而111310(31)2(3)014,1.31033(31)2(4)0d d a d d a d d a d -≥⎧⎪-⨯+-≥⎪⇔=≤<⎨-≤⎪⎪-⨯+-<⎩……………………12分 当114,133d a =≤<时,对n ∀∈N *,且2n ≥时, 当正整数n m c <时, 有1111.33n c m a a n --+<+<……………………13分 所以存在这样的实数1a ,且1a 的取值范围是41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.……………………14分。
【高三数学试题试卷】数学文卷·2017届广东省深圳市高三上学期第一次三校联考
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则( )A. B.C. D.2.是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 复数的共轭复数为( )A ．B ．C ．D ．4. 对于函数（），选取的一组值计算、，所得出的正确结果可能是( )A ．和B ．和C ．和D ．和5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ．B ．C ．D ．6. 将函数的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．B ．C．D．7. 已知当时，；当时，且.若对任意，都有成立，则的取值范围是( )A. B. C. D.8. 已知是第一象限角，满足，则( )A. B. C. D.9. 已知，则在定义域上的最小值为( )A. B. C. D.10. 若满足约束条件则的最小值为( )A. B. C. D.11. 设函数的图象如右图，则满足( )A．B．C．D．12. 若是定义在上的单调函数，且对任意，则方程的解所在区间是( )A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13. 已知平面向量且，则.14. 曲线(其中为自然对数的底数)在点处的切线方程是_________.15. 设当时，函数取得最大值，则.16. 若定义在上的函数满足且，则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为_________.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)在中，角、、所对的边分别为、、，若．(Ⅰ) 求；(Ⅱ) 若，求的面积．18. (本小题满分12分)已知等差数列前项和为，且（）．(Ⅰ) 求，；(Ⅱ) 若，求数列前项和.19. (本小题满分12分)某气象站观测点记录的连续天里，指数与当天的空气水平可见度（单位）的情况如下表：哈尔滨市某月（以天计）的指数频数分布如下表：(Ⅰ) 设，根据表的数据，求出关于的回归方程；(参考公式：其中)(Ⅱ) 小张开了一家洗衣店，经统计，当不高于时，洗衣店平均每天亏损约元,当在至时，洗衣店平均每天收入约元，当大于时，洗衣店平均每天收入约元，根据表估计小张的洗衣店该月份平均每天的收入.20. (本小题满分12分)已知定义在上的奇函数满足.(Ⅰ) 若函数有个零点，求实数的取值范围；(Ⅱ) 求的解集.21. (本小题满分12分)已知函数.(Ⅰ) 讨论的单调性；(Ⅱ) 若对于，恒成立，求实数的取值范围.请考生在22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，是圆的直径，弦，的延长线相交于点，垂直的延长线于点.(Ⅰ) 求证：；(Ⅱ) 若，，.求的长．23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设曲线（为参数）；直线.(Ⅰ) 写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(Ⅱ) 求曲线上的点到直线的最大距离.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数．(Ⅰ) 求不等式的解集；(Ⅱ) 若，恒成立，求实数的取值范围．2017届高三年级第一次三校联考数学（文科）试卷参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．13. ． 14. . 15. . 16. ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）………………2分解：（1），又，…………………4分，．…………………6分（2）由余弦定理得即：，…………………10分…………………12分18．（本小题满分12分）解：（1）∵∴，，…………2分又∵等差数列，∴，；…………3分；，……4分∴……………………5分（2）……………………6分…………①……………………7分……②……………………8分①-②得……………………9分……………………10分……………………11分……………………12分19．（本小题满分12分）解：（1）…………………2分；…………………6分所以关于的回归方程是 ………………………7分（2）根据表知：天中有天每天亏损约元，有天每天收入约元，有天每天收入约元，故该月份平均每天的收入约为（元）……………12分20．（本小题满分12分） 解：(1)因为是定义在上的奇函数，且，则. ………2分从而可得函数与的图象分别如下图所示. ………4分因为函数有个零点，则题设可等价转化为函数与函数的图象有个交点. (5)分由右上图可知，或， ………6分即:当或时，函数有个零点. (7)分 (2)令得，或， …………8分因为是定义在上的奇函数，当时，解得或 …………9分结合左上图可知，， …………10分即：. ……………11分所以所求解集为. ……………12分21．（本小题满分12分）解：(1) 函数的定义域为.因为，…………1分所以：（i）当时，对恒成立，所以在上单调递增；…………2分（ii）当时，令或（舍）. …………3分当时，；当时，.所以在上单调递增；在上单调递减. ……4分(2)令则依题意，对恒成立. …………5分由于，所以由（1）可知：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减.此时，在处取得最大值. …………6分若，因为，显然与题设相矛盾；…………7分若，则题设等价于（），……8分不妨设，则.所以（）式等价转化为（）. …………9分记，则.因为，所以在上单调递增. …………10分所以, …………11分即：，解得，.所以所求的实数的取值范围为. …………12分请考生在第22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解：(1)证明：连接，. ………………………1分因为是圆的直径．所以，故，，，四点共圆，所以. …………………4分(2)在和中，，所以∽，故. ……………6分在中，.设，又，，所以，则，所以，解得.所以的长为. ………………………10分23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解： (1)将转化普通方程为：………………………2分将转化为直角坐标方程为：………………………4分(2)在上任取一点，则点到直线的距离为=………………………8分因为所以当的最大值为. ………………………10分24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲解：（1）………………………2分当当当综上所述．………………………6分（2）易得，若，恒成立，则只需………………………8分，综上所述．………………………10分。
深圳市2017年高考数学模拟考试试卷及答案网页版_中学试卷
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深圳市2017年高考模拟数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．为虚数单位,复数=
A．B．C．D．
2．等边三角形的边长为，如果那么等于
A．B．C．D．
3．已知集合，，记为集合A的元素
个数，则下列说法不正确的是
A．B．C．D．
4．一个体积为12
5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若，则PQ中点M到抛物线准线的距离为A．5 B．4 C．3 D．2
6．下列说法正确的是
A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C．事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
D．事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小
7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的为
A．的值
B．的值
C．的值
D．的值
8．若(9x－的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为
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数学(文科)2017年深圳市高三年级第一次调研考试试题答案
得面积为
2 . 3
3 2 3 2
（ 12 ）简解： f ( x) (sin x) a(sin x) a , 令 t sin x ， t (0,1] ，则 f (t ) t at a ，
t (0,1] ， f '(t ) 3t 2 2at ，令 f ( 't ) 0
BDE ，所以点 F 到平面 BDE 的距离为 FG 3
1 SBDE 2 3 3 2 1 三棱锥 F BDE 的体积为 3 3 3 . ………………………………………………………12 分 3 解法二：∵ EF // GC , EF 2GC ,点 F 到平面 BDE 的距离为点 C 到平面 BDE 的距离的两倍.
x2 y 2 3 ，过点 P (0, 2) 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 2 1 (a b 0) 的离心率为 2 a b 3
两点.椭圆的右顶点与上顶点的距离为 5 .
2017 年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学参考答案（第 4 页）
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 M 是 AB 中点，且 Q 点的坐标为 ( ,0) ，当 QM AB 时，求直线 l 的方程.
b 的值；
0.0030
0.0010 0.0005
O 100 200 300 400 500 600
月用电量/度
2017 年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学参考答案（第 3 页）
（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，估计 1 月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表）.
【解析】 （Ⅰ）当 0 x 200 时， y 0.5 x ；………………………………………………………………1 分 当 200 x 400 时， y 0.5 200 0.8 ( x 200) 0.8 x 60 ………………………………………2 分 当 x 400 时， y 0.5 200 0.8 200 1.0 ( x 400) x 140 ， ……………………………3 分
2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（ ）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x 轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）A．B．C．D．6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（ ）A．0B．1C．2D．38．（5分）函数y=的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+211．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（ ）A．B．C．D．12．（5分）设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年广东省深圳市三校联考高考数学一模试卷(文科)
2017年广东省深圳市三校联考高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则M∩N=（）A．∅B．{0}C．{1}D．{0，1}2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i4．（5分）对于函数f（x）=atanx+bx3+cx（a、b、c∈R），选取a、b、c的一组值计算f（1）、f（﹣1），所得出的正确结果可能是（）A．2和1 B．2和0 C．2和﹣1 D．2和﹣25．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．6．（5分）将函数的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．B．C． D．7．（5分）已知当x＜1时，f（x）=（2﹣a）x+1；当x≥1时，f（x）=a x（a＞0且a≠1）．若对任意x1≠x2，都有成立，则a的取值范围是（）A．（1，2） B． C． D．（0，1）∪（2，+∞）8．（5分）已知α是第一象限角，满足，则cos2α=（）A．﹣ B．C．D．9．（5分）已知，则f（x）在定义域上的最小值为（）A．B．C． D．10．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x+4y的最小值为（）A．3 B．C．4 D．11．（5分）设函数f（x）=的图象如图，则a，b，c满足（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a12．（5分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知平面向量=（1，2），=（2，﹣m），且，则=．14．（5分）曲线y=sinx+e x在点（0，1）处的切线方程为．15．（5分）设当x=α时，函数f（x）=3sinx+cosx取得最大值，则tan2α=．16．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f'（x）＜1且f（0）=3，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，A，B，C为的a、b、c所对的角，若．（1）求A；（2）若，求△ABC的面积．18．（12分）已知等差数列{a n}前n项和为S n ，且（n∈N*）．（Ⅰ）求c，a n；（Ⅱ）若，求数列{b n}前n项和T n．19．（12分）某气象站观测点记录的连续4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位cm）的情况如下表1：哈尔滨市某月AQI指数频数分布如下表2：（1）设x=，根据表1的数据，求出y关于x的回归方程；（参考公式：；其中，）（2）小张开了一家洗车店，经统计，当M不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入．20．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0）．（Ⅰ）若函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求|f（x+1）|≤4的解集．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2（a∈R）（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于x∈（0，+∞），f（x）≤a﹣1恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）选修4﹣1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．（I）求证：∠DEA=∠DFA；（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C：（α为参数）；直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的最大距离．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．2017年广东省深圳市三校联考高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则M∩N=（）A．∅B．{0}C．{1}D．{0，1}【分析】先求出集合M，N，利用交集定义能求出M∩N．【解答】解：∵集合，∴M={0，1}，N={x|x≤0或x＞1}，∴M∩N={0}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．【解答】解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选：C．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．4．（5分）对于函数f（x）=atanx+bx3+cx（a、b、c∈R），选取a、b、c的一组值计算f（1）、f（﹣1），所得出的正确结果可能是（）A．2和1 B．2和0 C．2和﹣1 D．2和﹣2【分析】根据题意，由奇函数的定义分析可得函数f（x）为奇函数，进而分析可得f（1）、f（﹣1）的值互为相反数；据此分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数f（x）=atanx+bx3+cx，其定义域为{x|x≠kπ+}，关于原点对称，又由f（﹣x）=﹣（atanx+bx3+cx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，必有﹣f（1）=f（﹣1），即f（1）、f（﹣1）的值互为相反数；分析选项可得：只有D的2个数互为相反数；故选：D．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，关键是分析得到函数f（x）为奇函数．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=+ +…+的值，由裂项法即可求值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=++…+的值．由于S=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了裂项法求数列的和，属于基础题．6．（5分）将函数的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．B．C． D．【分析】由已知函数解析式求得函数周期，再结合三角函数的图象平移得答案．【解答】解：函数的周期T=，将函数的图象向左平移个周期，即向左平移个单位，∴平移后所得图象对应的函数为y==．故选：A．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的图象平移，是基础题．7．（5分）已知当x＜1时，f（x）=（2﹣a）x+1；当x≥1时，f（x）=a x（a＞0且a≠1）．若对任意x1≠x2，都有成立，则a的取值范围是（）A．（1，2） B． C． D．（0，1）∪（2，+∞）【分析】由题意可得f（x）在R上单调递增，分别运用一次函数和指数函数的单调性，以及单调性的定义，得到a的不等式，求交集，即可得到所求范围．【解答】解：对任意x1≠x2，都有成立，即为f（x）在R上单调递增，由当x＜1时，f（x）=（2﹣a）x+1，可得2﹣a＞0，解得a＜2；①又当x≥1时，f（x）=a x（a＞0且a≠1），可得a＞1；②又f（x）在R上单调递增，可得2﹣a+1≤a，解得a≥③由①②③可得≤a＜2，故选：C．【点评】本题考查函数的单调性的判断，注意运用一次函数和指数函数的单调性，以及单调性的定义，考查运算能力，属于中档题和易错题．8．（5分）已知α是第一象限角，满足，则cos2α=（）A．﹣ B．C．D．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα+cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．【解答】解：∵α是第一象限角，满足，∴1﹣2sinαcosα=，∴2sinαcosα=，∴sinα+cosα===，则cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα+sinα）•（cosα﹣sinα）=•（﹣）=﹣，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．9．（5分）已知，则f（x）在定义域上的最小值为（）A．B．C． D．【分析】先分离常数，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由f（x）==x+，∵x∈N*＞0，∴x+≥=2，当且仅当x=时取等号．但x∈N*，故x=5或x=6，当x=5时，f（x）=，当x=6时，f（x）=，故得f（x）在定义域上的最小值为．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x+4y的最小值为（）A．3 B．C．4 D．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=3x+4y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=3x+4y过可行域内的点A时，从而得到z值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=3x+4y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=3x+4y经过点B时，z最大，由可得B（0，0）最大值是：3×0+4×1=4．故选：C．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．11．（5分）设函数f（x）=的图象如图，则a，b，c满足（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】先观察函数的对称性知其是偶函数，得出a值，再结合图象的最高点得出函数的最大值求得，最后依据函数的定义域即可得出c的符号，从而问题解决．【解答】解：∵函数的图象关于y轴对称，故它是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）∴a=0．又由图知，当x=0时，函数取得最大值，且最大值是一个大于1的实数∴，依图得，其定义域为R，∴c＞0，∴b＞c＞0．故选：D．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．12．（5分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，3）【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）﹣log2x为定值，可以设t=f （x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，对其求导可得f′（x）；将f（x）与f′（x）代入f（x）﹣f′（x）=2，变形化简可得log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，可得log2x+2﹣=2，即log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，分析易得h（1）=﹣＜0，h（2）=1﹣＞0，则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，故选：C．【点评】本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知平面向量=（1，2），=（2，﹣m），且，则=．【分析】根据便可得出，从而求出m=1，进而可求出的坐标，从而求出的值．【解答】解：∵；∴；∴m=1；∴；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量坐标的加法运算，根据向量坐标求向量长度的公式．14．（5分）曲线y=sinx+e x在点（0，1）处的切线方程为y=2x+1．【分析】求出函数y=sinx+e x的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程．【解答】解：y=sinx+e x的导数为y′=cosx+e x，在点（0，1）处的切线斜率为k=cos0+e0=2，即有在点（0，1）处的切线方程为y=2x+1．故答案为：y=2x+1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键．15．（5分）设当x=α时，函数f（x）=3sinx+cosx取得最大值，则tan2α=．【分析】利用辅助角公式化简求解f（x）取得最大值的α的关系式．利用二倍角的正切公式即可求解tan2α的值．【解答】解：函数f（x）=3sinx+cosx=sin（x+φ），tanφ=，∴cotφ=3，当x=α时，函数f（x）取得最大值，即α+φ=，可得：α=2kπ+（﹣φ），那么：tanα=tan（2kπ+φ）=tan（﹣φ）=cotφ=3，则tan2α=．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的性质和辅助角的灵活运用能力．属于中档题．16．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f'（x）＜1且f（0）=3，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（﹣∞，0）．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＜1，∴f（x）+f′（x）﹣1＜0，∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减，∵e x f（x）＞e x+2，∴g（x）＞2，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=3﹣1=2，∴g（x）＞g（0），∴x＜0故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，A，B，C为的a、b、c所对的角，若．（1）求A；（2）若，求△ABC的面积．【分析】（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（B+C）的值，即可求出A的度数；（2）利用余弦定理和完全平方公式变形，将a与b+c的值代入求出bc的值，再利用三角形面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，cosBcosC﹣sinBsinC=，∴cos（B+C）=，又∵0＜B+C＜π，∴B+C=，又A+B+C=π，∴A=；（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA，得（2）2=（b+c）2﹣2bc﹣2bc•cos，把b+c=4代入得：12=16﹣2bc+bc，解得bc=4，则△ABC的面积为S=bc•sinA=×4×=．【点评】本题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解题的关键．18．（12分）已知等差数列{a n}前n项和为S n，且（n∈N*）．（Ⅰ）求c，a n；（Ⅱ）若，求数列{b n}前n项和T n．【分析】（1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵，∴a1=S1=1+c，a2=S2﹣S1=（4+c）﹣（1+c）=3，a3=S3﹣S2=5…（2分）又∵{a n}等差数列，∴6+c=6，c=0；…（3分）d=3﹣1=2；a1=S1=1+c=1，…（4分）∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1…（5分）（2）…（6分）…①…（7分）…②…（8分）①﹣②得…（9分）…（10分）…1（1分）…（12分）【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）某气象站观测点记录的连续4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位cm）的情况如下表1：哈尔滨市某月AQI指数频数分布如下表2：（1）设x=，根据表1的数据，求出y关于x的回归方程；（参考公式：；其中，）（2）小张开了一家洗车店，经统计，当M不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入．【分析】（1）利用公式计算线性回归方程系数，即可求得线性回归方程；（2）确定每月的收入的取值及概率，从而可求分布列及数学期望．【解答】解：（1）=（9+7+3+1）=5，=（0.5+3.5+6.5+9.5）=5，则==﹣1.05，=5﹣（﹣1.05）×5=10.25，故．（2）由表2知AQI指数不高于200的频率为=0.1，AQI指数在200至400的频率为=0.2，AQI指数大于400的频率为0.7．设每月的收入为X，则X的分布列为则X的数学期望为E（X）=﹣2000×0.1+4000×0.2+7000×0.7=5500，即小张的洗车店该月份平均每天的收入为5500．【点评】本题考查线性回归方程，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0）．（Ⅰ）若函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求|f（x+1）|≤4的解集．【分析】（Ⅰ）利用f（x）是定义在R上的奇函数，求出函数的解析式，画出函数y=f（x）与y=|f（x）|的图象，利用函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，转化为函数y=|f（x）|与函数y=a的图象有4个交点．推出实数a的取值范围即可．（Ⅱ）令f（x）=4得，或﹣1，利用函数f（x）是定义在R上的奇函数，结合图象，求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0），则．…（2分）从而可得函数y=f（x）与y=|f（x）|的图象分别如下图所示．…（4分）因为函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，则题设可等价转化为函数y=|f（x）|与函数y=a的图象有4个交点．…（5分）由右上图可知，a=4或0＜a≤3，…（6分）即：当a=4或0＜a≤3时，函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点．…（7分）（Ⅱ）令f（x）=4得，或﹣1，…（8分）因为f（x）是定义在R上的奇函数，当f（x）=﹣4时，解得或1…（9分）结合左上图可知，，…（10分）即：．…（11分）所以所求解集为．…（12分）【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的图象的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用，考查计算能力．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2（a∈R）（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于x∈（0，+∞），f（x）≤a﹣1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据g（x）=lnx﹣ax2﹣a+1≤0对∀x∈（0，+∞）恒成立．求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．因为，…（1分）所以：（i）当a≤0时，f'（x）＞0对∀x∈（0，+∞）恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（2分）（ii）当a＞0时，令或（舍）．…（3分）当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0．所以f（x）在上单调递增；f（x）在上单调递减．…（4分）（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a+1=lnx﹣ax2﹣a+1（x＞0）则依题意，g（x）=lnx﹣ax2﹣a+1≤0对∀x∈（0，+∞）恒成立．…（5分）由于，所以由（1）可知：当a≤0时，g（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，g（x）在上单调递增；在上单调递减．此时，g（x）在处取得最大值．…（6分）若a≤0，因为g（1）=﹣2a+1＞0，显然与题设相矛盾；…（7分）若a＞0，则题设等价于（*），…（8分）不妨设，则．所以（*）式等价转化为（t＞0）．…（9分）记，则F（1）=0．因为，所以F（t）在（0，+∞）上单调递增．…（10分）所以F（t）≤0⇔0＜t≤1，…（11分）即：，解得，．所以所求的实数a的取值范围为．…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）选修4﹣1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．（I）求证：∠DEA=∠DFA；（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的长．【分析】（Ⅰ）连接AD，BC，证明A，D，E，F四点共圆，可得结论；（Ⅱ）证明△EFA∽△BCA，可得，所以AF×AB=AC×AE，从而可求AF 的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接AD，BC．因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°，故A，D，E，F四点共圆，∴∠DEA=∠DFA；（Ⅱ）解：在直角△EFA和直角△BCA中，∠EAF=∠CAB，所以△EFA∽△BCA，所以所以AF×AB=AC×AE设AF=a，则AB=3﹣a，所以a（3﹣a）=，所以a2﹣2a+1=0，解得a=1所以AF的长为1．【点评】本题考查四点共圆，考查三角形的相似，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C：（α为参数）；直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的最大距离．【分析】（Ⅰ）先根据sin2α+cos2α=1消去α将C转化普通方程，然后利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，将l转化为直角坐标方程即可；（Ⅱ）先在曲线C上任取一点，然后利用点到直线的距离公式建立函数关系，最后利用辅助角公式求出最值．【解答】解：（Ⅰ）根据sin2α+cos2α=1将C转化普通方程为：利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，将l转化为直角坐标方程为：x+y﹣4=0（Ⅱ）在上任取一点A（cosα，sinα），则点A到直线的距离为d==，它的最大值为3．【点评】本题主要考查了参数方程化成普通方程，以及点到直线的距离公式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述．【点评】考查了绝对值的代数意义、一元二次不等式的应用、分段函数的解析式等基本，去绝对值体现了分类讨论的数学思想，属中档题．。
广东省深圳市2017届高三下学期第一次调研考试(一模)数学(文)试题 Word版含答案
深圳市2017年高三年级第一次调研考试数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}22,4,,6,8,B |9180A x x x ==-+≤，则A B = （ ） A ． {}2,4 B ．{}4,6 C ．{}6,8 D ．{}2,82.若复数()12a ia R i+∈+为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a = （ ） A ． -3 B ． -2 C ．2 D ．33. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ） A ．14 B ． 13 C ． 12 D ． 234.设30.330.2,log 0.2,log 0.2a b c ===，则,,a b c 大小关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C. b c a >> D ．c b a >> 5. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1cos ,1,24C a c ===，则ABC ∆的面积为（ ）A B 14 D ．186. ）A C. 2 D 7.将函数sin 64y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ） A ．,02π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ,09π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 函数()21cos 21x xf x x +=- 的图象大致是（ ） A ． B ．C. D ．9.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为()02h h <<的平面截该几何体，则截面面积为 （ ）A ．4πB ．2h π C. ()22h π- D ．()24h π-10. 执行如图所示的程序框图，若输入2017p =，则输出i 的值为（ ） A ． 335 B ．336 C. 337 D ．33811. 已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为（ ）A ．83π B ．53π C. 43π D ．23π 12. 若()32sin cos f x x a x =+在()0,π上存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()0,+∞ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知向量()()1,2,,3p q x ==，若p q ⊥，则p + 14. 已知α是锐角，且cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 15.直线30ax y -+=与圆()()2224x y a -+-=相交于M N 、两点，若MN ≥则实数a 的取值范围是 ．16.若实数,x y 满足不等式组4023801x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，目标函数z kx y =-的最大值为12，最小值为0，则实数k = ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()*21,1n n n n S a n n N b a =-+∈=+． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ．18. 如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACEF 为平行四边形，设BD 与AC 相交于点G，2,AB BD AE EAD EAB ===∠=∠．（1）证明：平面ACEF ⊥平面ABCD ；（2）若060EAG ∠=，求三棱锥F BDE -的体积．19.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.（1）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解+析式； （2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求,a b 的值；（3）在满足（2）的条件下，估计1月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．20.已成椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于A B 、两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M 是AB 中点，且Q 点的坐标为2,05⎛⎫⎪⎝⎭，当QM AB ⊥时，求直线l 的方程． 21.已知函数()()()1ln 3,,f x ax x ax a R g x =+-+∈是()f x 的导函数，e 为自然对数的底数．（1）讨论()g x 的单调性；（2）当a e >时，证明：()0a g e ->；（3）当a e >时，判断函数()f x 零点的个数，并说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线E的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线E 的普通方程和极坐标方程；（2）若直线l 与曲线E 相交于点A B 、两点，且OA OB ⊥，求证：2211OAOB+为定值，并求出这个定值． 23.选修4-5：不等式选讲已知()(),3f x x a g x x x =+=+-． （1）当1a =，解不等式()()f x g x <；（2）对任意[]()()1,1,x f x g x ∈-<恒成立，求a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: BBCBA 6-10: DACDC 11、12：DD二、填空题13. 4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 16. 3 三、解答题17.解:（1）当1n =时，11112112a S a a ==-+=，易得110,1a b ==； 当2n ≥时，()1121211n n n n n a S S a n a n --=-=-+---+⎡⎤⎣⎦， 整理得121n n a a -=+，∴()111212n n n n b a a b --=+=+=，∴数列{}n b 构成以首项为11b =，公比为2等比数列， ∴数列{}n b 的通项公式()12*n n b n N -=∈； （2）由（1）知12n n b -=，则12n n nb n -= ， 则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯ ，①∴12321222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ，② 由①-②得：0121121212122n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯12221212nn n n n n -=-⨯=--⨯-，∴()121n n T n =-+. 18.解：（1）证明：连接EG ，∵四边形ABCD 为菱形，∵,,AD AB BD AC DG GB =⊥=， 在EAD ∆和EAB ∆中，,AD AB AE AE ==，EAD EAB ∠=∠，∴EAD EAB ∆≅∆， ∴ED EB =， ∴BD EG ⊥， ∵AC EG G = ， ∴BD ⊥平面ACFE ， ∵BD ⊂平面ABCD ， ∴平面ACFE ⊥平面ABCD ；（2）解法一：连接,EG FG ，∵BD ⊥面,ACFE FG ⊂平面ACFE ，∴FG BD ⊥， 在平行四边形ACFE 中，易知060,30EGA FGC ∠=∠=，∴090EGF ∠=，即FG EG ⊥，又因为,EG BD 为平面BDE 内的两条相交直线，所以FG ⊥平面BDE ，所以点F 到平面BDE 的距离为3FG =，∵122BDE S ∆==∴三棱锥F BDE -的体积为133= .解法二：∵//,EF 2GC EF GC =，∴点F 到平面BDE 的距离为点C 到平面BDE 的距离的两倍，所以2F BDE C BDE V V --=，作EH AC ⊥，∵平面ACFE ⊥平面,ABCD EH ⊥平面ABCD ，∴1132322C BDE E BCD V V --==⨯⨯=， ∴三棱锥F BDE -19.详细分析：（1）当0200x ≤≤时，0.5y x =；当200400x <≤时，()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-， 当400x >时，()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-，所以y 与x 之间的函数解+析式为：0.5,02000.860,200400140,400x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩；（2）由（1）可知：当260y =时，400x =，则()4000.80P x ≤=，结合频率分布直方图可知：0.121000.30.81000.050.2b a +⨯+=⎧⎨+=⎩，∴0.0015,0.0020a b ==； （3）由题意可知：当50x =时，0.55025y =⨯=，∴()250.1P y ==， 当150x =时，0.515075y =⨯=，∴()750.2P y ==，当250x =时，0.52000.850140y =⨯+⨯=，∴()1400.3P y ==， 当350x =时，0.52000.8150220y =⨯+⨯=，∴()2200.2P y ==，当450x =时，0.52000.8200 1.050310y =⨯+⨯+⨯=，∴()3100.15P y ==， 当550x =时，0.52000.8200 1.0150410y =⨯+⨯+⨯=，∴()4100.05P y ==， 故250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.解：（1）由题意可知：225a b +=，又222c e a b c a ===+，∴a b ==，所以椭圆C 的方程为22:132x y C +=； （2）①若直线l 的斜率不存在，此时M 为原点，满足QM AB ⊥，所以，方程为0x =， ②若直线l 的斜率存在，设其方程为()()11222,,,,y y kx A x y B x =+， 将直线方程与椭圆方程联立可得222132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，即()22231260k x kx +++=， 可得1222122372480k x x k k -⎧+=⎪+⎨⎪∆=->⎩，设()00,M x y ，则00222664,2232323k k x y k k k k --==+=+++ ， 由QM AB ⊥可知00125y k x =--，化简得23520k k ++=， 解得1k =-或23k =-，将结果代入272480k ∆=->验证，舍掉23k =-， 此时，直线l 的方程为20x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或20x y +-=. 21.解（1）对函数()f x 求导得()()1ln g x f x a x x'==+， ()2211a ax g x x x x-'=-=， ①当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上为减函数；②当0a >时，解()0g x '>可得1x a >，故()g x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2） ()2a a g e a e -=-+，设()2x h x e x =-，则()2x h x e x '=-， 易知当x e >时，()0h x '>， ()220x e h x e x e e =->->；（3）由（1）可知，当a e >时，()g x 是先减再增的函数， 其最小值为111ln ln 10g a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 而此时()1110,0a a a g e e g e --⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭，且11a a e e a -<<，故()g x 恰有两个零点12,x x ， ∵当()10,x x ∈时，()()0f x g x '=>；当()12,x x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()2,x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>，∴()f x 在12,x x 两点分别取到极大值和极小值，且110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由()1111ln 0g x a x x =+=知111ln a x x =-， ∴()()11111111ln 3ln 2ln f x ax x ax x x =+-+=++， ∵1ln 0x <，∴111ln 2ln x x +≤-，但当111ln 2ln x x +=-时，11x e =，则a e =，不合题意，所以()10f x <，故函数()f x 的图象与x 轴不可能有两个交点. ∴函数()f x 只有一个零点.22.解：（1）曲线E 的普通方程为22143x y +=， 极坐标方程为22211cos sin 143ρθθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴所求的极坐标方程为22223cos 4sin 12ρθρθ+=；（2）不妨设设点,A B 的极坐标分别为()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则()()2211222211cos sin 14311cos sin 14232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即22212222111cos sin 43111sin cos 43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， ∴221211712ρρ+=，即2211712OA OB+=（定值）. 23.解：（1）当1a =，()1f x x =+，由()()f x g x <可得13x x x +<+-，即310x x x +-+->， 当3x ≤-时，原不等式等价于20x -->，即2x <-，∴3x ≤-，当31x -<<-时，原不等式等价于40x +>，即4x >-，∴31x -<<-， 当1x ≥-时，原不等式等价于20x -+>，即2x <，∴12x -≤<， 综上所述，不等式的解集为(),2-∞；（2）当[]1,1x ∈-时，()3g x =，∴3x a +<恒成立，∴33a x -<+<，即33x a x --<<-，当[]1,1x ∈-时恒成立， ∴a 的取值范围22a -<<.。
2017广东省深圳市1模(文科)
深圳市2017年高三年级第一次调研考试数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}22,4,,6,8,B |9180A x x x ==-+≤，则AB =（ ）A ． {}2,4B ．{}4,6C ．{}6,8D ．{}2,82.若复数()12a ia R i+∈+为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a = （ ） A ． -3 B ． -2 C ．2 D ．33. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ） A ．14 B ． 13 C ． 12 D ． 234.设30.330.2,log 0.2,log 0.2a b c ===，则,,a b c 大小关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C. b c a >> D ．c b a >> 5. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1cos ,1,24C a c ===，则ABC ∆的面积为（ ）A B 1514 D ．186.5）A 5C. 2 D 5 7.将函数sin 64y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ） A ．,02π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ,09π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 函数()21cos 21x xf x x +=-的图象大致是（ ）9.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为()02h h <<的平面截该几何体，则截面面积为 （ ）A ．4πB ．2h π C. ()22h π- D ．()24h π-10. 执行如图所示的程序框图，若输入2017p =，则输出i 的值为（ ）A ． 335B ．336 C. 337 D ．33811. 已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为（ ） A ．83π B ．53π C. 43π D ．23π 12. 若()32sin cos f x x a x =+在()0,π上存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()0,+∞ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知向量()()1,2,,3p q x ==，若p q ⊥，则p q += ． 14. 已知α是锐角，且cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 15.直线30ax y -+=与圆()()2224x y a -+-=相交于M N 、两点，若MN ≥则实数a 的取值范围是 ．16.若实数,x y 满足不等式组4023801x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，目标函数z kx y =-的最大值为12，最小值为0，则实数k = ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()*21,1n n n n S a n n N b a =-+∈=+． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ．18. 如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACEF 为平行四边形，设BD 与AC 相交于点G ，2,3,AB BD AE EAD EAB ===∠=∠．（1）证明：平面ACEF ⊥平面ABCD ；（2）若060EAG ∠=，求三棱锥F BDE -的体积．19.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.（1）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解析式； （2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求,a b 的值；（3）在满足（2）的条件下，估计1月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．20.已成椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3，过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于A B 、两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M 是AB 中点，且Q 点的坐标为2,05⎛⎫⎪⎝⎭，当QM AB ⊥时，求直线l 的方程． 21.已知函数()()()1ln 3,,f x ax x ax a R g x =+-+∈是()f x 的导函数，e 为自然对数的底数．（1）讨论()g x 的单调性；（2）当a e >时，证明：()0a g e ->；（3）当a e >时，判断函数()f x 零点的个数，并说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线E 的参数方程为2cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线E 的普通方程和极坐标方程；（2）若直线l 与曲线E 相交于点A B 、两点，且OA OB ⊥，求证：2211OAOB+为定值，并求出这个定值． 23.选修4-5：不等式选讲已知()(),3f x x a g x x x =+=+-． （1）当1a =，解不等式()()f x g x <；（2）对任意[]()()1,1,x f x g x ∈-<恒成立，求a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: BBCBA 6-10: DACDC 11、12：DD二、填空题13. 224,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 16. 3 三、解答题17.解:（1）当1n =时，11112112a S a a ==-+=，易得110,1a b ==； 当2n ≥时，()1121211n n n n n a S S a n a n --=-=-+---+⎡⎤⎣⎦， 整理得121n n a a -=+，∴()111212n n n n b a a b --=+=+=，∴数列{}n b 构成以首项为11b =，公比为2等比数列， ∴数列{}n b 的通项公式()12*n n b n N -=∈； （2）由（1）知12n n b -=，则12n n nb n -=，则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯，① ∴12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，②由①-②得：0121121212122n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯12221212nn n n n n -=-⨯=--⨯-， ∴()121n n T n =-+.18.解：（1）证明： 连接EG ，∵四边形ABCD 为菱形，∵,,AD AB BD AC DG GB =⊥=， 在EAD ∆和EAB ∆中，,AD AB AE AE ==，EAD EAB ∠=∠，∴EAD EAB ∆≅∆， ∴ED EB =， ∴BD EG ⊥， ∵ACEG G =，∴BD ⊥平面ACFE ， ∵BD ⊂平面ABCD ， ∴平面ACFE ⊥平面ABCD ；（2）解法一：连接,EG FG ，∵BD ⊥面,ACFE FG ⊂平面ACFE ，∴FG BD ⊥， 在平行四边形ACFE 中，易知060,30EGA FGC ∠=∠=，∴090EGF ∠=，即FG EG ⊥，又因为,EG BD 为平面BDE 内的两条相交直线，所以FG ⊥平面BDE ，所以点F 到平面BDE 的距离为3FG =，∵12332BDE S ∆== ∴三棱锥F BDE -的体积为13333=.解法二：∵//,EF 2GC EF GC =，∴点F 到平面BDE 的距离为点C 到平面BDE 的距离的两倍，所以2F BDE C BDE V V --=，作EH AC ⊥，∵平面ACFE ⊥平面,ABCD EH ⊥平面ABCD ，∴113323322C BDE E BCD V V --==⨯⨯=， ∴三棱锥F BDE -319.解析：（1）当0200x ≤≤时，0.5y x =；当200400x <≤时，()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-， 当400x >时，()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-，所以y 与x 之间的函数解析式为：0.5,02000.860,200400140,400x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩；（2）由（1）可知：当260y =时，400x =，则()4000.80P x ≤=，结合频率分布直方图可知：0.121000.30.81000.050.2b a +⨯+=⎧⎨+=⎩，∴0.0015,0.0020a b ==； （3）由题意可知：当50x =时，0.55025y =⨯=，∴()250.1P y ==， 当150x =时，0.515075y =⨯=，∴()750.2P y ==，当250x =时，0.52000.850140y =⨯+⨯=，∴()1400.3P y ==， 当350x =时，0.52000.8150220y =⨯+⨯=，∴()2200.2P y ==，当450x =时，0.52000.8200 1.050310y =⨯+⨯+⨯=，∴()3100.15P y ==， 当550x =时，0.52000.8200 1.0150410y =⨯+⨯+⨯=，∴()4100.05P y ==， 故250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.解：（1）由题意可知：225a b +=，又2223c e a b c a ===+，∴a b ==，所以椭圆C 的方程为22:132x y C +=； （2）①若直线l 的斜率不存在，此时M 为原点，满足QM AB ⊥，所以，方程为0x =， ②若直线l 的斜率存在，设其方程为()()11222,,,,y y kx A x y B x =+， 将直线方程与椭圆方程联立可得222132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，即()22231260k x kx +++=，可得1222122372480k x x k k -⎧+=⎪+⎨⎪∆=->⎩，设()00,M x y ，则00222664,2232323k k x y k k k k --==+=+++， 由QM AB ⊥可知00125y k x =--，化简得23520k k ++=， 解得1k =-或23k =-，将结果代入272480k ∆=->验证，舍掉23k =-， 此时，直线l 的方程为20x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或20x y +-=. 21.解（1）对函数()f x 求导得()()1ln g x f x a x x'==+， ()2211a ax g x x x x-'=-=， ①当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上为减函数； ②当0a >时，解()0g x '>可得1x a >，故()g x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2） ()2a a g e a e -=-+，设()2x h x e x =-，则()2x h x e x '=-， 易知当x e >时，()0h x '>，()220x e h x e x e e =->->；（3）由（1）可知，当a e >时，()g x 是先减再增的函数， 其最小值为111ln ln 10g a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+=+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 而此时()1110,0aa a g e e g e --⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭，且11a a e e a -<<，故()g x 恰有两个零点12,x x ，∵当()10,x x ∈时，()()0f x g x '=>；当()12,x x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()2,x x ∈+∞时， ()()0f x g x '=>，∴()f x 在12,x x 两点分别取到极大值和极小值，且110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由()1111ln 0g x a x x =+=知111ln a x x =-， ∴()()11111111ln 3ln 2ln f x ax x ax x x =+-+=++， ∵1ln 0x <，∴111ln 2ln x x +≤-，但当111ln 2ln x x +=-时，11x e =，则a e =，不合题意，所以()10f x <，故函数()f x 的图象与x 轴不可能有两个交点. ∴函数()f x 只有一个零点.22.解：（1）曲线E 的普通方程为22143x y +=， 极坐标方程为22211cos sin 143ρθθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴所求的极坐标方程为22223cos 4sin 12ρθρθ+=；（2）不妨设设点,A B 的极坐标分别为()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 则()()2211222211cos sin 14311cos sin 14232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即22212222111cos sin 43111sin cos 43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， ∴221211712ρρ+=，即2211712OA OB+=（定值）. 23.解：（1）当1a =，()1f x x =+，由()()f x g x <可得13x x x +<+-，即310x x x +-+->，当3x ≤-时，原不等式等价于20x -->，即2x <-，∴3x ≤-，当31x -<<-时，原不等式等价于40x +>，即4x >-，∴31x -<<-， 当1x ≥-时，原不等式等价于20x -+>，即2x <，∴12x -≤<， 综上所述，不等式的解集为(),2-∞；（2）当[]1,1x ∈-时，()3g x =，∴3x a +<恒成立，∴33a x -<+<，即33x a x --<<-，当[]1,1x ∈-时恒成立， ∴a 的取值范围22a -<<.。
2017年广东省深圳市第一次调研数学文科
CD AB ，垂足为 D ，已知 AD 2 ， CB 4 3 ，则 CD
．
A
DO
B
三、解答题：本大题 6 小题，满分 80 分． 解答须写出文字说明、证明过程
和演算步骤 ．
16．（本小题满分 14 分）
已知向量 a ( 1，sin ) 与向量 b ( 4，2cos ) 垂直，其中
2
5
2
为第二象限角．
g( x) sin( 2 x ) ， h( x) cos( x ) 的部分图象（如图） ，则
P
3
6
A． a 为 f ( x) ， b 为 g( x) ， c 为 h( x)
1
Q
H cb
a
B． a 为 h( x) ， b 为 f( x) ， c 为 g( x) C． a 为 g( x) ， b 为 f( x) ， c 为 h( x) D． a 为 h( x)， b 为 g( x) ， c 为 f ( x) 8．已知圆面 C : ( x a) 2 y2 a2 1 的面积为 S ，平面区域 D : 2 x y 4 与圆面 C 的公共区域的面积大于
1 S ，则实数 a 的取值范围是 2
A． ，2
B． ，2
C． ， 1 1，2
D． ， 1 1，2
9．如图所示程序框图，其作用是输入空间直角坐标平面中一点
P( a，b，c) ，输出相
应的点 Q( a，b，c) ．若 P 的坐标为 ( 2，3，1)，则 P，Q 间的距离为
（注：框图中的赋值符号“ =”也可以写成“←”或“： =” ）
x2
20 ．（本题满分 2
14 分）已知椭圆 C: a2
y2 b2
1( a b 0) 的左焦点 F 及点 A( 0，b) ，原点 O 到直线 FA 的距
2017-2018深圳宝安区一模文科数学(含答案)
高三数学（文科） 第1页 （共4页）2017-2018学年第一学期宝安区高三调研测试卷 数学（文科）2017.9全卷满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（ ）1．已知全集U=R ，集合A={x|lg(x-2)≥0}, B={x|x≥2}, 则(C U A)∩B= A ．{}13x x -<≤B ．{}23x x ≤<C ．{}3x x ≤D ．φ（ ）2．某居民小区为如图所示矩形ABCD ，A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF ，若在该小区内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是 (注：该小区内无其他信号来源, 基站工作正常). A ．12π- B ．22π-C ．14π-D ．4π（ ）3．“0a ≤”是“复数1ai z i+=在复平面内对应的点在第三象限”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（ ）4．设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于 A ．12B ．24C ．36D ．48（ ）5．已知0.1 1.12log 0.1,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ． a c b <<（ ）6．不等式(x 2－2)log 2x >0的解集是 A ．(0,1)∪(2，＋∞) B ．(－2，1)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－2，2)（ ）7．把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 A ．sin(2)3y x π=-，x R ∈B ．sin()26x y π=+，x R ∈ C ．sin(2)32y x π=+，x R ∈ D ．sin(2)3y x π=+， x R ∈高三数学（文科） 第2页 （共4页）（ ）8．执行右图的程序框图，若输出的5n =， 则输入整数p 的最大值是 A ．15 B ．14 C ．7 D ．6 （ ）9．已知抛物线214y x =的焦点为F ， 若P 为抛物线上一点，且4PF = ，则P 到 X 轴的距离为A ．4B ．3C ．2D ．1（ ）10．一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是A ．1+错误!未找到引用源。
深圳市宝安区2017届高三9月摸底考试(文数)
深圳市宝安区2017届高三9月摸底考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知{1,2,4,8,16}A =，2{|log ,}B y y x x A ==∈，则A B = （ ） A ．{1,2}B ．{2,4,8}C ．{1,2,4}D ．{1,2,4,8}2．若复数z 满足(12)(1)i z i +=-，则||z =（ ） A ．25B ．35C．5D3． 函数=sin()y A x ωϕ+ 的部分图像如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）A ．12πB ．323π C ．8π D ．4π5．设F 为抛物线x y 4C 2=：的焦点，曲线)0(>=k xky 与曲线C 交于点P ，x PF ⊥轴，则实数=k （ ）A ．12 B ．1 C ．32D ．26．等比数列{}n a 的各项为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++= （ ） A ．12 B ．10 C ．8D ．32log 5+7．命题“任意[]21,2,0x x a ∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥ B ．4a ≤ C ．5a ≥ D ．5a ≤8．已知036020x y x y x y -≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则22x yz +=的最小值是（ ）A ．1B ．16C ．8D ．4 9．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A ．2 B ．3- C ．12-D ．1310．某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．2(19)cm π+ B ．2(224)cm π+ C ．2(10624)cm π++D ．2(13624)cm π++11．已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形,2,2,AB SA SB SC ====则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（ ）A 3B ．1C 3D 3312．双曲线M ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴的两个端点为A 、B ，点P 为双曲线M上除A 、B 外的一个动点，若动点Q 满足,QA PAQB PB ⊥⊥,则动点Q 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
高中数学复习提升-广东省深圳市宝安区2017届高三9月摸底考试数学文试题
2016-2017学年第一学期宝安区高三摸底测试卷 数学（文科）2016.9一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知{1,2,4,8,16}A =，2{|log ,}B y y x x A ==∈，则A B =（ ） A ．{1,2}B ．{2,4,8}C ．{1,2,4}D ．{1,2,4,8}2．若复数z 满足(12)(1)i z i +=-，则||z =（ ） A ．25B ．35C ．105D 103． 函数=sin()y A x ωϕ+ 的部分图像如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）A ．12πB ．323π C ．8π D ．4π5．设F 为抛物线x y 4C 2=：的焦点，曲线)0(>=k xky 与曲线C 交于点P ，x PF ⊥轴，则实数=k （ ）A ．12 B ．1 C ．32D ．26．等比数列{}n a 的各项为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+7．命题“任意[]21,2,0x x a ∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥ B ．4a ≤ C ．5a ≥ D ．5a ≤8．已知036020x y x y x y -≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则22x yz +=的最小值是（ ）A ．1B ．16C ．8D ．4 9．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A ．2 B ．3- C ．12-D ．1310．某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．2(19)cm π+ B ．2(224)cm π+ C ．2(10624)cm π++D ．2(13624)cm π++11．已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形,2,2,AB SA SB SC ====则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（ ）A 3B ．1C 3D 3312．双曲线M ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴的两个端点为A 、B ，点P 为双曲线M 上除A 、B 外的一个动点，若动点Q 满足,QA PA QB PB ⊥⊥,则动点Q 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
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2017届深圳市高三第一次调研考试试题（一） 数学（文科） 2017.2
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}8,6,4,2=A ，{}0189|2≤+-=x x x B ，则=B A I （ ）
A ．{}4,2
B ．{}6,4
C ．{}8,6
D ．{}8,2
2、若复数i
i a 21++为纯虚数，其中a 为实数，i 为虚数单位，则=a （ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3
3、袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有“2”“3”“4”“6”这四个数， 现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数能构成等差数列的概率是（ ） A ．41 B ．31 C ．21 D ．3
2 4、设32.0=a ，2.0log 3.0=b ，2.0log 3=b ，则c b a ,,大小关系正确的是（ ）
A ．c b a >>
B ．c a b >>
C ．a c b >>
D ．a b c >>
5、ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且4
1cos =C ，1=a ，2=c ，则ABC ∆的面积为（ ）
A ．415
B ．815
C ．41
D ．81 6、若双曲线的焦点到左渐近线的距离是焦距的5
5，则该双曲线的离心率为（ ） A ．552 B ．25 C ．2 D ．5 7、将函数)46sin(π+=x y 的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍， 再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ） A ．)0,2(π B ．)0,4(π C ．)0,9(π D ．)0,16(π 8、函数x x f x x cos 1212)(⋅+-=的图像大致是（ ）
9、祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上
提出了体积计算的原理：“幂势相同，则积不容异”，意思是，如果
两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何
体的体积相等，此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要
构造一个满足条件的几何体．已知该几何体三视图如图所示，用一个
与该几何体的下底面平行且相距为)20(<<h h 的平面截该几何体，则截面面积为（ ）
A ．π4
B ．2h π
C ．2)2(h -π
D ．)4(2h -π
10、执行如图所示的程序框图，若输入的2017=p ，则输出i 的值为（ ）
A ．335
B ．336
C ．337
D ．338
11、已知棱长为2的正方体1111D C B A ABCD =，球O 与该正方体的
各个面相切，则平面1ACB 截此球所得截面的面积为（ ）
A ．38π
B ．35π
C ．34π
D ．3
2π 12、若x a x x f 22cos sin )(+=在),0(π上存在最小值，
则实数a 的取值范围是（ ）
A ．)23,0(
B ．]23,0(
C ．),2
3[+∞ D ．),0(+∞ 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分
13、已知向量)2,1(=p ，)3,(x q =，且q p ⊥q p +的值为_______
14、已知α为锐角，且31)6cos(=+πα，则=-)3
cos(πα______ 15、直线03=+-y ax 与圆4)()2(22=-+-a y x 相交于N M ,两点，若32≥MN ， 则实数a 的取值范围为_______
16、若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--=-+1083204x y x y x ，目标函数y kx z -=的最大值为12，最小值为0，
则实数=k _______
三、解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12+-=n a S n n )(*N n ∈，1+=n n a b （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T
18、（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACFE 为平行四边形， 设BD 与AC 相交于点G ，2==BD AB ，3=AE ，EAB EAD ∠=∠
（Ⅰ）证明：平面⊥ACFE 平面ABCD ；（Ⅱ）若︒=∠60EAG ，求三棱锥BDE F -的体积
19、（本小题满分12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民
的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按5.0元/度收费，超过200度但不 超过400度的部分按8.0元/度收费，超过400度的部分按0.1元/度收费
（Ⅰ）求某户居民月用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解析式； （Ⅱ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量， 统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费 用不超过260元的占%80，求b a ,的值；
（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，估计1月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据 用该组区间的中点值作代表）
20、（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的离心率为33，其右顶点与上 顶点的距离为5，过点)2,0(P 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设M 是AB 中点，且点Q 的坐标)0,5
2(，当AB QM ⊥时，求直线l 的方程
21、（本小题满分12分）已知函数3ln )1()(+-+=ax x ax x f ，R a ∈，)(x g 是)(x f 的导函数， e 为自然对数的底数
（Ⅰ）讨论)(x g 的单调性；
（Ⅱ）当e a >时，证明：0)(>-a e g ；
（Ⅲ）当e a >时，判断函数)(x f 零点的个数，并说明理由
请考生在第22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
在直角坐标系xOy 中，曲线E 的参数方程为⎩⎨⎧==α
αsin 3cos 2y x （α为参数），以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系
（Ⅰ）写出曲线E 的普通方程和极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线E 相交于B A ,两点，且OB OA ⊥，求证：
2211OB OA +为定值，
并求出这个定值
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲
已知a x x f +=)(，x x x g -+=3)(
（Ⅰ）当1=a 时，解不等式)()(x g x f <；
（Ⅱ）对任意]1,1[-∈x ，)()(x g x f <恒成立，求a 的取值范围。