初中数学精品课件：实数及其运算

关的：π3，π－1 等；④规律型：1.3232232223…(每两 个“3”之间依次多一个“2”)等有规律但不循环的无 限小数．
【典例 1】 (2019·宁波)请写出一个小于 4 的无理数： ______．
【答案】 π(答案不唯一)
【类题演练 1】 (2019·衢州)在12，0，1，－9 四个数中，
【典例 1】
在
实
数
－
π 2
，
2
，
22 7
，
0.3333333…
，
0
，
1.732
，
2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”) 中，是无理数的
是
．
【错解】 2，272，2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”)
【析错】 无理数是无限不循环小数，而有理数可以写成 分母不为 0 的分数形式，所以272是有理数，－π2是无理数． 【正解】 －π2， 2，2.1010010001…(每两个“1”之 间依次多一个“0”)
2．初中数学中常见的非负数有：①实数的绝对值：|a|≥0； ②实数的平方：a2≥0；③非负实数的算术平方根： a ≥0(a≥0)．如果 a，b，c 都是实数，且满足 a2＋|b|＋ c ＝0，那么根据非负数的性质，有 a＝b＝c＝0.由非负 数的性质可以求出多个未知数的值.
易错点1 平方根与算术平方根概念的混淆
数，则 ab＝ 1 ．
(4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数 的绝对值．
a（a＞0）， |a|＝0（a＝0）， 以上三条反之亦成立．
－a（a＜0）.
|a|是一个非负数，即|a|≥0．
(5)科学记数法： 科学记数法就是把一个数表示成 a×10n(反数，则和为 0；若两数互为倒数，则积 为 1.反之亦成立．
3．任何实数的绝对值都为非负数．
【典例 3】 (1)(2019·潍坊)2019 的倒数的相反数是
()
A．－2019
B．－20119
C．20119
D．2019
(2)如图 1-1，数轴上 A，B，C 三点所表示的数分别为 a，b，c，AB＝ BC，若|b|＜|a|＜|c|，则关于原点 O 的位置，下列结论正确的是 ( )
【典例 4】 (2019·温州)计算：|－6|－ 9＋(1－ 2)0－(－ 3)．
【解析】 原式＝6－3＋1＋3＝7.
【类题演练 4】 (2018·金华)计算： 8＋(－2018)0－4sin 45°＋|－2|.
【解析】 原式＝2 2＋1－4× 22＋2 ＝2 2＋1－2 2＋2＝3.
题型五 实数的大小比较与估算
选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总
投资为 1526000000 元人民币．数 1526000000 用科学
记数法表示为
()
A．1.526×108
B．15.26×108
C．1.526×109
D．1.526×1010
【答案】 C
题型三 数轴、相反数、倒数、绝对值
1．在数轴上，右边的数总比左边的大；离原点越远的数， 绝对值越大．
0.任何数都有立方根，a 的立方根是3 a.
(3)乘方运算：求几个相同因数的积的运算叫做乘方． 乘方的结果叫做 幂 ，a 的 n 次方记做 an，其中 a 是底数， n 是指数．
(4)实数的运算顺序： 实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加 减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面 的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行．
负数是
()
A．12 C．1
B．0 D．－9
【答案】 D
题型二 科学记数法
科学记数法表示的数为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数．确定 n 的值时，若原数的绝对值大于 或等于 10，则 n＝原数的整数位数－1；若原数的绝对值 小于 1，则 n 为负整数，且|n|＝左边第一个非零数字前 所有零的个数(包括小数点前的零)．
★名师指津 本题主要考查有理数和无理数的概念的理解及表
现形式上的区分．任何一个有理数都可以用分母不为零的分 数表示．
【变式 1】 在实数272，sin 60°， 2＋1，π2，( 3)0，－ 9，
( 5)－2，3.14159 中，无理数有
()
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【解析】 只有 sin 60°， 2＋1，π2是无理数，共 3 个．
【类题演练 5】 (2019·舟山)已知数轴上有两个实数 a，
b，且 a＞0，b＜0，a＋b＜0，则四个数 a，b，－a，
－b 的大小关系为
(用“＜”号连接)．
【解析】 ∵a＞0，b＜0，a＋b＜0，∴|b|＞a， ∴－b＞a，b＜－a， ∴四个数 a，b，－a，－b 的大小关系为 b＜－a＜a＜－b.
a，则点 B 所表示的数为
()
A．－(a＋1) C．a＋1
B．－(a－1) D．a－1
【解析】 ∵O 为原点，AC＝1，OA＝OB，点 C 所表示的数为 a， ∴点 A 表示的数为 a－1， ∴点 B 表示的数为－(a－1)．
【答案】 B
题型四 实数的运算
实数的运算包括加、减、乘、除、乘方和开方六种运 算．运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加 减．同级运算从左到右依次进行，有括号的先算括号里面 的．
【答案】 －384
【类题演练 6】 (2019·常德)观察下列等式：70＝1，71＝
7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据
其中的规律可得 70＋71＋72＋…＋72019 的结果的个位
数字是
()
A．0
B．1
C．7
D．8
【解析】 ∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，
【答案】 （1）B （2）A
【类题演练 3-1】
A．－12 C．12
(2019·宁 波 ) － 2 的 绝 对 值 为 ()
B．2
D．－2
【答案】 B
【类题演练 3-2】 (2019·枣庄)点 O，A，B，C 在数轴上对应的点的位置
如图 1－2 所示，O 为原点，AC＝1，OA＝OB．若点 C 所表示的数为
B．15
C．－2
D．2
【答案】 A
()
题型一 实数的分类
1．任何分数都是有理数，任何一个有理数都可以化成分
母不为 0 的分数，如272，－131等． 2．0 既不是正数，也不是负数，但 0 是自然数． 3．常见的几种无理数：①根号型： 2，3 4等开方开不尽
的数；②三角函数型：sin 60°，tan 30°等；③与 π 有
(1)运算律： 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； 乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：(ab)c＝a(bc)； 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac．
(2)平方根、算术平方根、立方根： 正数 a 有两个平方根，记做± a，0 的平方根是 0 ，负数 没有平方根．其中 a是 a 的算术平方根，0 的算术平方根是
1．(2019·湖州)数 2 的倒数是
A．－2
B．2
C．－12
D．12
【答案】 D
()
2．(2019·台州)2019 年台州市计划安排重点建设项目 344
个，总投资 595200000000 元．用科学记数法可将
595200000000 表示为
()
A．5.952×1011
B．59.52×1010
C．5.952×1012
D．5952×109
【答案】 A
3．(2018·杭州)|－3|＝ A．3 C．13
【答案】 A
B．－3 D．－13
()
4．(2019·白银)下列整数中，与 10最接近的整数是 ( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】 A
5．(2019·温州)计算(－3)×5 的结果是
A．－15
【答案】 b＜－a＜a＜－b
题型六 实数中的数字规律问 题
解决实数问题中找规律问题的关键在于找出各数(或 式)的共同点和不同点，从而准确进行归纳总结，得出一 般结论．
【典例 6】 (2019·咸宁)有一列数，按一定规律排列成 1，－2，4，－
8，16，－32，…，其中某三个相邻数的积是 412，则这三个数的和
任意两个实数都可以比较大小．一般来说有以下几种 比较方法：①数轴比较法；②法则比较法；③作差比较法； ④作商比较法；⑤平方比较法．
【典例 5】 (2019·资阳)设 x＝ 15，则 x 的取值范围是
()
A．2＜x＜3
B．3＜x＜4
C．4＜x＜5
D．无法确定
【解析】 ∵9＜15＜16，∴3＜ 15＜4. 【答案】 B
【答案】 B
易错点2 实数的运算
【典例 2】 (2019·衢州)计算：|－3|＋(π－3)0－ 4＋tan 45°.
【错解】 原式＝3＋π－3－2＋ 22＝π－2＋ 22. 【析错】 由于对零次幂和锐角三角函数值的概念不清而 产生错误． 【正解】 原式＝3＋1－2＋1＝3. ★名师指津 实数运算中应特别注意以下几点：①平方根
1．实数的分类：
按实数的定义分类：
实数有理数整分数数负负正正零整分分整数数数数可或自化无然为限数有循限环小小数数
无理数正负无无理理数数无限不循环小数
根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数零正实数 负实数
2．实数的有关概念：
(1)数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴．实 数与数轴上的点一一对应．
5．比较实数大小的几种常用方法：
(1)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的 大．
(2)差值比较法：设 a，b 是任意实数，则 a－b＞0⇔a＞b；
a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b． (3)作商比较法：若 a＞0，b＞0，则当ab＞1 时，a＞b；当ab＜1
时，a＜b；当ab＝1 时，a＝b．若 a＜0，b＜0，则当ab＞1 时， a＜b；当ab＜1 时，a＞b；当ab＝1 时，a＝b． (4)平方比较法：对于任意正实数 a，b，有 a＞b⇔ a＞ b.
【典例 2】 (2019·淄博)国产科幻电影《流浪地球》上
映 17 日，票房收入突破 40 亿元人民币，将 40 亿用
科学记数法表示为
()
A．40×108
B．4×109
C．4×1010
D．0.4×1010
【解析】 40 亿＝4000000000＝4×109. 【答案】 B
【类题演练 2】 (2019·宁波)宁波是世界银行在亚洲地区
(6)近似数： 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪 一位．
3．零指数幂、负整数指数幂： 任何不等于零的数的零次幂都等于 1，即 a0＝ 1 (a≠0)．任何不等于零的数的－p(p 是正整数)次幂，等
于这个数的 p 次幂的倒数，即 a－p＝a1p(a≠0，p 是正整 数)．
4．实数的运算：
A．在点 A，B 之间，更接近点 B B．在点 A，B 之间，更接近点 A C．在点 B，C 之间，更接近点 B D．在点 B，C 之间，更接近点 C
【解析】 (1)2019 的倒数是20119，20119的相反数是－20119. (2)∵|c|＞|a|＞|b|， ∴点 C 到原点的距离最大，点 a 其次，点 b 最小． 又∵AB＝BC， ∴原点 O 的位置是在点 A 与点 B 之间，更接近点 B．
(2)相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数 是另一个数的相反数．记做：a 的相反数为 －a .0 的相反 数是 0 ．若 a，b 互为相反数，则 a＋b＝ 0 ．
(3)倒数：1 除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒
数．a 的倒数为
1 a
(a≠0)，
0
没有倒数．若 a，b 互为倒
是
.
【解析】 ∵一列数为 1，－2，4，－8，16，－32，…， ∴这列数的第 n 个数可以表示为(－2)n－1. ∵其中某三个相邻数的积是 412， ∴设这三个相邻的数为(－2)n－1，(－2)n，(－2)n＋1， 则(－2)n－1·(－2)n·(－2)n＋1＝412， 即(－2)3n＝(22)12，∴(－2)3n＝224， ∴3n＝24，解得 n＝8， ∴ 这 三 个 数 的 和 是 ( － 2)7 ＋ ( － 2)8 ＋ ( － 2)9 ＝ ( － 2)7×(1 － 2 ＋ 4) ＝ ( － 128)×3＝－384.
75＝16807，…，
∴个位数字每 4 个数为一循环．
∵(2019＋1)÷4＝505，1＋7＋9＋3＝20，
∴70＋71＋72＋…＋72019 的结果的个位数字是 0.
【答案】 A
1．本课主要考查实数的有关概念和运算，常以选择题、 填空题、基本计算题的形式出现．实数运算的“三个 关键”：(1)运算法则；(2)运算顺序；(3)运算律的应用．