专题18.2 特殊的平行四边形

第十八章 平行四边形

18.2 特殊的平行四边形

1．矩形的定义：

（1）有一个角是直角的平行四边形叫做__________，也称为长方形．

（2）矩形的定义有两个要素：①四边形是__________；②有一个角是__________．二者缺一不可． 【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形．

2．矩形的性质：

（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．

（2）矩形的性质可综述为：①矩形的对边__________； ②矩形的对角相等且四个角都是__________； ③矩形的对角线__________；

④矩形是__________，对边中点所确定的直线是它的__________，矩形有__________对称轴． （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等．

3．直角三角形斜边上的中线的性质：

直角三角形斜边上的中线等于__________．

【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线．

4．矩形的判定：

（1）有一个角是直角的__________是矩形； （2）有三个角是__________的四边形是矩形； （3）对角线__________的四边形是矩形． 【注意】（1）判定矩形的常见思路

有三个角是直角→矩形四边形对角线相等→矩形

平行四边形有一个角是直角→矩形⎧⎪

⎧⎨⎨⎪

⎩⎩

（2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．（3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．

5．菱形的定义：

（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做__________．

菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形．

（2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法．

6．菱形的性质：

（1）菱形具有平行四边形的所有性质．

（2）菱形的四条边都__________．

（3）菱形的两条对角线__________，并且每一条对角线__________一组对角．

（4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴．

【注意】菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等．（5）菱形的面积等于__________乘积的一半．

7．菱形的判定：

（1）一组邻边__________的平行四边形是菱形．

（2）对角线__________的平行四边形是菱形．

（3）四条边__________的四边形是菱形．

（4）对角线__________的四边形是菱形．

【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的．

8．正方形的定义：

（1）有一组邻边__________并且有一个角是__________的平行四边形叫做正方形．

（2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）；

②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）．

（3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．

9．正方形的性质：

（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地：

①正方形的四个角都是__________，四条边都__________；

②正方形的两条对角线__________并且互相__________，每条对角线__________一组对角．

（2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．10．正方形的判定：

（1）根据正方形的定义；

（2）有一组邻边相等的__________是正方形；

（3）有一个角是直角的__________是正方形；

（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．

K知识参考答案：

1．（1）矩形；（2）平行四边形；直角2．（2）①平行且相等；②直角；③互相平分且相等；④轴对称图形；对称轴；两条3．斜边的一半4．（1）平行四边形；（2）直角；（3）相等5．（1）菱形6．（2）相等；（3）互相垂直；平分；（5）两条对角线的7．（1）相等；（2）互相垂直；（3）都相等；（4）互相垂直平分8．（1）相等；直角9．（1）①直角；相等；②相等；垂直平分；平分

10．（2）矩形；（3）菱形

K—重点矩形的性质与判定；菱形的性质与判定；正方形呃性质与判定

K—难点利用矩形的性质进行证明和计算；矩形判定定理的证明及运用；正方形的性质、判定的应用方法

K—易错对矩形的判定方法的理解

一、矩形的性质

1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，即：矩形＝平行四边形＋一个内角是直角．

2．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．

【例1】如图，在矩形ABCD 中，1205BOC AB ︒∠==，，则BD 的长为

A ．5

B ．10

C ．12

D ．13

【答案】B

【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∠BOC =120°，∴AO =BO ，∠AOB =60°，∴△AOB 是等边三角形， ∴BO =AB =5，∴BD =2BO =10．故选B ．

二、矩形的判定

1．定义法；

2．对角线相等的平行四边形是矩形； 3．对角线平分且相等的四边形是矩形； 4．有三个角是直角的三角形是矩形． 【例2】下列说法正确的是

A ．有一组对角是直角的四边形一定是矩形

B ．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形

C ．对角线互相平分的四边形是矩形

D ．对角互补的平行四边形是矩形 【答案】D

【解析】∵有一组对角是直角的四边形不一定是矩形，∴选项A 不正确； ∵有一组邻角是直角的四边形不一定是矩形，∴选项B 不正确； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项C 不正确； ∵对角互补的平行四边形一定是矩形，∴选项D 正确；故选D ．