新教材5.1任意角和弧度制 5.1.1任意角 教案

2020-2021学年新教材人教A版必修第一册5.1.1 任意角教案
【素养目标】
1．了解任意角的概念，能区分各类角的概念．(数学抽象)
2．掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．(直观想象)
3．理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题．(数学运算)
4．能够根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，为以后的学习打好基础．(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中，学生应用运动的观点来理解角的定义，其关键是抓住角的终边和始边，在学习时提升自己的数学抽象及直观想象等素养．
必备知识·探新知
基础知识
知识点一角的概念
角可以看成一条________绕着端点旋转所成的图形．
思考1：定义中当射线旋转时有几种旋转方向？
提示：根据旋转方向，射线在旋转时，有逆时针、顺时针和不作任何旋转三种旋转方向．知识点二角的表示
顶点：用O表示；
始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；
终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．
思考2：(1)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？
(2)你能说出角的三要素吗？
提示：(1)不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．
(2)角的三要素是顶点、始边、终边
知识点三角的分类
思考3：(1)正角、负角、零角是根据什么区分的？
(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？
提示：(1)角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的．
(2)不一定．零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°
等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转． 知识点四 象限角
如果角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 思考4：把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限的角？
提示：象限角是指当角的始边与x 轴的非负半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说这个角是第几象限角．如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个角不在任何象限内，又叫轴线角．
知识点五 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}____，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 思考5：反过来，若角α，β满足S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}时，角α，β是否是终边相同的角？
提示：当角α，β满足S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}时，表示角α与β相隔整数个周角，即角α，β终边相同．
基础自测
1．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [解析] 正角有126°，99°共2个．
2．将射线OM 绕端点O 按逆时针方向旋转120°所得的角为( ) A ．120° B ．－120° C ．60° D ．240°
3．(2018·济南外国语期中)下列各角中，与－1 110°的角终边相同的角是( ) A ．60° B ．－60° C ．30° D ．－30°
[解析] －1 110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同． 4．若－30°角的始边与x 轴的非负半轴重合，现将－30°角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是_________.
[解析] 因为逆时针方向旋转为正角，所以α＝－30°＋2×360°＝690°.
5．图中从OA 旋转到12,,OB OB OB 时所成的角度分别是_________、___________、________.
[解析] 题图中(1)中的角是正角，α＝390°，题图中(2)中的角，一个是负角、一个是正角，β＝－150°，γ＝60°.
关键能力·攻重难
题型一 任意角的概念
例1、下列命题正确的是()
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
[分析]角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量．
[解析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．[归纳提升]关于角的概念问题的处理
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
【对点练习】❶如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在
此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝__________.
[解析]由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°
题型二终边相同的角
例2、已知角α＝2 020°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几
象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
[分析]先求出β，判断角α所在的象限；用终边相同的角表示θ满足的不等关系，求出k 和θ.
[解析](1)由2 020°除以360°，得商为5，余数为220°.∴取k＝5，β＝220°，α＝5×360°＋220°.又β＝220°是第三象限角，∴α为第三象限角．
(2)与2 020°终边相同的角为k·360°＋2 020°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2 020°<720°(k∈Z)．
解得－611
18≤k<－311
18(k∈Z)．所以k＝－6，－5，－4.
将k的值代入k·360°＋2 020°中，得角θ的值为－140°，220°，580°.
[归纳提升] 1.把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
3．象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
(1)象限角：
(2)轴线角：
【对点练习】❷ 若将例题中“角α＝2 020°”改为“α＝－315°”，其他条件不变，结果如何？
[解析] (1)∵α＝－360°＋45°，∴α是第一象限角． (2)与－315°终边相同的角为k ·360°－315°(k ∈Z )，令－360°≤k ·360°－315°<720°(k ∈Z )， 解得－18≤k <23
8(k ∈Z )，所以k ＝0,1,2.将k 值代入k ·360°－315°中，
得所求角为－315°，45°和405°. 题型三 象限角的确定
例3、若α是第一象限角，则2α，α
2
分别是第几角限角？
[分析] 由α是第一象限角可知k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )，则2α，α
2的范围分别为
2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )，k ·180°<α
2<k ·180°＋45°(k ∈Z )．再通过对整数k 分类讨论
即可得结果．
[解析] 因为k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )，所以2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )．所以2α是第一、二象限角或终边落在y 轴非负半轴上的角． 又k ·180°<α
2
<k ·180°＋45°(k ∈Z )，
所以当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α
2<n ·360°＋45°.
所以α
2
是第一象限角．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，
n ·360°＋180°<α2<n ·360°＋225°，所以α2是第三象限角．故α
2是第一、三象限角．
[归纳提升] 已知α角所在象限，判角nα，α
n
(n ∈Z )所在象限的方法
(1)若已知角α是第几象限角，判断α2，α
3等是第几象限角，主要方法是解不等式并对整数k
进行分类讨论．求解题的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略．
(2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．
【对点练习】❸ 若φ是第二象限角，那么φ
2
和90°－φ都不是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
[解析] ∵φ是第二象限角，∴k ·360°＋90°<φ<k ·360°＋180°，k ∈Z ，∴k ·180°＋45°<
φ2
<k ·180°＋90°，k ∈Z ，即φ2终边是第一或第三象限角，而－φ显然是第三象限角，∴90°－φ
是第四象限角，故选B ．。