上杭县中都中学届九级上第一次月考数学试卷及答案解析

福建省龙岩市上杭县中都中学2015届九年级上学期第一次月考数学试卷
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（4分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）
A．（x+1）2=2（x+1）B．+﹣2=0 C．a x2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1
2．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
3．（4分）方程x2=x是解是（）
A．x=1 B．x=0 C．x1=1，x2=0 D．x1=﹣1，x2=0
4．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）
A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 5．（4分）使分式的值等于0的x的值是（）
A．2B．﹣2 C．±2 D．±4
6．（4分）已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（）
A．1B．0C．﹣1 D．2
7．（4分）若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是（）
A．14 B．16 C．30 D．32
8．（4分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）
A．x（x+1）=1035 B．x（x﹣1）=1035×2 C．x（x﹣1）=1035 D．2x（x+1）=1035
9．（4分）某饲料厂一月份生产饲料500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，则有（）
A．500（1+x2）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+2x）=720 D．720（1+x）2=500
10．（4分）一个面积为120的矩形苗圃，它的长比宽多2米，则苗圃长是（）
A．10 B．12 C．13 D．14
二、填空题：（每小题4分，共28分）
11．（4分）把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：，二次项为，一次项系数为，常数项为．
12．（4分）请写出一个有一根为x=2的一元二次方程．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．
14．（4分）若（m+1）x m（m+2）﹣1+2mx﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是．
15．（4分）已知方程x2+kx+3=0的一个根是﹣1，则k=，另一根为．
16．（4分）已知一个三角形的两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2﹣14x+48=0的一个根，则这个三角形的周长为．
17．（4分）某种细菌分裂，一个细菌经过两轮分裂后，共有256个细菌，每轮分裂中平均一个细菌分裂了个细菌？
三、解答题：（82分）
18．（30分）解下列方程：
（1）（2x﹣1）2=9 （2）x2+3x﹣4=0 （3）（x+4）2=5（x+4）
（4）x2+4x=2 （5）x2﹣4x+4=0 （6）（y﹣1）2+2y（1﹣y）=0．
19．（10分）上杭冠超市销售一种西服，原来每件销售价是625元，现在进行促销，该西服经过两次降价后的价格为484元；上杭新华都超市也有一款西服，原价为1000元，经过两次降价后的价格为810元．两家超市都声称自己的衣服平均每次降低百分率比对方多．同学们，你怎么看？
20．（10分）（1997•安徽）在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使实验地面积为570m2，问道路应为多宽？
21．（10分）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：（1）求4△3的值；
（2）求（x+2）△5=0中x的值．
22．（10分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20
千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
23．（12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC 向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某点时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
福建省龙岩市上杭县中都中学2015届九年级上学期第一
次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（4分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）
A．（x+1）2=2（x+1）B．+﹣2=0 C．a x2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1
考点：一元二次方程的定义．
分析：本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解答：解：A、化简后为x2﹣1=0符合一元二次方程的定义，正确；
B、不是整式方程，故错误；
C、方程二次项系数可能为0，故错误；
D、化简后为2x+1=0不含二次项，故错误．
故选：A．
点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
考点：根的判别式．
专题：计算题．
分析：先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解答：解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
3．（4分）方程x2=x是解是（）
A．x=1 B．x=0 C．x1=1，x2=0 D．x1=﹣1，x2=0
考点：解一元二次方程-因式分解法．
分析：先移项得到x2﹣x=0，然后利用因式分解法解方程．
解答：解：x2﹣x=0，
x（x﹣1）=0，
所以x1=0，x2=1．
故选C．
点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
4．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）
A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
考点：解一元二次方程-配方法．
专题：计算题．
分析：方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
解答：解：方程移项得：x2﹣2x=5，
配方得：x2﹣2x+1=6，
即（x﹣1）2=6．
故选：B
点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．（4分）使分式的值等于0的x的值是（）
A．2B．﹣2 C．±2 D．±4
考点：分式的值为零的条件．
分析：根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解答：解：由分式的值为零的条件得x2﹣4=0，x﹣2≠0，
由x2﹣4=0，得x=2或x=﹣2，
由x﹣2≠0，得x≠2，
所以x=﹣2，
故选：B．
点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
6．（4分）已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（）
A．1B．0C．﹣1 D．2
考点：一元二次方程的解；代数式求值．
专题：计算题．
分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2﹣m的值．解答：解：把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0可得：m2﹣m﹣1=0，
即m2﹣m=1；
故选A．
点评：此题应注意把m2﹣m当成一个整体．利用了整体的思想．
7．（4分）若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是（）
A．14 B．16 C．30 D．32
考点：一元二次方程的应用．
专题：数字问题．
分析：设这两个连续偶数为x、x+2，根据“两个连续偶数的积是224”作为相等关系列方程x（x+2）=224，解方程即可求得这两个数，再求它们的和即可．
解答：解：设这两个连续偶数为x、x+2，则x（x+2）=224
解之得x=14或x=﹣16（舍去）
则x+2=16
即这两个数为14，16，
所以这两个数的和是30，
故选C．
点评：考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，用代数式表示两个连续的偶数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
8．（4分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）
A．x（x+1）=1035 B．x（x﹣1）=1035×2 C．x（x﹣1）=1035 D．2x（x+1）=1035
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：其他问题．
分析：如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．
解答：解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=1035．
故选C．
点评：本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
9．（4分）某饲料厂一月份生产饲料500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，则有（）
A．500（1+x2）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+2x）=720 D．720（1+x）2=500
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：由于某饲料厂一月份生产饲料500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，那么二、三月份分别生产500（1+x）吨、500（1+x）2，由此即可列出方程．
解答：解：依题意得
500（1+x）2=720．
故选B．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，是增长率的问题，解题的关键利用了增长率的公式a（1+x）2=b．
10．（4分）一个面积为120的矩形苗圃，它的长比宽多2米，则苗圃长是（）
A．10 B．12 C．13 D．14
考点：一元二次方程的应用．
专题：几何图形问题．
分析：设矩形苗圃的宽为x米，然后表示出长，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．
解答：解：设矩形苗圃的宽为x米，则长为（x+2）米，
根据题意得：x（x+2）=120
解得：x=10或x=﹣12（舍去）
x+2=10+2=12m
∴苗圃的长为12米，宽为10米．
故选B．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意设出矩形的长和宽，然后根据矩形的面积的计算方法得到方程求解即可．
二、填空题：（每小题4分，共28分）
11．（4分）把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：x2﹣6x+5=0，二次项为x2，一次项系数为﹣6，常数项为5．
考点：一元二次方程的一般形式．
分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解答：解：把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：x2﹣6x+5=0，二次项为x2，一次项系数为﹣6，常数项为5．
点评：去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
12．（4分）请写出一个有一根为x=2的一元二次方程x2﹣2x=0．
考点：一元二次方程的解．
专题：开放型．
分析：由于x=2时，x（x﹣2）=0，则方程x（x﹣2）=0满足条件．
解答：解：当x=2时，x（x﹣2）=0，
所以方程x2﹣2x=0的一个解为2．
故答案为：x2﹣2x=0．
点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞．
考点：根的判别式．
分析：若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
解答：解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=﹣1，c=﹣m
∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＞0，
解得m＞﹣，
点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
14．（4分）若（m+1）x m（m+2）﹣1+2mx﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是﹣3．
考点：一元二次方程的定义．
分析：本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解答：解：由题意得：
解得m=﹣3，
故答案为：﹣3．
点评：考查一元二次方程的定义的运用；一元二次方程注意应着重考虑未知数的最高次项的次数为2，系数不为0．
15．（4分）已知方程x2+kx+3=0的一个根是﹣1，则k=4，另一根为﹣3．
考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．
分析：可设出方程的另一个根，根据一元二次方程根与系数的关系，可得两根之积是3，两根之和是﹣k，即可列出方程组，解方程组即可求出k值和方程的另一根．
解答：解：设方程的另一根为x1，
又∵x2=﹣1
∴解得x1=﹣3，k=4．
故本题答案为k=4，另一根为﹣3．
点评：此题也可先将x=﹣1代入方程x2+kx+3=0中求出k的值，再利用根与系数的关系求方程的另一根．
16．（4分）已知一个三角形的两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2﹣14x+48=0的一个根，则这个三角形的周长为19．
考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
专题：综合题．
分析：易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可．
解答：解：解方程x2﹣14x+48=0得第三边的边长为6或8，
依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，∴三角形的周长=2+8+9=19．
故答案为：19．
点评：综合考查了解一元二次方程﹣因式分解法和三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．
17．（4分）某种细菌分裂，一个细菌经过两轮分裂后，共有256个细菌，每轮分裂中平均一个细菌分裂了15个细菌？
考点：一元二次方程的应用．
分析：设每轮繁殖中平均一个细苗繁殖了x个细菌，根据一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，列出代数式，求出符合题意的x即可．
解答：解：设每轮繁殖中平均一个细苗繁殖了x个细菌，根据题意得：
1+x+x（1+x）=256，
解得：x1=15，x2=﹣17（舍去）；
答：每轮繁殖中平均一个细苗繁殖了15个细菌，
故答案为：15．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出代数式．
三、解答题：（82分）
18．（30分）解下列方程：
（1）（2x﹣1）2=9 （2）x2+3x﹣4=0 （3）（x+4）2=5（x+4）
（4）x2+4x=2 （5）x2﹣4x+4=0 （6）（y﹣1）2+2y（1﹣y）=0．
考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．
分析：（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程；
（3）先移项得到（x+4）2﹣5（x+4）=0，然后利用因式分解法解方程；
（4）利用配方法解方程；
（5）利用因式分解法解方程；
（6）利用因式分解法解方程．
解答：解：（1）2x﹣1=±3，
所以x1=2，x2=﹣1；
（2）（x+4）（x﹣1）=0，
所以x1=﹣4，x2=1；
（3）（x+4）2﹣5（x+4）=0，
（x+4）（x+4﹣5）=0，
所以x1=﹣4，x2=﹣1；
（4）x2+4x+4=6，
（x+2）2=6，
x+2=±，
所以x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；
（5）（x﹣2）2=0，
所以x1=x2=2；
（6）（y﹣1）2﹣2y（y﹣1）=0，
（y﹣1）（y﹣1﹣2y）=0，
所以y1=1，y2=﹣1．
点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．也考查了直接开平方法、配方法解一元二次方程．
19．（10分）上杭冠超市销售一种西服，原来每件销售价是625元，现在进行促销，该西服经过两次降价后的价格为484元；上杭新华都超市也有一款西服，原价为1000元，经过两次降价后的价格为810元．两家超市都声称自己的衣服平均每次降低百分率比对方多．同学们，你怎么看？
考点：一元二次方程的应用．
专题：增长率问题．
分析：分别求得两种西服的降价的百分率后比较即可确定答案．
解答：解：设上杭新华都超市西服每次降价的百分率为x，由题意，得
1000（1﹣x）2=810，
解得x1=0.1=10%，x2=1.9=190%（不合题意，舍去）．
设上杭冠超市西服每次降价的百分率为y，由题意，得
625（1﹣y）2=484，
解得x1=0.12=12%，x2=1.88=188%（不合题意，舍去）．
答：上杭冠超市的降价的百分率高；
点评：本题考查了运用降低率问题解决实际问题的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题的关键是找到等量关系建立方程．
20．（10分）（1997•安徽）在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使实验地面积为570m2，问道路应为多宽？
考点：一元二次方程的应用．
专题：几何图形问题；压轴题．
分析：本题中，试验地的面积=矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽x，可根据此关系列出方程求出x的值，然后将不合题意的舍去即可．
解答：解：设道路为x米宽，
由题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=570，
整理得：x2﹣36x+35=0，
解得：x=1，x=35，
经检验是原方程的解，但是x=35＞20，因此不合题意舍去．
答：道路为1m宽．
点评：对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积﹣截去的面积．
21．（10分）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：（1）求4△3的值；
（2）求（x+2）△5=0中x的值．
考点：解一元二次方程-直接开平方法．
专题：新定义．
分析：（1）根据规则为：a△b=a2﹣b2，代入相应数据可得答案；
（2）根据公式可得（x+2）△5=（x+2）2﹣52=0，再利用直接开平方法解一元二次方程即可．解答：解：（1）4△3=42﹣32=16﹣9=7；
（2）由题意得（x+2）△5=（x+2）2﹣52=0，
（x+2）2=25，
两边直接开平方得：x+2=±5，
x+2=5，x+2=﹣5，
解得：x1=3，x2=﹣7．
点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
22．（10分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
考点：一元二次方程的应用．
专题：销售问题；压轴题．
分析：设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
解答：解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）=6000，
整理，得x2﹣15x+50=0，
解这个方程，得x1=5，x2=10．
要使顾客得到实惠，应取x=5．
答：每千克水果应涨价5元．
点评：解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额=每千克盈利×日销售量．
23．（12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC 向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某点时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
考点：一元二次方程的应用；勾股定理．
分析：（1）设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米，用x表示出△PCQ的边长，根据面积是8可列方程求解．
（2）假设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，列出方程看看解的情况，可知是否有解．
解答：解：（1）设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米，由题意得：
（6﹣x）•2x=8，
x=2或x=4，
当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米；
（2）不存在．
理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得：
（6﹣y）•2y=××6×8
y2﹣6y+12=0．
△=36﹣4×12＜0．
方程无解，所以不存在．
点评：本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法，和一元二次方程的解的情况．。