2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高二下学期开学考试数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高二下学期开学考试
数学试题
一、单选题
1．（上海市崇明区2018届高三4
月模拟）若1是关于x 的实系数方程
20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）
A ．2b =， 3c =
B ．2b =， 1c =-
C ．2b =-， 3c =
D ．2b =-， 1c =-
【答案】C
【解析】
由题意可得：(
)()2
110b c +++=，
则：(
)()120b c -++++=， 整理可得：(
)()10b c i +-+=，
据此有：10
b c +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，
求解方程组可得：2
3b c =-⎧⎨=⎩
. 本题选择C 选项.
2．关于x ，y ，z 的三元一次方程组()1
232136ax y z x ay z x a y z ⎧++=⎪
++=⎨⎪+++=⎩
解的情况是（ ）
A ．一组解
B ．一组解或无穷多组解
C ．一组解或无解
D ．无解
【答案】B
【解析】分别计算D,,,x y z D D D ,并对a 讨论求解即可 【详解】
2111111
1(1),2
1132136213
x a D a
a D a
a a a ==-==-++
1111
1
210,1
2(21)(1)363
3216
y z a a D D a
a a a ===--+
当1a ≠，110211x y z D x D a D y D D a x D a ⎧==⎪-⎪
⎪==⎨⎪
-⎪==⎪-⎩
方程组有唯一解
当 1 ,0y z x a D D D ====
即方程组为123336x y z x y z x y z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
，方程组无解
故选：B 【点睛】
本题考查行列式与方程组的解，考查运算能力，是基础题
3．双曲线C 的左、右焦点为1F ，2F ，P 为C 右支上的动点（非顶点），I 为12F PF ∆的内心.当P 变化时，I 的轨迹为（ ） A ．直线的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．双曲线的一部分 D ．无法确定
【答案】A
【解析】将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点Q 的横坐标，PF 1﹣PF 2＝F 1Q ﹣F 2Q ＝2a ，F 1Q +F 2Q ＝F 1F 2解出OQ ，可得结论． 【详解】
如图设切点分别为M ，N ，Q ，则△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标与Q 横坐标相同． 由双曲线的定义，PF 1﹣PF 2＝2a ＝4．
由圆的切线性质PF 1﹣PF 2＝F 1M ﹣F 2N ＝F 1Q ﹣F 2Q ＝2a ， ∵F 1Q +F 2Q ＝F 1F 2＝2c ， ∴F 1Q ＝a +c ，F 2Q ＝c ﹣a ，
∴OQ ＝OF 2﹣QF 2＝c ﹣（c ﹣a ）＝a ．
∴△F 1PF 2内切圆与x 轴的切点坐标为（a ，0）， ∴当P 变化时，I 的轨迹为直线的一部分． 故选：A ．
【点睛】
本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义,注意切线长相等的应用 4．已知两点51,
4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，54,4B ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，给出下列曲线方程：
（1）4210x y +-=；（2）2
2
3x y +=；（3）22
14
y x -=；
（4）22
14y x +=，在曲线上存在点P 满足PA PB =的所有曲线是（ ） A ．（1）（2）（3）（4） B ．（2）（3） C ．（1）（4） D ．（2）（3）（4）
【答案】B
【解析】求出线段MN 的垂直平分线方程，然后分别和题目给出的四条曲线方程联立，利用判别式判断直线和曲线的交点情况，从而判断给出的曲线上是否存在点P ，使得||P A |＝|PB |． 【详解】 由A （1，
54），B （﹣4，5
4
-）， 得
()55144142
AB
k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--，A 、B 的中点坐标为（3
2-，0）， ∴AB 的垂直平分线方程为y ﹣0＝﹣2（x 3
2
+
），即y ＝﹣2x ﹣3． （1）∵直线y ＝﹣2x ﹣3与直线4x +2y ﹣1＝0平行， ∴直线4x +2y ﹣1＝0上不存在点P ，使|P A |＝|PB |； （2）联立22
233y x x y =--⎧⎨
+=⎩
，得5x 2+12x +6＝0，△＝122
﹣4×5×6＝24＞0． ∴直线y ＝﹣2x ﹣3与x 2+y 2＝3有交点，曲线x 2+y 2＝3上存在点P 满足|P A |＝|PB |；
（3）联立2223
14y x y x =--⎧⎪
⎨-
=⎪⎩
，得1312x =-，方程有解，
∴直线y ＝﹣2x ﹣3与x 2
24y -=1有交点，曲线x 2
24
y -=1上存在点P 满足|P A |＝|PB |；
（4）联立2223
14y x y x =--⎧⎪⎨+=⎪⎩
，得8x 2+12x +5＝0，△＝122
﹣4×
8×5＝﹣16＜0． ∴直线y ＝﹣2x ﹣3与x 2
24+=y 1没有交点，曲线x 2
24
+=y 1上不存在点P 满足|P A |＝
|PB |．
∴曲线上存在点P 满足|P A |＝|PB |的所有曲线是（2）（3）． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了曲线与方程，训练了线段的垂直平分线方程的求法，考查了利用判别式法判断两条曲线的位置关系，是中档题．
二、填空题 5．复数
2
i
的虚部是______. 【答案】-2
【解析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 【详解】
()()
222i i i i i -==--,故虚部为-2 故答案为：-2 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题． 6．直线342x t
y t
=+⎧⎨
=-⎩（t 是参数，t R ∈）的一个方向向量是______.
【答案】（1，14
-
） 【解析】化直线的参数方程为普通方程为：x +4y ﹣11＝0，由直线的方向向量得：该直
线的斜率k 14=-，即该直线的一个方向向量为（1，14
-），得解． 【详解】 将直线342x t
y t =+⎧⎨
=-⎩
（t 是参数，t ∈R ）化为普通方程为：x +4y ﹣11＝0，
可得该直线的斜率k 1
4
=-
， 即该直线的一个方向向量为：（1，14
-） 故答案为：（1，1
4
-） 【点睛】
本题考查了直线的参数方程与普通方程的互化及直线的方向向量，属简单题．
7．已知椭圆2
221x y a
+=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若
123F F FF =，则a =________
【解析】由抛物线的标准方程可得其焦点坐标为1,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 设椭圆的焦点坐标为：()()12,0,,0F c F c -， 则：1211,0,,022F F c FF c ⎛⎫⎛
⎫=+=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
由题意有：11,03,022c c ⎛⎫⎛⎫+=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则：11322c c ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，
求解关于c 的方程可得：1c =，则：a ==.
8．已知点(23)A ，
，(1,0)B ，动点P 在y 轴上，当||||PA PB +取最小值时，点P 的坐标为______. 【答案】()0,1
【解析】作出A 关于y 轴的对称点()'2,3A -,连接'A B ,与y 轴交于P ,即为所求，求出直线AB 的方程，令0x =可得P 的坐标. 【详解】
作出A 关于y 轴的对称点()'2,3A -, 连接'A B ,与y 轴交于P ,即为所求， 此时PA PB +取最小值'A B ， 由'A B 的斜率为
30
121
-=---， 可得方程()1y x =--， 令0x =，可得1y =， 即为()0,1P ，故答案为()0,1. 【点睛】
解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
9．已知复数(),z a bi a b R =+∈，满足1z =，则ab 的最小值是______. 【答案】12
-
【解析】由1z =得,a b 的关系，再利用基本不等式求最值即可 【详解】 ∵|z |＝1，
=1，即a 2+b 2＝1，
则1＝a 2+b 2
≥2|ab |，当且仅当|a |=|b |=
2
等号成立 即|ab |12
≤， 则12-
≤ab 12
≤，， 故答案为：1
2
-
【点睛】
本题主要考查复数模长的应用，结合基本不等式求最值是解决本题的关键．
10．已知{}n a 是无穷等比数列，若{}n a 的每一项都等于它后面所有项的k 倍，则实数k 的取值范围是______.
【答案】（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．
【解析】无穷等比数列{a n }的各项和为A ，前n 项和为S n ，公比为q ，0＜|q |≤1，q ≠1．可
得A 11a q =-，S n ()
111n
a q q
-=-，由题意可得：a n ＝k （A ﹣S n ），代入化为：k ()1n q q q -=，分类讨论即可得出． 【详解】
解：无穷等比数列{a n }的各项和为A ，前n 项和为S n ，公比为q ，0＜|q |≤1，q ≠1．
则A 11a q =-，S n ()
111n
a q q
-=-，
由题意可得：a n ＝k （A ﹣S n ）， ∴a 1q ＝k （
(
)11
111n
a q a q
q
----），
化为：k ()1n
q q q
-=
，
1＞q ＞0时，k ＞0，n →+∞时，k →+∞．
﹣1≤q ＜0时，可得：n 为偶数时，k ∈（﹣∞，﹣2]；n 为奇数时，k ＞0． ∴k ∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）． 综上可得：k ∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式及其性质、极限性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
11．已知12F F 、是双曲线()22
22100x y a b a b
-=＞，＞的左、右焦点,过点1F 且斜率为2
的直线l 交双曲线的左支于点P,若直线2PF l ⊥，则双曲线的渐近线方程是__________. 【答案】2y x =±
【解析】先求出过点1F 且斜率为2的直线的方程，再利用垂直关系得出直线1PF 的方程，求出它们的焦点坐标及点P 的坐标，利用点P 在双曲线上，代入求得,,a b c 的关系式，
进而求得其渐近线的方程，得到答案． 【详解】
由题意，过过点1F 且斜率为2的直线l 的方程为2()y x c =+，
因为2PF l ⊥，所以直线1PF 的斜率为12
-
，所以直线1PF 的方程为1
()2y x c =--，
两直线联立方程组，解得交点P 的坐标为34(,)55
c c
-，如图所示，
将点P 代入双曲线的方程，可得22
22
34()()551c c a b --=，整理得
22222291625b c a c a b -=，
又由222b c a =-，代入得2
2
2
22
2
2
2
9()1625()c a c a c a c a --=-，
整理得4224950250c a c a -+=，解得225c a =，可得224b a =，即2b a =， 所以双曲线的渐近线的方程为2y x =±． 故答案为：2y x =±．
、
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
12．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，24a =，平面内三个不共线的向量OA ，
OB ，OC 满足()()()*
1112,n n n OC a OA a a OB n n N -+=-++≥∈，若点A ，B ，C
在同一直线上，则2019S =______. 【答案】8
【解析】由题意得出a n ﹣1+a n +1＝a n ，由S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，a 2＝4，得到数列{a n }是以6为周期的周期数列，前6项为2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，由此能求出
S 2019 【详解】
因为OC =（1﹣a n ）OA +（a n ﹣1+a n +1）OB （n ≥2，n ∈N ），A ，B ，C 在同一直线上， 则a n ﹣1+a n +1+1﹣a n ＝1，∴a n ﹣1+a n +1＝a n ， ∵S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，a 2＝4，
∴数列{a n }为：2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，… 即数列{a n }是以6为周期的周期数列，前6项为2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2， ∵2019＝6×336+3，
∴S 2019＝336×（2+4+2﹣2﹣4﹣2）+2+4+2＝8． 故答案为：8 【点睛】
本题考查数列的前n 项和的求法，考查周期数列、共线向量性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 13．已知平面向量a ，b ，c 满足a b ⊥，且{}
{},,1,2,3a b c =，则a b c ++的最大值是______.
【答案】3【解析】分别以a b ，所在的直线为x ，y 轴建立直角坐标系，分类讨论：当{|a |，|b |}
＝{1，2}，|c |＝3，设()c x y ，=，则x 2+y 2
＝9，则a b c ++=（1+x ，2+y ），有
|+
+a b c |=的最大值，其几何意义是圆x 2+y 2
＝9上点（x ，y ）
与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可． 【详解】
分别以a b ，所在的直线为x ，y 轴建立直角坐标系， ①当{|a |，|b |}＝{1，2}，|c |＝3，则()12a b +=，，
设()c x y ，=，则x 2+y 2
＝9，
∴a b c ++=（1+x ，2+y ），
∴|+
+a b c |的最大值，其几何意义是圆x 2+y 2
＝9上点（x ，y ）
与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为3=3
②当{|a |，|b |}＝{1，3}，|c |＝2，则()13a b +=，，x 2+y 2＝4， ∴a b c ++=（1+x ，3+y ） ∴|+
+a b c
|=x 2+y 2
＝4上点（x ，y ）
与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为
2=
2， ③当{|a |，|b |}＝{2，3}，|c |＝1，则()23a b +=，，
设()c x y ，=，则x 2+y 2
＝1
∴a b c ++=（2+x ，3+y ） ∴|+
+a b c
|=x 2+y 2
＝1上取
点（x ，y ）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为
1=
1
∵133++++ 故|+
+a b c |的最大值为
3
故答案为：
3【点睛】
本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r +d （r 为该圆的半径，d 为该点与圆心的距离）．
14．设m 为实数，若{}
22
250()|{30()|250x y x y x x y x y mx y -+≥⎧
⎫⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎬⎪⎪+≥⎩⎭
，，，则m 的取
值范围是 ． 【答案】403
m ≤≤ 【解析】【详解】
如图可得
440033
m m -≤-≤∴≤≤ 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()1202n n n a S S n -+⋅=≥，11
2
S =
，设n n b na =，则以下四个命题：（1）1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；（2）{}n b 中最大项是1b ；（3）{}
n a 通项公式是()
1
21n a n n =-
-；（4）lim 0n n a →∞=.其中真命题的序号是______. 【答案】（1）（2）（4）
【解析】运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，即可判断（1），（3），由数列的单调性可判断（2），（4）． 【详解】
a n +2S n ﹣1•S n ＝0（n ≥2），S 11
2
=
， 可得S n ﹣S n ﹣1＝﹣2S n ﹣1•S n ＝0（n ≥2），即有
1
11
n n S S --=2， {1n S }是首项、公差均为2的等差数列，故（1）正确； 可得1
n S =2+2（n ﹣1）＝2n ，即S n 12n
=， 可得a 1＝S 112
=，n ≥2时，a n ()121n n =--，对n ＝1不成立，故（3）错误；
由a n ()
1
21n n =-
-在n ≥2递增，当n →∞时，可得n lim →∞a n ＝0，故（4）正确； b n ＝na n ()
1
12
1221n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥-⎪⎩，，，可得n ≥2时，b n 递增，且b n ＜0，
则{b n }中最大项是b 1，故（2）正确． 故答案为：（1）（2）（4）． 【点睛】
本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义和通项公式的运用，以及数列的单调性，考查化简运算能力和推理能力，注意利用S n 1
2n
=求a n 检验首项是否成立属于中档题．
16．已知函数()2
1
x f x x -=
-与()1g x mx m =+-的图像相交于点A ，B 两点，若动点P 满足4PA PB +=，则点P 的轨迹方程是______.
【答案】（x ﹣1）2+（y ﹣1）2
＝4．
【解析】函数f （x ）21x x -=
=-11
1
x --，可得f （x ）的对称中心为Q （1，1）．直线g （x ）＝mx +1﹣m 即y ＝m （x ﹣1）+1，经过定点Q （1，1）．可得两图象相交的两点A ，B 关于点Q 对称．设A （x 0，y 0），B （2﹣x 0，2﹣y 0）．设P （x ，y ）．利用动点P 满足|PA PB +|＝4，即可得出． 【详解】 函数f （x ）21x x -=
=-111
x --，可得f （x ）的对称中心为Q （1，1）． 直线g （x ）＝mx +1﹣m 即y ＝m （x ﹣1）+1，经过定点Q （1，1）． 则两图象相交的两点A ，B 关于点Q 对称． 设A （x 0，y 0），B （2﹣x 0，2﹣y 0）．设P （x ，y ）． ∵PA PB +=（2﹣2x ，2﹣2y ）．
∵动点P 满足|PA PB +|＝4，
=4，
化为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2
＝4． 故答案为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4．
【点睛】
本题考查了函数的对称性、轨迹方程、向量坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推
理能力与计算能力，准确推理两函数均关于点（1,1）对称是关键，属于中档题．
三、解答题
17．已知复数z 满足2641i
z i
-+=
--. （1）求复数z 的共轭复数z ；
（2）若w z ai =+，且w z ≤，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）82z i =--（2）﹣4≤a ≤0
【解析】（1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出； （2）利用复数模的计算公式、一元二次不等式的解法即可得出． 【详解】 （1）()()2614822
i i z i -++=
-=-+，
∴82z i =--．
（2）由（1）z =w ＝﹣8+（2+a ）i ，
∴w =
=
∵|w |≤|z |，
则68+4a +a 2≤68，a 2
+4a ≤0，﹣4≤a ≤0，
所以，实数a 的取值范围是：﹣4≤a ≤0． 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算公式、一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．
18．已知定点()0,1A ，()0,1B -，()1,0C ，动点P 满足2
AP BP k CP ⋅=. （1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型； （2）当2k =时，求AP BP +的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）[2，6]
【解析】（1）设P （x ，y ），则AP =（x ，y ﹣1），BP =（x ，y +1），CP =（x ﹣1，y ），
动点P 满足AP BP ⋅=k |CP |2．可得x 2+y 2﹣1＝k [（x ﹣1）2+y 2
]，对k 分类讨论即可得
出．
（2）当k ＝2时，方程为：（x ﹣2）2+y 2
＝7．由|AP BP +|＝|（2x ，2y ）|＝求
出原点到圆心的距离d ．即可对称|AP BP +|的取值范围． 【详解】
（1）设P （x ，y ），则AP =（x ，y ﹣1），BP =（x ，y +1），CP =（x ﹣1，y ）， ∵动点P 满足AP BP ⋅=k |CP |2． ∴x 2+y 2﹣1＝k [（x ﹣1）2+y 2]，
k ＝1时，化为：x ﹣1＝0，此时点P 的轨迹为直线． k ≠1时，化为：2()1
k x k -
+-y 2
21(1)k =-．
由21(1)k -＞0，得点P 的轨迹为圆，圆心为01k k ⎛⎫
⎪-⎝⎭
， （2）当k ＝2时，方程为：（x ﹣2）2+y 2＝1．
|AP BP +|＝|（2x ，2y ）|＝．
原点到圆心（2,0）的距离d ＝22-1=1，最大为2+1=3
∴|AP BP +|＝[2，6]．
【点睛】
本题考查了圆的定义标准方程及其性质、分类讨论方法、向量坐标运算性质、数量积运算性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．从数列{}n a 中取出部分项组成的数列称为数列{}n a 的“子数列”.
（1）若等差数列{}n a 的公差0d ≠，其子数列{}
n k a 恰为等比数列，其中11k =，25k =，317k =，求12n k k k ++⋅⋅⋅+；
（2）若32n a n =-，4n n b =，判断数列{}n b 是否为{}n a 的“子数列”，并证明你的结论. 【答案】（1）3n
﹣1﹣n （2）见解析
【解析】（1）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，求得首项和公差的关系，可得等比数列的公比，结合等比数列的通项公式，可得k n ＝2•3n ﹣1
﹣1，再由数列的分组
求和，即可得到所求和；
（2）数列{b n }为{a n }的“子数列”．由3k ﹣2＝4n ，可得3k ＝4n
+2，运用二项式定理即可
得证． 【详解】
（1）等差数列{a n }的公差d ≠0，其子数列{a n k }恰为等比数列， 其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，可得a 1k =a 1，a 2k =a 5，a 3k =a 17，
且有a 52＝a 1a 17，即（a 1+4d ）2
＝a 1（a 1+16d ），
化为a 1＝2d ，则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝（n +1）d ， 子数列{a n k }为首项为2d ，公比为5
1
a a =3的等比数列， 则a n k =2d •3
n ﹣1
＝（k n +1）d ，可得k n ＝2•3n ﹣1
﹣1，
则k 1+k 2+…+k n ＝（2+6+…+2•3n ﹣1
）﹣n
(
)21313
n -=
--n ＝3n
﹣1﹣n ；
（2）若a n ＝3n ﹣2，b n ＝4n
，数列{b n }为{a n }的“子数列”． 由3k ﹣2＝4n ，可得3k ＝4n
+2，
由4n ＝（1+3）n ＝1+C 1
n •3+C 2
n •32
+…+3n ，
即有4n +2＝3（1+C 1
n +C 2n •3+…+3n ﹣1
），显然为3的倍数，
故数列{b n }为{a n }的“子数列”． 【点睛】
本题考查数列的新定义的理解和运用，以及等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
20．设复数(),x yi x y R β=+∈与复平面上点(),P x y 对应.
（1）若β是关于t 的一元二次方程()2
20t t m m R -+=∈的一个虚根，且
2β=，求
实数m 的值；
（2）设复数β满足条件()()31331n
n
a a ββ++--=+-（其中*n N ∈、常数
3,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
），当n 为奇数时，动点(),P x y 的轨迹为1C ，当n 为偶数时，动点(),P x y 的轨迹为2C
，且两条曲线都经过点(D ，求轨迹1C 与2C 的方程；
（3）在（2）的条件下，轨迹2C 上存在点A ，使点A 与点()()00,00B x x >的最小距
，求实数0x 的取值范围.
【答案】（1）m ＝4；（2）C 1的方程是：22
136x y -=（
x ≥，C 2的方程是：221123x y +=．
（3
）00x ≤＜
或0x ≥． 【解析】（1）由实系数方程虚根成对，利用韦达定理直接求出m 的值．
（2）方法一：分n 为奇数和偶数，化出a 的范围，联立双曲线方程，求出a 值，推出双曲线方程即可．
方法二：由题意分a 的奇偶数，联立方程组，求出复数β，解出a ，根据双曲线的定义求出双曲线方程．
（3）设点A 的坐标，求出|AB |表达式，根据x 范围，x
的对称轴讨论002
x ≤
＜
，02x ＞
时，|AB |
的最小值，不小于3
，求出实数x 0的取值范围． 【详解】
（1）β是方程的一个虚根，则β是方程的另一个虚根， 则2
||4m βββ⋅===，所以m ＝4
（2）方法1：①当n 为奇数时，| β +3|﹣| β﹣3|＝2a ，常数3
32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，），
轨迹C 1为双曲线一支，其方程为22
22
19x y a a -=-，x ≥a ； ②当n 为偶数时，| β +3|+| β﹣3|＝4a ，常数332
a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，），
轨迹C 2为椭圆，其方程为22
22
1449
x y a a +=-； 依题意得方程组422242
22421445990449
421536019a a a a a a a a ⎧+=⎪⎧-+=⎪-⇒⎨⎨-+=⎩⎪-=⎪-⎩
解得a 2
＝3，
因为3
32
a ＜＜
，所以a =
此时轨迹为C 1与C 2的方程分别是：22
136
x y -=，
x ≥，221123x y +=．
方法2：依题意得334333332a a a a ββββββ⎧++-=⎧+=⎪⎪
⇒⎨⎨
-=+--=⎪
⎩⎪⎩ 轨迹为C 1与C 2
都经过点(2D
，且点(2D
对应的复数2β=+，
代入上式得a =
即33ββ+--=C 1是双曲线，方程为22
136x y -=；
33ββ++-=对应的轨迹C 2是椭圆，方程为22
1123x y +=．
（3）由（2）知，轨迹C 2：22
1123
x y +=，设点A 的坐标为（x ，y ）
， 则2
2
2
2
2001||()()34
AB x x y x x x =-+=-+-
22
220000334123()34433
x x x x x x x =-++=-+-
，0x ⎡∈-⎣
当04
03
x ≤＜
即002
x ≤
＜
时，2
20014||3033min AB x x =-≥⇒≤＜
当
043x ＞
0x
时，00|min AB x x =-≥⇒≥，
综上00x ≤＜
0x ≥． 【点睛】
本题考查复数的基本概念，轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合问题，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．
21．抛物线22y x =的准线与x 轴交于点M ，过点M 作直线l 交抛物线于A ，B 两点. （1）求直线l 的斜率的取值范围；
（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于()0,0N x ，求证：03
2
x >； （3）若直线l 的斜率依次为
12，14，18，…，1
2
n ，…，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为1N ，2N ，3N ，…，n N ，…，求
12231111
n n
N N N N N N -++⋅⋅⋅+. 【答案】（1）k ∈（﹣1，0）∪（0，1）；（2）见解析（3）1
11194n -⎡⎤
⎛⎫
-⎢⎥ ⎪
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
【解析】（1）求得抛物线的准线方程，可得M 的坐标和直线l 的方程，联立抛物线方程，运用判别式大于0，即可得到所求范围；
（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），运用韦达定理和中点坐标公式，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得AB 的垂直平分线方程，可令y ＝0，求得x ，即可得证； （3）设N m （x m ，0），求得142
m
m x =
+，所以1114434m m m m m N N ---=-=⋅，由等比数列的求和公式，即可得到所求和． 【详解】
（1）抛物线y 2
＝2x 的准线为x 12
=-
， 102M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，设l ：12y k x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
联立直线与抛物线的方程：()
2222
2120242y k x k k x k x y x
⎧⎛
⎫=+⎪ ⎪⇒+-+=⎝
⎭⎨⎪=⎩
（）． 因为l 交抛物线于两点，所以k ≠0且二次方程（）根的判别式△＞0，
即（k 2﹣2）2﹣k 4
＞0，
解得k ∈（﹣1，0）∪（0，1）； （2）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由韦达定理可得2122
2
k x x k -+=-，()1212
21y y k x x k +=++=， 所以AB 中点的坐标为22
212k k k ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭，， 所以AB 中垂线方程为221122k y x k k k ⎛⎫
--=-+ ⎪⎝⎭
，
令y ＝0，可得0211322
x k =
+＞． （3）设N m （x m ，0），由直线l 的斜率依次为111
1248
2
n ，，，，，， 可得x m 2
11
2k =+， 则142
m
m x =
+， 所以1
1144
34m
m m m m N N ---=-=⋅，
1223
111
1
13n n
N N N N N N -+++
=（1
114
4n -++）
13
=•
111144114n -⎛⎫- ⎪⎝⎭-， 所以
1
1223
111
1
11194n n n N N N N N N --⎡⎤
⎛⎫
+++=-⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
． 【点睛】
本题考查抛物线的方程和性质，同时考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。