数学建模与数学实验第二讲§2

可知 : μ与一健康人与病人接触并被感染的概率 λ、人们在一天中平均接触的人数 m成正比,而 且随人群总数量 n 增加而增加。对于μ与当前 病人的数量 i 之间的关系则是先增加而后减少 的变化，且当 i=n/2时达到最大。
mi (n i ) i mi (1 ) n n
为了对这各模型的表达式 (※) 和 (※※) 有一 个直观的了解, 用一组数据进行描述。设m =20、 λ =0.1，对不同的 i，计算μ和σ／μ：
mi i (i 1) m 2 mi p2 1 (1 ( ) ) n 1 2! n 1 n
一天中健康人被感染的人数也服从二项分 布，所以每天平均被感染人数：
mi ( n i ) μ=sp2=(n－i)p2 n
(※)
Hale Waihona Puke 此式给出了健康人每天平均被感染人数μ 与已知参数 n, i, m,λ的关系。由二项分布的标 准差(绝对误差估计式)公式可知：
由于任何二人接触是相互独立的，显然一 健康人每天接触的人数服从二项分布。根据假 设2：每人每天平均与 m人接触,，由二项分布 的平均值公式及人群总数 n，所以，任何二人 接触的概率 p 满足： m =(n -1) p 所以 m
p
n 1
再根据假设3：当健康人与一病人接触时, 健康人可能被感染的概率为λ，并记一健康人 与一名指定病人接触并被感染的概率为 p1，则：
m p1 p n 1
为求一健康人一天内被感染的概率 p2，我 们知道其至少接触了一个病人，则
p2 C p (1 p1 ) k 1 m i i 1 (1 p1 ) 1 (1 ) n 1
k i k 1
i
ik
将上式展开成级数，并注意到 n>>m>1，得：

i

0.01n 0.0198n
0.05n 0.095n
0.1n 0.18n
0.25n 0.375n
0.5n 0.5n 0
0.75n 0.375n
7.0 n
3.1 n
2.1 n
1.2 n
随着 i 的增加 n/2 每天的平均感染 人数μ，先增后 减，但 i>0.5n 的 情况基本不存在。
o
μ
i/n
由于 n 次试验的独立性, 则事件A在指定的 k 次中出现而在其余 n-k试验中不出现的概率为 pk(1-p)n-k 由组合计算方法知： n 次重复独立试验中事件 A恰好出现 k 次的概率Pn(k)为 Pn(k)=Cnkpk(1-p)n -k (k=0,1,2,…,n) 上式右端恰好为[(1- p)+ p]n按二项式展开的项， 所以此问题被称为服从二项分布。其数学期望 (即平均值)为： μ= n p 其标准差(即偏差度)为：
np(1 p)
模型构成：
建模的目的是寻找健康人中每天平均被感 染的人数与已知参数 n, i, m,λ的关系。为此需 要知道一健康人在一天内被感染的概率。而健 康人只要至少与一名病人接触并被感染，该健 康人即被感染。所以还要求出一健康人与一指 定病人接触并被感染的概率。这个概率为一健 康人与一名指定病人接触的概率乘以在接触时 被感染的概率λ 。 记任何二人在一天内接触的概率为 p, 这也 就是一健康人与一名指定病人接触的概率。
模型假设：我们不对传染病的感染机理和 人群的接触状况作具体分析，仅就一般问题作 出分析。 1. 人群只分病人和健康人两类，病人数和健 康人数分别记作 i 和 s，总数 n 不变，即 i +s=n 2. 人群中任何两人的接触是相互独立的，具 有相同的概率，每人每天平均与m人接触。 3. 当健康人与一病人接触时，健康人被感染 的概率为λ。 这里涉及到四个独立的参数：n , i , m, λ， 通常n , i 是已知的，而 m ,λ可以根据数据或经 验获得。
0.5 1
而对于μ误差估计式 σ/μ σ/μ, 随的增大而减小, 特别当 i<0.05n 时 3. 1 n
o
i/n
例如当 i=0.05n, n=10000时，能以95%的概 率保证，每天平均被感染人数约为950人, 且相 对误差约为±6.156%，即，此时每天平均被感 染人数的95%估计区间为(其中σ≈29.24) (950-2σ,950+2σ) =(950-58,950+58)=(892,1008).
§2 传染性的随机感染问题
这是一个简单的概率模型。 在某种可传染性疾病的发生期，人群中有 病人(称为带菌者)和健康人(易感染者)，任何两 人之间的接触是随机的，当健康人与病人接触 时，健康人是否被感染也是随机的。如果通过 实际数据或经验掌握了这些随机规律，那么， 怎样估计平均每天有多少健康人被感染？这种 估计的准确性有多大？
r P(A) n
例如, 从一批由90件正品3件次品的产品中 任意抽取一件，求取得正品的概率。
所有产品的数量为93件，而取得一件正品 这一事件A，只能在90件正品中抽取一件，才 能使A发生，所以，取得正品的概率P(A)为 90 30 P(A) 93 31 若一项试验是完全相同的一个试验的 n 次 重复，且它们是相互独立的，即每一次的结果 都不依赖与其它各次试验的结果，称这项试验 为重复独立试验。我们来讨论一个重要问题。 在一次试验中，事件A发生的概率为 p, 我 们来计算, n 次重复独立试验中事件A恰好出现 k 次的概率Pn(k)(0≤k≤n)。
sp2 (1 p2 ) p2 (1 p2 )(n i)
故
1 p2 n m i ( n i ) p2 m i(n i)
(※※)
此式就是平均值μ的相对误差。 模型解释：由健康人每天被感染概率 p2的 近似表达式
mi p2 n
可知：其与一病人接触并被感染的概率λ、人 们在一天中平均接触的人数 m以及当前病人的 人数 i 成正比而与人群总数量 n 成反比。 同样由健康人每天被感染的平均人数μ的 近似表达式(※)
为了解释和建立这个模型，我们需要简单 介绍一些概率的知识。 在所考虑的一个随机问题(称为试验)中, 所 有可能的结果(称为基本事件)数量是有限的, 且 它们出现的可能性是相等的且不会同时出现。 这种随机问题称为古典概型。 在古典概型中，一个随机事件A所包含的 基本事件的数量为 r，而试验的所有可能的结 果的数量为 n , 事件A发生的概率记为P(A), 则
模型评价： 该模型建立在对人群之间的接触、感染等 一些随机事件的概率假设的基础上。虽然这些 假设与实际情况有差异，但在对某种传染病的 传染情况尚未掌握进一步的规律和数据之前， 也只能作出这种初步的假设，以达到建模目的。 这个模型是静态的，但将健康人每天被感 染的人数进行累加，就可以得到当前时间的病 人数量，形成动态模型。 在以后我们将进一步介绍关于传染病问题 的各种不同类型的数学模型，包括，病人是否 可以治愈，治愈后是否具有免疫力等问题。