三维奇异摄动系统平衡点分析的快慢方法

第37卷第1期 (202丨年1月）
福建师范大学学报（自然科学版）
Journal of Fujian Normal University (Natural Science Edition)
Vol. 37，No. 1
Jan. 2021
DOI ： 10. 12046/j. issn. 1000-5277. 2021. 01. 005 文章编号：1000-5277(2021)01-0041-08
三维奇异摄动系统平衡点分析的快慢方法
吴宇航，沈建和
(福建师范大学数学与信息学院，福建福州350117)
摘要：通过定义三维空间中的奇异按点、奇异稳定（不稳定）结点和奇异鞍结点，并基于隐函数定理 和线性化技巧等，证明了具有两个快变量和一个慢变量的三维奇异摄动系统的奇异平衡点在摄动之后保持 为该系统的鞍点和结点.最后，将该理论直接应用于Bazykin 糢型平衡点类型和局部稳定性的的判断.
关键词：奇异摄动系统；奇异鞍点；奇异结点；奇异鞍结点 中图分类号：0174.52
文献标志码：A
A Slow-fast Approach for Analyzing Equilibria in
Three-dimensional Singularly Perturbed Systems
WU Yuhang, SHEN Jianhe
{College o f Mathematics and Informatics, Fujian form al University y Fuzhou 350117, China)
Abstract ： By defining singular saddle, singular stable (unstable ) nodes and singular saddle-
node in the three-dimensional space, and based on the implicit function theorem as well as linear­ization technique, it is proved that the singular equilibria mentioned above of a three-dimensional singularly perturbed system with two fast and one slow variables remain as the saddles and nodes of the full system after perturbation. Finally, the theory is applied to judge the types and local stability of the equilibria of the Bazykin model.
Key words ： singular perturbation system ；singular saddle ；singular nodes;singular saddle-node 奇异摄动系统的特点是其动力学在不同的尺度上演化.这类系统大量来自于生物学、化学和神经
生理学等领域奇异摄动系统的平衡点类型及其在临界流形上的位置，对于行波解、鸭振动和张 弛振荡等的产生有重要的影响.这可见Wang 等[4]关于带广义Holling-DI 功能响应的捕食和食饵模型鸭 解、同异宿轨和环性方面的工作，以及Zhou 等[5]关于Bazykin 模型具有扩散效应的分支研究.对于高 维奇异摄动系统，要判断其平衡点的类型已不存在理论上的困难.但是否可利用奇异摄动系统的多尺 度特征进行快慢分离、降维从而降低平衡点类型判断时的计算量？对于二维奇异摄动系统，Kuznetsov 等[6i 通过快慢分离，证明了奇异鞍点经摄动后变为鞍点，Shen[7]证明了奇异结点、奇异鞍点和奇异 同宿环的保持性.
对于具有两个快变量和一个慢变量的三维奇异摄动系统，是否可用快慢方法，迅速判断其平衡点 的类型和局部稳定性.考虑如下三维奇异摄动系统
f (x , y , z , A , s ),
g (x , y , z , A , e ) , ( 1)
e h (x , y , z ,
入，
s ).
dx dt dy ~d t dz ~d t
收稿日期：2020-09-01
基金项目：国家自然科学基金面上项目（11771082)
通信作者：沈建和（1980-)，男，教授，研究方向为应用微分方程.***************.cn
42
福建师范大学学报（自然科学版)2021 年
系统（1)为快系统，这里U , y , 2) E R 3,其中X , 7为快变量，Z 为慢变量，A e R 4为系统的参 数，0 < s 《1为摄动参数，/，g , h 为光滑函数.针对三维奇异摄动系统（1)平衡点类型（含退化情 形）及其局部稳定性的判断，本文基于奇异摄动的快慢方法，将其降维分解为二维的层系统和一维的
退化系统来进行；同时将该方法应用至如下Bazykin 生物模型
d u
d ^
T t =d ^J .
+ Pu( 1 _
K
f 3uv
d v
a u v
(2)
v ).
这里i )和K *，<)分别表示食饵和捕食者的密度，P ,心办及《为模型正的参数，详见文[8
11].不失一般性，令< =1(若需要可引人尺度变换达到此目的），则模型（2)化为
d u d 2 u / , z x 、
Buv
—=—-+ 〇u ( 1---)d ,
d ：
p u ( 1 -—) K
d v a u v
—=s {----：
d t
1 + u
(3)
通过本文的方法，可迅速判断得到模型（2)、（3)的平衡点的类型和局部稳定性.
引入慢时间尺度t = e «，可得系统（1)对应的慢系统
dx ■f (x , 7, z , A ,
£：),
dy
E Tr
dz
y ,
—-h (x , y ,
当s — 0时，分别得（二维的）层系统
dx dt dy dt dz dt
A x , y , g (x , y ,
0.
A , e ),
A ,
s
).
A , 〇),
,
A , 0),(4)
(5)
和（一维流形上的）退化系统
0 =f (x , y , z 0 = g (x , y ,;^ = h (x , y ,
A , 〇),
,A , 0),
i, A , 0).
(6)
其中 c A = K »，y ，z ) e R3:/(*，m A ，〇) = o ,#(m 2，A ，〇) = o 丨为（一维的）临界曲线•记y v A = | (m
2) E R3:A (；c ,y ，z ，A ，o ) = 〇丨，那么n y v A 的点，即为系统（1)、（4)的平衡点.
:维奇异摄动系统平衡点分析的快慢方法
记(ac 。

，y 。

，2，A )为层系统（5)的平衡点，其
中
A 为参数.那么，层系统(5)的平衡点在双曲
情形下有结点、焦点和鞍点等3种类型，在退化的情形下有鞍结点等.
定义 1
若（x 0, y 〇,
A 0)满足A (x 0, y 0,弋，A 0, 0) = 0且/iz (a :0，y 0, A 。

，0) < ( >、=)
〇,则U
，y 。

，〜，A 。

）为退化系统(6)的线性稳定（不稳定、退化）平衡点.
定义2
若满足下述条件之一，则（x Q ，y QA
,A 。

）为系统（1)的奇异稳定（不稳定）结点（见图1):
(1)若〇D , y 。

，A 。

）为层系统（5)的稳定（不稳定）结点，且y 。

，A 。

，0) = 0及
第1期
吴宇航，等：三维奇异摄动系统平衡点分析的快慢方法
43
h ：(x 〇, y 〇, 2C,
A 0, 0) < ( > ) 〇；
(2)若(a :。

，y。

，
A。

）为层系统（5)的稳定（不稳定）焦点，且/i (x。

，y。

，
A。

，0) = 0及
h ,(xo , 7〇,
A 〇. °) < ( > ) 〇•
在图1及下面所有的图中，标有双箭头和单箭头的轨道，分别代表快轨和慢轨.
定义3 若满足下述条件之一，则U 。

，九，为系统（1)的奇异鞍点（见图2):
(1)
若（*。

，y0, 2C, A0)为层系统（5)的鞍点，且 /i (A t 0，y。

，2r, A0, 0) = 0 及 /i 2(;«0，y0, z c,
A0, 0) < ( >) 0；
(2) 若(x 。

，y 。

，z r, A 。

）为层系统（5)的稳定（不稳定）结点，且/i (%, y 。

，A 〇, 0) = 0及
hX xo, J 〇, 2C . A o. °)
> ( < ) °；
(3) 若(*。

，y 。

，
A 。

）为层系统（5)的稳定（不稳定）焦点，且/K *。

，y 。

，弋，A 。

，0) = 0及
hX x 〇, y 〇, z c» A 〇. °) > ( <) 〇•
注释l 若层系统或退化系统的平衡点为退化平衡点，则类似地可定义系统（1)、（4)许多类 型的奇异退化平衡点.
定义4 若u 。

，y 。

，
A 。

）为层系统（5)的双曲平衡点，且满足/K *。

，y 。

，A 。

，0) = 0以及
&U 。

，y 。

，
A 。

，〇) = 〇，则（*〇，y 。

，A , A 。

）为系统（1)的退化平衡点.
基于奇异摄动问题的快慢分解方法，接下来证明奇异鞍点、奇异结点和奇异鞍结分支点经过扰动 后仍然是系统（1)的鞍点和结点.定理1若A =AD 时，S (A D) = (*D, y 。

，A 。

）是系统（1)的奇异鞍点；见图2,则当0 <
1, A
时，S (A 。

）经过扰动后变为系统（1)的鞍点S (A ).
证明设临界曲线的鞍分支为;c =*(Z ，A ), y =y (Z ，A )，满足如下方程组
图1 奇异稳定（不稳定）结点Fig. 1
Singular stable (unstable) nodes
A ), y (z , A ), 2, A , 0) = 0,
[g {x {z y A ), y (z 9 A ), z , A , 0) = 0.
根据隐函数定理有
dz
' dz
dx
g 'T ,+
+ g ： = 〇
•
44
福建师范大学学报（自然科学版)2021 年
进一■步可得
Fig. 2 Singular saddles
dx _ f y g
z - f 2g y
d z
g x f y -
f x
g y
在上述的鞍分支上，极限慢流的控制方程为:
dy _ g J t
忐
g j y ~L g y
dz -j - = h (x (z , A ), 7(2, A ), z , A , 0).
接下来以奇异鞍点为例进行证明.由定义
dx h v
dz
+ h
可知，在点S ( A 。

）附近有dz
h x (g j y - g
/J
+
h y (g x f 2 ~f x g z )
+
g j
、
-
S y L
考虑层系统（5)的雅可比矩阵
(L
/,
L
J x =g x g y g z
l 〇
00
< 0.
其特征方程为
- (/, + g r )^ + (/,<?, ~fy g x)) = 0-
由于S ( A 。

）是层系统（5)的鞍点，因此
(/, + g v ) 2 - 4(L g y ~
f y g
j
>
〇,
且两个特征值满足M l > 〇，A < 〇，即=/名-/j ,
< 〇.从而有
第1期
吴宇航，等：=维奇异摄动系统平衡点分析的快慢方法
45
M
=
h t (g
J
y - g
J
J
+ h
y i g j ,^ ~f x g z )
+ h
z (f x g y - g x f y ) <
〇, (7)
这里偏导数均在U u,九，I ，A8)取值•
接下来考虑系统（1)的雅可比矩阵
其特征方程为
，L fy L 、h =
g .gy g .
eh ,
s K
M 3 - (/, + g r + s h ,)^2 + (/v <§-v -f ,g
x - E f -.h , - E g ：h y +
+ s
- e ^
=
〇■
(8)
记三个特征根分别为和A y ，那么根据盛金公式和特征值关于参数的连续性，当A —A。

，0 < e 《1时有
M ,., +^2.s
+ ^.e =L
+ g, +
I A - A0 I ) =^t, +^2 + 0(e , I A - A0 I ),
=
e (〇j + 0(1 A - A0 I ) ) <0,
+ (M
i
.£ + ^
1,E )^. C =L g y -f y g x
+ 〇(e , I A - A0 I ) < 0 =：
M 1M 2 + , I A - A 〇 I ) <0,
以上的偏导数亦在(h ,/。

，,A 。

）取值，0表示阶符，w 如式（7)所示.综上可知：当A —A 。

时必有
弘,.e —^=0(1) >0#〇—>/t 2=0(l ) <0，/x 2.e =O (f f ) >0.
因此，奇异鞍点经过扰动后是系统（1)的鞍点（具有二维的不稳定流形和一维的稳定流形）.
当奇异鞍点见图2/所示时（层系统的不稳定焦点+退化系统的线性稳定平衡点），设（％, 7|)，
A 。

）是层系统（5)的不稳定焦点，与先前关于层系统的类似分析有//_,=0和Re (A i2) >0, Re(/x3) > 0，且
^2^3 =L g , ~f y g X > 0，
^2 +M 3 =
f x
+ g y
>
〇,
从而有
w > 0.
当0 < e 《1时，对特征方程（8)关于e 在M 处做泰勒展开得
对式（8)两边关于s 求导得
:弘，
d
〇(s 2),，2, 3.
尝 _ 2(乂 +
_ e /〇从尝 + /!_—弘：+ (/tgY + «；〇 三+A>x_w = 0’
d fJ L
de
这里义=C />: -/A t) + (贫人 —-g :/i y)•将s = o 时；x = o 代人上式得
如I . 0
又/#、.-/、.&> 〇，从而
因此
(Lgy ~L g M -
M x ..
d s
ds
)-〇)-0.
< 0.
Mi . £ < 〇■
综上，系统（1)见图2/所示的奇异鞍点经过扰动后为系统（丨）鞍点（具有二维的不稳定流形和一维的 稳定流形）.其余情形同理可证，略.
定理2 若A =A。

时，S(AQ) = (*Q，y。

，A。

）是系统（1)的奇异稳定（不稳定）结点；见图1,
则当0<£《1, A ~A。

时，S(AD)经过扰动后变为系统（1)的稳定（不稳疋）结点S( A ).
证明类似于定理1,略.
注释2 从上述定理的证明过程可知：式（7)定义的w =«(A )是系统（1)的平衡点类型判断的重
46
福建师范大学学报（自然科学版)
2021 年
要指标•然而，当〇；(人。

）=0时，此时，见式（8)
可知系统（1
)
的平衡点为退化的.
那么，如何用奇异摄动的快慢分解法判断确定情形下退化平衡点的类型，见定理3.记 Z /(2, A ) = "(X (2T ，A )，y (2，A )，2，A , 0)•
定理
3 若(X 。

，
y n , z ,
A )是层系统（5)的双曲平衡点；而（*。

，y 。

，AQ )是退化系统（6)的
鞍结分支点，即满足
H (z c, \0) = H !(z c, A 〇) = 0, H ,(z c, A 0) #0, H J z c, A 0) = 0,
即 A = A 〇 时，S (A 。

）= (*f l , y 。

，A 。

）是系统（1)
的奇异鞍结平衡点，见图3,则当0 <
A ~
A 。

时，S (A 。

）经过扰动后变为系统（1)的鞍点 S 丨（A )
和结点S 2(A ).
证明类似于定理1，通过确定扰动后式（7) 所示的w 的符号，即可证明，略.
2 Bazykin 模型的多平衡点及其分支
引入行波变换T ； = X + Ct ，其中C > 0为波速， 则系统（3)化为如下三维的奇摄动系统
图3
奇异鞍结分支点
Fig. 3 Singular saddle-node point
du
I t
du ) u —-=c w - p u ( 1 - —) +
a t K
puv
dv
auv
引人慢时间尺度则系统(9)的慢系统为
du e — - w ,
dr
v ).
dw ~dr
cw ~ p u {\
u
~K
fiuv
令s = 分別得到层系统
和退化系统
d v oluv
d r
一
1 + u
d u ~dt =w ,
d w ~dt =c w
d v d t
=0.
r 〇 =
=M ，，U
~K
/3uv
0 = cw - p u ( 1
u
~K
(3uv
(9)
(10)
dv auv
—=----;一 v .dr 1 + u
这里乙：二
V , w ) I M ； = 0 ,u = 0!和 S := |(W ，t »，M 〇l M ；=0，f =
1 + a 2) ( 1 - 7) I 为临界
P
尺
第1期吴宇航，等：三维奇异摄动系统平衡点分析的快慢方法
47
曲线，其中z >(0,0，|)为次临界分支点，^(^0，〃,）和C U 2,0，I ；2)为非法向双曲点，见图4.
令之二状2-12,则0〈尺<万、和a :>V 5"分
别对应临界曲线三种不同的拓扑.下设尺>71.
命题1对于系统（9)，其正平衡点有如下三
种情况：
(1)
若尺>71，a>2，系统（9)有两个正平衡
点，分别记为 £ (“,*，〇, 〇, F (u2*，0, <);
(2) 若尺>V J ，a = 2,系统（9)有一个正平衡
占.
图4系统（11)的临界曲线
(3)若尺 >7J , a <2,系统（9)无正平衡点 _
Fig . 4 The critical curve of system (11)
下面总假设久>万，《>2,即主要讨论临界曲线上有两个临界点的情况.
命题2
层系统（11)的平衡点有如下的分类：
(1) 若c 2&4 (p -决），L 上满足ue (0，i )和u s (i , +»)的点分别为层系统（11)的不 稳定结点和鞍点；
(2) 若^“（3广2巧+1)>〇, s 上满足(0, U|) u u e (“，，幻的点为层系统（11)
K (1+u )
的鞍点；
(3) ^ c2+4pU (3；-~~2^+1)^〇, S 上满足UE (Ul, u2)的点为层系统（11)的不稳定结点；
K (\+u )
2+4pu _ (3u 2-2Ku +l ) <〇则$上满足u e (U |，
的点为层系统（11)的不稳定焦点.
K (1+u 2)
下面分析退化系统的慢轨.临界直线L 上都有慢流满足^ = -r <〇,因此，在正r 轴上慢流向下. 在临界曲线S 上的慢流满足
dv v ( au - u 2 — \ )dr
(12)
根据式（12),令// = a u -u2- 1，可以判断临界曲线S 上的慢流的方向，见图5.
关于Bazykm 模型平衡态的类型及其局部稳定性，根据以上的快慢方法，有如下结论.定理4
假
设
和
a > 2,那么，
(1) 若1^， u 2* e (0， u ,)或u * e (0, u ,)， u 2* e ( u2,尺’）或 u ,*， it 2* e ( u2，尺）或 u * e (0，
u ,)，u 2* e ( u ,，u 2)，且当 u 二 u,*，i = 1，2 时有 c2 + P ( -----—----^ > 0，则（u ,*，0, !；,•)和
A '( 1 + u )
(< ,0, < )均为系统(9)的鞍点•
(2)
若“广，《2* e (u ,，u 2)或 u ,* e (u ,，“2)，u 2* e (u2，尺），且当
4pu (3uz - 2Ku +1)
K (l
«,•，i = 1，2 时有 c2 + > 0,则（“f , 0, < )为系统(9)的不稳定结点，（< ,0, < )为系统（9)的鞍
(3)若“
,： e (it ,，u 2)或
e ( “,，
u 2)
，
“2* e ( «2，尺），且当
4p u (3u 2 - 2Ku + l
K (1
<，；=1，2 时有 c2 +
< 0,则（<，0, < )为系统(9)的不稳定结点，（<
，
0, < )为系统(9)
的鞍
48福建师范大学学报（卩丨然科学版)2021 年
图5系统（9)的快慢流和平衡点
Fig. 5 The slow-fast flows and equilibriums of system (9)
参考文献：
[I]KEVORKIAN J, COLE J D. Perturbation methods in applied mathematics [M j.New York：Springer-Verlag, 1981.
[2I MALLEY R E. Singular perturbation methods in ordinary differential equations [ M ]. New Y ork：Springer-Verlag, 1991.
[3] BUTUZOV V F, NEFEDOV N, SCHNEIDER K R. Singularly perturbed problems in cases of exchange of stabilities [ J].
Journal of Mathematical Sciences, 2004, 121 (1)：1973-2079.
[4] WANG C, ZHANG X. Canards, heteroclinic and homoclinic orbits for a slow-fast |>redator-prey model of generalized
Holling type III . Journal of Differential Equations, 2019, 267 (6)：3397-3441.
[5J ZHOU J. Bifurcation analysis of a diffusive predator-prey model with Bazykin functional response [ J j. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2019, 29 ( 10) ：1950136.
[6] KUZNETSOV Y A, SIMONA S, KINALDI S. Homoclinic bifurcation in slow-fast secontl order systems [J].Nonlinear A-
nalysis, Theory, Methods and Applications, 1995, 25 (7)：747-762.
[7 ] SHEN J H. Canard limit cycles and global dynamics in a singularly perturbed predator-prey system with non-monotonic
functional response J . Nonlinear Analysis：Real World Applications, 2016, 31：146-165.
[8] BAZYKIN A. Nonlinear dynamics of interacting populations [ M]. Singapore：World Scientific, 1998.
[9] BANERJEE M, GHORAI S, MUKHERJEE N. Approximated spiral and target patterns in Bazykin's prey-predator model
[J].International Journal of Bifurcation and Chaos, 2017, 27 (3)：1750038.
[10]MCGEHEE E, SCHUTT N, VASQUEZ D, et al. Bifurcations, and temporal and spatial patterns of a modified Lotka-
Volterra model [J ]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2008, 18 (8) ：2223-2248.
[I I]DENG B, HINES G. Food chain chaos due to transcritical point [J].Chaos, 2003, 13 (2)：578-585.
(责任编辑：杨柳惠)。