2019-2020学年上学期高一期末考试备考精编金卷 数学(A卷) 教师版

2019-2020学年上学期高一期末考试备考精编金卷
数学（A ）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合2{0,,32}A m m m =-+，且2A ∈，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．0或3 D ．0或2或3
【答案】B
【解析】因为2A ∈，所以2m =或2
322m m -+=，解得0m =或2m =或3m =． 又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行检验，可得3m =， 故选B ．
2．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，
(2,)B b ，且2
cos 23α=，则||a b -=（ ）
A ．15
B
．
5
C
．5
D ．1
【答案】B
【解析】由题意知cos 0α>． 因为22cos 22cos 13
αα=-=
，所以cos α=
，sin α=
|tan |α=
由题意知|tan ||
|12
a b α-=-
，所以||a b -=
3．已知集合{|}A x x a =<，{|2}B x x =<，且()A B =R R ð，则a 满足（ ） A ．2a ≥ B ．2a > C ．2a < D ．2a ≤
【答案】A
【解析】{,2}B x x =≥R ð，∴则由()A B =R R ð，得2a ≥，故选A ． 4．sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=（ ） A
．-
B
．
C ．12
-
D ．
12
【答案】D
【解析】原式1sin 20cos10cos 20sin10sin(2010)2
=︒︒+︒︒=︒+︒=
． 5．对任意两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，且当仅当a c =，b d =； 运算“⊗”为(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++． 设,p q ∈R ．若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=（ ） A ．(0,4)- B ．(0,2)
C ．(4,0)
D ．(2,0)
【答案】D
【解析】∵(1,2)(,)(2,2)(5,0)p q p q p q ⊗=-+=，∴2520p q p q -=⎧⎨+=⎩，解得1
2p q =⎧⎨=-⎩．
∴(1,2)(,)(1,2)(2,0)p q p q ⊗=++=，故选D ．
6．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
（纵坐标不变），得到函数()y f x =的图象，再将函数()y f x =的图象向左平移
π
4
个单位，得到函数()y g x =的图象，则（ ）
A ．()()y f x g x =是偶函数
B ．函数()()f x g x +的图象的一个对称中心为π
(,0)8
C ．函数()()f x g x +的图象的一个对称轴方程为π
8
x =-
此
卷
只装
订不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
D ．函数()()f x g x +在(0,π)上的单调递减区间是π5π
[,]88
【答案】D
【解析】由题意可得()sin 2f x x =是奇函数，π
()sin 2()cos 24g x x x =+=是偶函数．
因为()y f x =是奇函数，()y g x =是偶函数，所以()()y f x g x =是奇函数，故A 错；
因为π
()()sin 2cos 22)4f x g x x x x +=+=+，
所以当π8x =
时，()()222
f x
g x π
+==，故B 错； 当π
8
x =-
时，()()200f x g x +==，三角函数图象的对称轴过最值点，故C 错； 由ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+，k ∈Z ，得π5πππ88
k x k +≤≤+，k ∈Z ， 即函数()()f x g x +的单调递减区间为π5π
[6π,π]()88k k ++∈Z ．
又(0,π)x ∈，所以
π5π
88
x ≤≤，所以D 正确，故选D ． 7．若函数2()2f x x ax =-+在区间[0,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,3) B ．(1,3)
C ．[1,3]
D ．[0,4]
【答案】C
【解析】因为函数2()2f x x ax =-+在区间[0,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数， ∴对称轴x a =应在1x =的右侧，3x =的左侧或与1x =，3x =重合， ∴13a ≤≤．
8．设函数π
()s i n ()c o s ()(0,||)2
f x x x ω
ϕωϕωϕ=+-+><的最小正周期为π，且
()()f x f x -=，则（ ）
A ．()f x 在π
(0,)2上单调递增
B ．()f x 在ππ
(,)22-上单调递减
C ．()f x 在π
(0,)2上单调递减
D ．()f x 在ππ
(,)22
-上单调递增
【答案】A
【解析】π
()sin()cos()2)4f x x x x ωϕωϕωϕ=+-+=+-，
∵()f x 的最小正周期为π，∴2ω=，∴π
()2)4f x x ϕ=+-．
∵()()f x f x -=，即()f x 为偶函数， ∴πππ()42k k ϕ-
=+∈Z ，∴3π
π()4k k ϕ=+∈Z ， ∵π||2ϕ<
，∴π
4
ϕ=-，∴()22f x x =， ∴()f x 在π(0,)2上单调递增，在π
(,0)2
-上单调递减，故选A ．
9．用min{,}a b 表示,a b 两个数中的最小值．设()min{2,4}f x x x =---，则()f x 的最大值为（ ） A ．2- B ．3-
C ．4-
D ．6-
【答案】B
【解析】由题意知4,1
()2,1x x f x x x -<⎧=⎨--≥⎩，所以max ()(1)3f x f ==-，故选B ．
10．函数ππ
()sin()(0,)22
f x x ωϕωϕ=+>-
<>的部分图象如图所示，则ϕ的值为（ ）
A ．π6-
B ．
π6 C ．π3
-
D ．
π3
【答案】D
【解析】根据图像可知，函数()f x 的周期2π
ππ
2()π36
T ω=
=⨯+=，则2ω=， 当1πππ
()26312
x =⨯-+=时，函数取得最大值，
所以πππsin(2)12π1262k ϕϕ⨯+=⇒+=+，π
2π3k k ϕ∈⇒=+Z ，k ∈Z ，
又ππ22ϕ-
<<，所以π3
ϕ=． 11．设0.3
3a =，πlog 3b =，0.3log c e =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a <<
C ．b a c <<
D ．c a b <<
【答案】B
【解析】∵3x y =是定义域上的增函数，∴0.30331a =>=．
又∵πlog y x =是定义域上的增函数，∴πππ0log 1log 3log π1=<<=． 又∵0.3log y x =是定义域上的减函数，∴0.30.3log log 10c e =<=． ∴c b a <<，故选B ．
12．设()|1|(1)f x x x x =-⋅+-，若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．5(1,)4
B ．5
(1,)4
-
C ．(0,1)
D ．(1,1)-
【答案】B
【解析】2
21,1
()|1|(1)1,1
x x x f x x x x x x x ⎧--+≤⎪=-+-=⎨-->⎪⎩，故函数()f x 的图象如图所示．
由图可知，当5
14
k -<<
时，函数图象与直线y k =有三个交点， 即关于x 的方程()f x k =有三个不同的实数解，故实数k 的取值范围是5
(1,)4
-．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设函数()f n k =（其中n ∈*N ），k 是π的小数点后的第n 位数字，π 3.1415926535=，
则{[(10)]}f f f = ． 【答案】3
【解析】(10)5f =，[(10)](5)9f f f ==，(9)3f =．
14．设θ为第二象限角，若π1
tan()42θ+=，在cos θ= ．
【答案】10
-
【解析】由已知可得
tan 111tan 2θθ+=-，解得1
tan 3
θ=-．
因为θ为第二象限角，所以cos 0θ<，
不妨设(3,1)P -为θ
终边上一点，则r =
，故cos θ= 15．已知23a =，37b =，则7log 56= ．（结果用,a b 表示） 【答案】
3
ab ab
+ 【解析】∵23a =，∴2lg3
log 3lg 2
a ==
， ∵37b =，∴3lg 7
log 7lg3
b ==
， ∴7lg3
lg33
lg56lg 7lg8lg 73lg 2
3log 56lg 7lg 7lg 7
lg3b ab a b ab
++++=
====．
16．若ππ(,)612θ∈-，且212sin 325θθ=-，则π
tan(2)12θ+= ．
【答案】
17
【解析】由212sin 325θθ+=-，得1
1cos 2325θθ-=-，
得6cos 2325θθ=，π62cos(2)35θ+=，即π3
cos(2)35θ+=，
又ππ(,)612θ∈-，所以ππ2(0,)32θ+∈，则π4
tan(2)33θ+=，
所以ππ
tan(2)tan
πππ134tan(2)tan[(2)]ππ12347
1tan(2)tan 34
θθθθ+-+=+-==++．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合{|22}A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或4}x ≥． （1）当3a =时，求A B ；
（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）{|11x x -≤≤或45}x ≤≤；（2）{|1}a a <．
【解析】（1）当3a =时，{|15}A x x =-≤≤，{|1B x x =≤或4}x ≥， ∴{|11A B x x =-≤≤或45}x ≤≤．
（2）①若A =∅，则22a a ->+，解得0a <，满足A B =∅；
②当0a ≥时，{|22}A x a x a =-≤≤+≠∅，
∵A B =∅，∴21
24a a ->⎧⎨+<⎩，解得01a ≤<．
综上，实数a 的取值范围是{|1}a a <．
18．（12分）已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,3)=b ，[0,π]x ∈． （1）若∥a b ，求x 的值；
（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．
【答案】（1）5π6；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π
6x =时，()f x 取到最小值23-
【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,3)=b ，∥a b ，所以33sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠，于是3
tan 3
x =-
． 又[0,π]x ∈，所以5π6
x =
． （2）π
()(cos ,sin )(3,3)3cos 323)6f x x x x x x =⋅=⋅-==+a b ．
因为[0,π]x ∈，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π3
1cos()6x -≤+≤
于是，当ππ
66
x +
=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当ππ6x +
=，即5π6
x =时，()f x 取到最小值23-． 19．（12分）已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==． （1）求()f x 的解析式；
（2）若()f x 在区间[2,1]a a +上不单调，求a 的取值范围； （3）若[,2]x t t ∈+，试求()y f x =的最小值． 【答案】（1）2()243f x x x =-+；（2）1
02
a <<
；（3）见解析． 【解析】（1）∵()f x 是二次函数，且(0)(2)f f =，∴()f x 图象的对称轴为1x =． 又y 的最小值为1，设2()(1)1(0)f x k x k =-+>，
又(0)3f =，∴2k =．∴22()2(1)1243f x x x x =-+=-+．
（2）要使()f x 在区间[2,1]a a +上不单调，则211a a <<+，∴102
a <<． （3）由（1）知，()y f x =的对称轴为1x =，
若1t ≥，则()y f x =在[,2]t t +上是增函数，2min 243y t t =-+；
若21t +≤，即1t ≤-，则()y f x =在[,2]t t +上是减函数，2min (2)243y f t t t =+=++； 若12t t <<+，即11t -<<，则min (1)1y f ==． 综上，当1t ≥时，2min 243y t t =-+； 当11t -<<时，min 1y =； 当1t ≤-时，2min 243y t t =++．
20．（12分）将函数()sin 2f x x =的图象向左平移π
6
个单位长度后得到函数()g x 的图象，设函数()()()h x f x g x =-． （1）求函数()h x 的单调递增区间；
（2）若π1
()63g α+=，求()h α的值．
【答案】（1）π5π[π,π]1212k k -
++，k ∈Z ；（2）1
3
-． 【解析】（1）由已知可得π
()sin(2)3g x x =+，
则ππ
()sin 2sin(2)sin(2)33
h x x x x =-+=-．
令πππ2π22π232k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，得π5π
ππ1212k x k -+≤≤
+，k ∈Z ． ∴函数()h x 的单调递增区间为π5π
[π,π]1212k k -++，k ∈Z ．
（2）由π1()63g α+=，得ππ2π1
sin[2()]sin(2)6333αα++=+=，
∴π1sin(2)33α-=-，即1
()3
h α=-．
21．（12分）若函数()f x 满足21
(lg )()1a a f x x a x
=
⋅--（其中0a >且1a ≠）． （1）求函数()f x 的解析式，并判断其奇偶性和单调性； （2）当(,2)x ∈-∞时，()4f x -的值恒为负数，求a 的取值范围． 【答案】（1）2
()()()1
x x a
f x a a x a -=
-∈-R ，奇函数，增函数；（2
）[2(1,23]+． 【解析】令log a x t =，则t x a =．∴2
()()1
t t
a f t a a a -=
--， ∴2
()()()1
x x a
f x a a x a -=
-∈-R ． ∵22
()()()()11
x x x x
a a f x a a a a f x a a ---=
-=--=---，()f x 为奇函数． 当1a >时，x
y a =为增函数，x
y a -=-为减函数，且2
2
01a a >-，∴()f x 为增函数； 当01a <<时，x
y a =为减函数，x
y a -=-为减函数，且2
2
01
a a <-，∴()f x 为增函数， ∴()f x 在R 上为增函数．
（2）∵()f x 是R 上的增函数，∴()4y f x =-也是R 上的增函数． 由2x <，得()(2)f x f <，要使()4f x -在(,2)-∞上恒为负数，
只需(2)40f -≤，即
222
()41
a
a a a --≤-． ∴4221
()41a a a a -≤-，∴214a a +≤，∴2410a a -+≤
，∴22a -≤≤+． 又∵1a ≠，∴a
的取值范围为[2(1,23]-+．
22．（12
分）已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x =+-∈R ．
（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间π
[0,]2上的最大值和最小值；
（2）若06()5f x =
，0ππ
[,]42
x ∈，求0cos 2x 的值．
【答案】（1）最小正周期为π，最大值为2，最小值为1-；（2343
-． 【解析】（1）2π
()3(2sin cos )(2cos 1)32cos 22sin(2)6f x x x x x x x =+-=+=+，
∴函数()f x 的最小正周期为π．
又π[0,]2x ∈，∴ππ7π2[,]666x +∈，∴π1
sin(2)[,1]62x +∈-，
∴函数()f x 在区间π
[0,]2上的最大值为2，最小值为1-．
（2）∵00π6()2sin(2)65f x x =+=，∴0π3
sin(2)65x +=．
又0ππ[,]42x ∈，∴0π2π7π
2[,]636
x +∈，
∴200ππ4
cos(2)1sin (2)665
x x +=-+=-，
∴0000ππππππ343
cos 2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 666666x x x x -=+-=+++=。