响水中学高二上学期数学学案：《第课时函数奇偶性》

一【基础训练】

1、已知f（x)＝ax2＋bx是定义在［a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b

的值是________．

2、设函数f（x)＝x3cos x＋1。若f（a）＝11，则f（－a)＝________.

3、设函数f(x）是定义在R上以3为周期的奇函数，若f(1)＞1，f

（2）＝错误!，则a的取值范围是________．

4、设函数f(x）是奇函数且周期为3，f(－1)＝－1，则f（2 014)＝

________

5、设奇函数f(x）在（0，＋∞）上为增函数，且f（1)＝0，则不等

式错误!＜0的解集为________．

二、【重点讲解】

1．奇、偶函数的概念

2．函数奇偶性的判断

（1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的______条件；（2)判断f(x）与f（－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x）＝0（奇函数)或f （x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立．

3．奇、偶函数的性质

（1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_______，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_______．

(2)在公共定义域内，

①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是______;

②两个偶函数的和、积都是______；

③一个奇函数，一个偶函数的积是_____．

（3）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性_____；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性_____．

(4）若f(x)为偶函数,则_______．

(5)若奇函数f(x）定义域中含有0,则必有_______．f（0)＝0是f（x)为奇函数的______条件．

（6）既奇又偶的函数有_____个（如f（x)＝0,定义域是关于原点对称的任意一个数集)．

3．周期性

（1)周期函数：

(2）最小正周期：

三、【典题拓展】

例1判断下列函数的奇偶性：

（1)f（x)＝错误!＋错误!;

(2)f(x)＝(x＋1）错误!;

（3）f（x)＝错误!.

下列函数：

①f(x)＝x3－x；②f(x)＝ln(x＋错误!)；③f（x）＝错误!；④f(x)＝lg 错误!。

其中奇函数的个数是________．

例2 设f（x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f(x）．当x∈［0，2]时，f(x）＝2x－x2。

（1)求证：f(x)是周期函数；

（2）当x∈[2，4]时,求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f（1)＋f（2)＋…＋f（2 013）．

已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x＋2)＝－错误!,当2≤x≤3时,f(x)＝x,则f（105。5）＝________.

例3设f（x)是(－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2）＝－f（x)，当0≤x≤1时，f(x）＝x.

(1)求f（π)的值；

（2)当－4≤x≤4时，求f（x)的图象与x轴所围成图形的面积；

(3）写出（－∞,＋∞)内函数f（x)的单调区间．

例4已知函数f（x）＝错误!（a≠0)是奇函数,并且函数f(x)的图象经过点(1，3）

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数f（x）的值域．

［来源:学科网ZXXK］

四、【训练巩固】

1．设函数f(x)＝x（e x＋a e－x) (x∈R）是偶函数，则实数a＝________。2．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f（x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2）时，f(x)＝2x2，则f（7）＝________.

3．函数f(x）对于任意实数x满足条件f(x＋2）＝错误!，若f（1）＝－5，则f(f（5）)＝________.

4．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x ＝1对称．

(1）求证:f(x)是周期为4的周期函数；

（2）若f（x)＝错误!(0<x≤1），求x∈[－5,－4］时,函数f（x)的解析式．

5.设f(x）＝log a 1－mx

x－1为奇函数，g（x）＝f（x)＋log a[(x－1)(ax＋1)］

（a＞1，且m≠1）．

（1）求m的值；

（2)求g(x）的定义域；

（3)若g(x）在错误!上恒正，求a的取值范围．