高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行课件 北师大版选修

置关系．
• 3．熟记判定直线平行或垂直的条件．
• 4．建立立体几何与空间向量的相互联系，把立体几何问题 转化为向量问题．
重点难点点拨
本节重点：利用向量来表示空间中的平行关系和垂直关系． 本节难点：如何实现线面位置关系与向量运算的联系．
知能自主梳理
• 1．垂直问题
• (1)直线与直线垂直：只要两直线的__________垂直，两直
• 4．利用向量知识判断直线、平面垂直
• 垂直问题包括：直线与直线垂直，常用两直线的方向向量的 数量积为0来判断；直线与平面垂直，常用直线的方向向量 与平面的法向量共线来判断；平面与平面垂直，常用法向量 垂直来判断．用向量知识来探讨空间的垂直问题与平行问题 类似，主要研究向量的共线或垂直，可以用向量的基本运算 进行，当几何体比较特殊时，构建空间直角坐标系解题更为 简单．
又∵E→F＝12，12，0，F→G＝－12，0，－12， ∴n·E→F＝0，n·F→G＝0， ∴n⊥E→F，n⊥F→G， ∴n 也是平面 EFG 的一个法向量， 故平面 EFG∥平面 A1DB.
线面垂直
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1， D1B1 的中点．
∴AC1∥平面 CDB1.
面面平行 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，G， H，M，N 分别是正方体六个面的中心．求证：平面 EFG∥平 面 HMN.
[分析] 用向量证明面面平行有两个途径：利用面面平行的判 定定理，即证明一个平面内的两个不共线向量都平行于另一 个平面；证明两个平面的法向量平行．
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章 空间向量与立体几何
第二章
2.4 用向量讨论垂直与平行
1 知能目标解读
2 重点难点点拨
6 探索拓研创新
3 知能自主梳理 4 学习方法指导
7 名师辩误作答 8 课堂巩固训练
5 思路方法技巧
9 课后强化作业
知能目标解读
• 1．理解直线的方向向量，平面的法向量． • 2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量处理线面的位
• 在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取 有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．在解立体几何 题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与 向量运算或向量的坐标运算，在给出的几何体比较特殊能够 建立空间直角坐标系时，坐标运算更为简单．
• 2．确定平面的法向量
• 平面的法向量就是平面法线的方向向量，因此可以先确定平 面的法线，再取它的方向向量．也可以直接判定向量与平面 内的两条相交直线垂直，而得到平面的法向量．确定平面的 法向量通常有两种方法：(1)几何体中已经给出有向线段， 只需证明线面垂直；(2)几何体中没有具体的直线，此时可 以采用待定系数法求解平面的法向量．
于是M→N＝12，0，12，D→A1＝(1,0,1)，D→B＝(1,1,0)． 设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)． 则 n·D→A1＝0，且 n·D→B＝0，∴xx＋＋yz＝＝00，. 取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． 又M→N·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0， ∴M→N⊥n，∵MN⊄平面 A1BD， ∴MN∥平面 A1BD.
求证：EF⊥平面 B1AC. [分析] 可以从纯几何的角度和向量运算的角度进行证明．
[解析] 证法一：如图，取A1B1的中点G，连接EG，FG， A1B，则FG∥A1D1，EG∥A1B.
∵A1D1⊥平面A1B， ∴FG⊥平面A1B. ∵A1B⊥AB1，∴EG⊥AB1. 由三垂线定理，得EF⊥AB1. 同理EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1， ∴EF⊥平面B1AC.
• 3．三垂线定理 • (1)三垂线定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条
直线在该平面上的________，则这两条直线垂直． • (2)三垂线定理的逆投定影理：若平面内的一条直线垂直于平面
外的一条直线，则这条直线也垂直于直线在该平面内的 ________．
投影
学习方法指导
• 1．确定直线的方向向量
DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角 坐标系．

则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，E0，12，1，F12，1，1， G0，1，12.
设平面 A1DB 的一个法向量 n＝(x，y,1)， 则nn··DD→→AB1＝＝00 ，∴xx＋＋y1＝＝00 ，∴yx＝＝1－1 ， ∴n＝(－1,1,1)，
一般采用以下步骤来求法向量． (1)建立空间直角坐标系，设法向量 n＝(x，y，z)． (2)找出平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(x1，y1，z1)， b＝(x2，y2，z2)． (3)建立方程组nn··ab＝ ＝00 . (4)解方程组，由于解不确定，只取其中一组解，也就求出 此平面的一个法向量．
[点评] 证明面面平行的向量方法有两种：第一种是分别求出 两平面的法向量，再证明两法向量平行；第二种是证明一个 平面有两不共线向量平行于另一平面，转化为线面平行的问 题．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为C1D1、B1C1、 CC1的中点．
求证：平面A1DB∥平面EFG. [证明] 以D为原点，直线DA、DC、
• 3．利用向量知识判断直线、平面的平行问题
• 平行关系包括：线线平行、线面平行和面面平行．用向量知 识判断时，主要是研究直线的方向向量、平面的法向量之间 的关系，通常情况下，构建空间直角坐标系，用坐标运算进 行，两直线(不重合)的方向向量共线时，两直线平行，一直 线与一平面的法向量垂直时，若直线不在平面内，则直线与 平面平行，两平面(不重合)的法向量共线时，两平面平 行．一般地，用向量共线的充要条件或向量数量积的计算公 式求解．
证法三：设正方体的棱长为2，建立如下图所示的空间直角坐 标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)， F(1,1,2)．
∴E→F＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)， A→B1＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)， A→C＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)． ∴E→F·A→B1＝(－1，－1,1)·(0,2,2) ＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0， E→F·A→C＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，∴EF⊥AB1， EF⊥AC. 又 AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面 B1AC.
线必垂直．
方向向量
• (2)直线与平面垂直：直线的_________若与平面的_______
平行，则直线与平面垂直；反之方亦向成向立量．
法向量
• (3)平面与平面垂直：平面与平面垂直的充要条件是：
__________________________．
两平面的法向量互相垂直
• 2．平行问题
• (1)直线与直线平行：只要两条直线的__________________
证法二：设A→B＝a，A→D＝c，A→A1＝b，则 E→F＝E→B1＋B→1F＝12(B→B1＋B→1D1)＝12(A→A1＋B→D)＝12(A→A1＋A→D －A→B)＝12(－a＋b＋c)， A→B1＝A→B＋A→A1＝a＋b.
∴E→F·A→B1＝12(－a＋b＋c)·(a＋b) ＝12(b2－a2＋c·a＋c·b) ＝12(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0. ∴E→F⊥A→B1，即 EF⊥AB1，同理，EF⊥B1C. 又 AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面 B1AC，
______________________．
方向向量平行且
这• (两2)条直直线线与不平共面线平即行可：直线的____________若与平面的 __________垂直(直线不在平面内)，方则向直向线量与平面平行．
• 法(合3向))平时量面两与平平面面平平行行．：当两平面的_____________(两平面不重 法向量平行
如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝3，BC＝4，AB ＝5，AA1＝4，点 D 是 AB 的中点．
(1)求证：AC⊥BC1； (2)求证：AC1∥平面 CDB1.
[证明] ∵直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面的三边长 AC＝3， BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C 两两垂直．
[证明] 证法一：如图，以点 D 为坐标原点，分别以D→A， D→C，D→D1为正交基底建立空间直角坐标系 D－xyz，不妨设正方 体的棱长为 2，则 E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,2,1)，M(1,1,2)， N(0,1,1)．
∴E→F＝(0，－1,1)，F→G＝(1,1,0)，H→M＝(0，－1,1)，N→H＝ (1,1,0)．
• 5．利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： • (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题
中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
• (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以 及它们之间距离和夹角等问题；
• (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
思路方法技巧
线面平行
如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、 N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD.
[证明] 证法一：如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方 体的棱长为 1，则可求得 M0，1，12，N12，1，1，D(0,0,0)、 A1(1,0,1)、B(1,1,0)，
证法二：∵M→N＝C→1N－C→1M＝12C→1B1－12C→1C ＝12(D→1A1－D→1D)＝12D→A1， ∴M→N∥D→A1，又∵MN⊄平面 A1BD. ∴MN∥平面 A1BD. 证法三：由证法二知，M→N＝12D→A1＋0·D→B， 即M→N可用D→A1与D→B线性表示，故M→N与D→A1、D→B是共面向 量． ∴M→N∥平面 A1BD，又 MN⊄平面 A1BD，即 MN∥平面 A1BD.
∴E→F∥H→M，F→G∥N→H. ∴EF∥HM，FG∥NH. ∵HM 平面 HMN，NH 平面 HMN. EF 平面 HMN，FG 平面 HMN.
∴EF∥平面 HMN，FG∥平面 HMN. 又∵EF 平面 EFG，FG 平面 EFG，EF∩FG＝F， ∴平面 EFG∥平面 HMN.
证法二：建立空间直角坐标系如证法一中的图，设平面 EFG 的法向量 m＝(x1，y1，z1)，
[点评] 证明直线 l∥平面 α 的方法： (1)可取直线 l 的方向向量 a 与平面 α 的法向量 n，证明 a·n ＝0； (2)可在平面 α 内取基向量{e1，e2}，证明存在实数 λ1，λ2， 使直线 l 的方向向量 a＝λ1e1＋λ2e2，然后说明 l 不在平面 α 内即 可； (3)在平面 α 内若能找到两点 A、B，直线 l 的方向向量 n∥ A→B，则 l∥α.
如图，以 C 为坐标原点，直线 CA，CB，CC1 分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)， B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(32，2,0)．
(1)A→C＝(－3,0,0)，B→C1＝(0，－4,4)， ∴A→C·B→C1＝0.∴AC⊥BC1. (2)如图，设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连接 DE，则 E(0,2,2)． ∴D→E＝(－32，0,2)，A→C1＝(－3,0,4)． ∴D→E＝12A→C1.∴DE∥AC1. ∵DE 平面 CDB1，AC1 平面 CDB1，
则 m·E→F＝(x1，y1，z1)·(0，－1,1)＝－y1＋z1＝0，m·F→G＝(x1， y1，z1)·(1,1,0)＝x1＋y1＝0，
从而，得 x1＝－y1＝－z1. 设 x1＝－1，则 m＝(－1,1,1)．
设平面 HMN 的法向量 n＝(x2，y2，z2)， 则 n·H→M＝(x2，y2，z2)·(0，－1,1)＝－y2＋z2＝0， n·N→H＝(x2，y2，z2)·(1,1,0)＝x2＋y2＝0， 从而，得 x2＝－y2＝－z2， 设 x2＝－1，则 n＝(－1,1,1)． ∴m∥n. ∴平面 EFG∥平面 HMN.