高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、

探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一给角求值 【例1】 求下列各式的值:
(1)sinπ8cosπ8;
(2)1-2sin25π;
12
(3)1-ttaann1π221π2; (4)cosπcos2π.
55
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析:(1)(2)(3)直接利用公式或逆用公式求值.(4)由
������ 2������ 5, 5
π 2
-2������
=cos 2
π 4
-������
=2cos2 π -������ -1=119,
4
169
119
∴cossin2π4
������ -������
=
169 12
= 119.
156
13
探究一
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探究三
思维辨析
探究三给值求角
【例3】已知α,β是锐角,且sin α=
2 10
,sin β=
是二
倍角关系,从而可构造用二倍角的正弦公式求解.
解:(1)原式=12sinπ4
=
1 2
×
2=
2
42.
(2)原式=cos5π=cos π- π =-cosπ=- 3.
6
6
62
(3)原式=12
×
2tan
π 12
1-ta
n
2
π 12
=
12tanπ6
=
1 2
×
3=
3
63.
(4)原式=2sin
π 5
cos
π 5
∵cos 2x=sin
π 2-2������Fra bibliotek=2sin
π 4
-������
cos
π 4
-������
=2× 5 × 12 = 120,cos π + ������ =sin π - π + ������
13 13 169
4
24
120
=sin π -������
4
=
5 ,∴原式=
13
169 5
= 24.
13
13
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
sin2������
变式训练2
在例题条件不变的情况下,求 cos
π 4
−������
的值.
解:∵x∈
0,
π 4
,∴π4-x∈
0,
π 4
.
∵sin
π 4
-������
= 153,∴cos
π 4
-������
= 1123.
又 sin 2x=cos
12
6
2
(2)原式=1+sin π=1+ 2.
4
2
答案:(1)1+
3 2
(2)1+
2 2
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打“×”.
(1)sin 2α=2sin α.( ) (2)2sin215°-1=cos 30°=32.( )
(3)要使T2α有意义,需要α≠±π4+kπ,且α≠π2+kπ(k∈Z).( ) 答案:(1)× (2)× (3)
) D.18
做一做3
若tan 2α=
4 3
,则tan α=
.
解析:∵tan
2α=
2tan 1-ta n
������ 2 ������
=
43,
∴tan α=12或 tan α=-2.
答案:12或-2
2.倍角公式常见的变形
(1)1±sin 2α=(sin α±cos α)2;
(2)11-+cocso2s������2���=���
7
7
7
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解:(1)原式=
cos2 π + sin2 π
8
8
cos2
π 8
-sin2
π 8
=cos π = 2.
42
(2)原式=12tan 150°=-12tan 30°=- 63.
(3)原式=8sin
π 7
cos
π 7
cos
27πcos
8sin
π 7
47π
4sin
=
27πcos 27πcos
分析:求 cos π -������ 的值→求 cos π + ������
4
4
→利用 cos 2x=sin π -2������ 求值→代入计算
2
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解:∵0<x<π,∴π-x∈ 0, π .
44
4
又
sin
π 4
-������
=
5 13
,∴cos
π 4
-������
= 1123.
cos
2sin
π 5
2π 5
=sin225sπicnoπ5s
2π 5
=4sisnin45ππ5
=
sin
π 5
4sin
π 5
=
1.
4
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变式训练1 求下列各式的值:
(1)cos4π-sin4π;
8
8
(2)1-ttaann7257°5°;
(3)cos πcos 2πcos 4π.
1100,求α+2β 的值.
分析:可先求cos 2β的值,然后再选用适当的三角函数求α+2β的值,
其中要注意缩小角2β的范围.
解:∵sin β= 1100,
∴cos 2β=1-2sin2β=1-2× 10 2 = 4.
10
5
由 β∈ 0, π ,且 cos 2β=4>0,可推得 2β∈ 0, π .
8sin
π 7
4π 7
=
2sin 47πcos
8sin
π 7
47π
=s8isnin87ππ7
=
-sin 8sin
π 7 π 7
=-1.
8
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探究二给值求值
【例 2】已知 sin
π 4
-������
= 153,0<x<π4,求cocsosπ42+������������ 的值.
= 2cos2 2sin2 ������
������
升幂公式;
cos2������ = 1+cos2 ������
(3) sin2������
=
2 1-cos2 ������
降幂公式.
2
做一做4 求下列各式的值:
(1)2cos2 π =
;
12
(2)
sin
π + cos
8
π 8
2
=
.
解析:(1)原式=1+cos 2 × π =1+cos π=1+ 3.
tan
2α= 2������������������
1-������������ ������
α 2 ������
简记 S2α C2α
T2α
做一做1 求值:2sin 67°30'cos 67°30'=
.
答案:
2 2
做一做2
已知cos α=
1 4
,则cos 2α=(
A.12
B.-78
C.78
解析:cos 2α=2cos2α-1=2×116-1=-78. 答案:B
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
思维脉络
1.会推导二倍角的正 弦、余弦、正切公
式. 2.能灵活应用二倍角 公式及其变形解决有
关化简、求值和证明
问题.
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
三角函数 正弦 余弦
正切
公式
sin 2α=2sin αcos α cos 2α=cos2αsin2α=2cos2α-1=12sin2α
2
5
2
∴α+2β∈(0,π).
∵α∈
0,
π 2
,且 sin α=102,∴cos α=
1-sin2������ = 7102.
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