高中数学人教B版必修5第1章《解三角形》(1.2 第1课时)同步课件

∴AE＝2csoisn1350°°＝
2×12 6＋
＝ 2
6－
2.
4
在△ABC 中，已知 A＝45°，cosB＝45. (1)求 cosC 的值； (2)若 BC＝10，D 为 AB 的中点，求 CD 的长．
[解析]
(1)∵A＝45°，∴cosA＝
22，sinA＝
2 2.
又∵cosB＝45，∴sinB＝35.
第一章 解三角形
第一章 1.2 应用举例 第1课时 距离问题
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
• 碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上
作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距
“蓝天号”20n mile的B处．现在“白云号”以10n
mile/h的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时
小岛A周围38 n mile内有暗
礁，一船正向南航行，在B处
测得小岛A在船的南偏东30°，
航行30 n mile后，在C处测
得小岛在船的南偏东45°，
如果此船不改变航向，继续
向南航行，有无触礁的危险？
• [分析] 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决
于A到直线BC的距离与38 n mile的大小，于是我们 只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，
∴x＝503 6 n mile.
• 4．在相距2 km的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB ＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为
______ km.
[答案] 6
[解析] 如图所示，由题意知∠C＝45°， 由正弦定理，得siAn6C0°＝sinA4B5°，∴AC＝ 22·23＝ 6. 2
定理求得．
[解析] (1)∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，∴∠
CBE＝15°，
∴cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°＋sin45°·sin30°
＝
6＋ 4
2 .
(2)在△ABE 中，AB＝2，故由正弦定理，得
sin45A°E－15°＝sin90°2＋15°，
∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB
＝－45× 22＋ 22×35＝－102.
(2)由(1)知 cosC＝－102，∴sinC＝7102， 由正弦定理，得sAinBC＝sBinCA， ∴AB＝10×27102＝14.
2 ∴BD＝7.
在△BCD 中，由余弦定理，得
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcosB ＝100＋49－2×10×7×45＝37， ∴CD＝ 37.
如图，设∠ACD＝α，∠CDB＝β，
在△CBD 中，由余弦定理，得
cosβ
＝
BD2＋CD2－CB2 2BD·CD
＝
202＋212－312 2×20×21
＝－17，
∴sinβ＝sin2610°＝
21 ， 3
2
∴AC＝21×3 2×473＝24， ∴CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos60°，
课堂典例讲练
• 可到达的两点的距离问题
•
如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等
腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.
• (1)求cos∠CBE的值；
• (2)求AE.
• [分析] 由三角形的性质可求出∠CBE的度数，从而 可解出cos∠CBE的值；求AE，可在△ABE中利用正弦
测得公路上B处有一人，距C为31 km，正沿公路向A
城走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为
21 km，问：这人还要走多少km才能到达A城？
• [错解] 本题为解斜三角形的应用问题，要求这人
走多少路才可到达A城，即求AD的长，
• 在△ACD中，已知CD＝21 km，
• ∠CAD＝60°，只需再求出一个量即可．
(2)如图，作 PD⊥a，垂足为 D．在 Rt△PDA 中，
PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB ＝x·3x＋5x32＝3×13752＋32≈17.71(km)． 答：静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离约为 17.71 km.
易错疑难辨析
•
某观测站C在城A的南偏西20°的方向，
由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处
2．测量两个不可到达的点之间的距离问题
首先把求不可到达的两点 A、B 之间的距离转
化为应用__余_弦__定_理____求三角形的边长问题，然后
把未知的 BC 和 AC 的问题转化为测量可到达的一
点与不可到达的一点之间的距离问题．
• 3．方位角
• 从指北方向____顺____时针转到目标方向的水平 角．如图(1)所示．
以8n mile/h的速度由A处向南偏西60°方向行驶，
经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相
距最近？本节将用正、余弦定理解决此类问题．
• 1．测量从一个可到达的点到一个不可 到达的点之间的距离问题这实际上是 已知三角形两个角和一条边解三角形 的问题，用__________可解决问题．
正弦定理
即 212＝242＋AD2－2×24×12·AD， 整理，得 AD2－24AD＋135＝0，
解得 AD＝15 或 AD＝9，
答：这个人再走 15 km 或 9 km 就可到达 A 城．
• [辨析] 本题在解△ACD时，利用余弦定理求AD，产
生了增解，应用正弦定理来求解．
由正弦定理，得 AC＝ABsi·nsi∠n∠ACCBBA＝12s0insi6n07°5° ＝20(3 2＋ 6)． 设 C 到 AB 的距离为 CD， 则 CD＝ACsin∠CAB＝ 22AC＝20(3＋ 3)． 答：河的宽度为 20( 3＋3) m.
• 正、余弦定理在航海测量上的
•
如图应所用示，海中
• A．α ，a，b • C．a，b，γ
• [答案] C
B．α ，β ，a D．α ，β ，b
• 3.如图所示，客轮以速率2v由A至B再到C匀速航行， 货轮从AC的中点D出发，以速率v沿直线匀速航行， 将货物送达客轮，已知AB⊥BC，且AB＝BC＝50 n mile，若两船同时出发，则两船相遇之处M距C点
[解析] 如图所示，在△ACD 中，∠CAD＝180°－(120°＋ 30°)＝30°，∴AC＝CD＝100 3.
在△BCD 中，∠CBD＝180°－(45°＋75°)＝60°. 由正弦定理，得 BC＝100sin36s0in°75°＝200sin75°.
在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2 ＝ (100 3 )2 ＋ (200sin75°)2 － 2×100 3 ×200sin75°·cos75° ＝1002(3＋4×1－co2s150°－2× 3×sin150°)＝1002×5， ∴AB＝100 5. 答：A、B 两地间的距离为 100 5 m.
• 4．方向角
• 相对于某一正方向(东、西、南、北)的水平角．
• ①北偏东α °，即由指北方向顺时针旋转α °到达 目标方向，如图(2)所示．
• ②北偏西α °，即是由指北方向逆时针旋转α °到 达目标方向．
• 其他方向角类似．
• 5．在测量上，我们根据测量的需要适当确定的线段
叫做基线．一般来说，基线越________，测量的精
• (1)设A到P的距离为x km，用x表示B、C到P的距离， 并求x的值；
• (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果精确
到0.01 km)
• [分析] (1)PA、PB、PC长度之间的关系可以通过收
到信号的先后时间建立起来．
• (2)作PD⊥a，垂足为D，要求PD的长，只需要求出PA 的长和cos∠APD，即cos∠PAB的值．由题意，PA－ PB，PC－PB都是定值，因此，只需要分别在△PAB和 △PAC中，求出cos∠PAB，cos∠PAC的表达式，建立
• 5．如图，为了计算菏泽新区龙湖岸边两景点B与C的 距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个 测量点，测得AD⊥CD，AD＝5 km，AB＝7 km，∠BDA ＝60°，∠BCD＝135°.求两景点B与C的距离．(假 设A、B、C、D在同一平面内)
[解析] 在△ABD 中，设 BD＝x，则 BA2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠BDA， 即 72＝x2＋52－10xcos60°， ∴x2－5x－24＝0，解得 x＝8 或－3(舍去)， 由正弦定理，得sin∠BCCDB＝sin∠BDBCD， ∴BC＝8sisnin13305°°＝4 2(km)． 答：两景点 B 与 C 的距离为 4 2 km.
确度越高．
长
• 1．如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列
四组数据，较适宜的是( )
• A．a和c
• B．c和b
• C．c和β
• D．b和α
• [答案] D
• [解析] 在△ABC中，能够测量到的边和角分别为b和
α.
• 2．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列
四组数据，测量时应当用数据( )
• [点评] (1)求解三角形中的基本元素，应由确定三 角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题
选择的是△BCD和△ABC．
• (2)本题是测量都不能到达的两点间的距离，它是测 量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理，其
中AB可视为基线．
• (3)在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫
做基线，如本例的CD．在测量过程中，要根据实际
________ n mile.
[答案]
50 6 3
[解析] 设两船相遇所经过的时间为 t，相遇之处 M 距 C 点 x n mile.
由已知，CD＝25 2 n mile，∠DCM＝45°，DM＝vt n mile， 2vt＝50＋50－x＝100－x，∴vt＝(50－2x) n mile. 由余弦定理，得 DM2＝CD2＋CM2－2CD·CM·cos∠DCM， ∴(vt)2＝(25 2)2＋x2－2×25 2×x×cos45°， 即34x2＝1250，∴3x2＝4×1250，
• 如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线， 在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B、C 分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测 点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A、 20 s后监测点C相继收到这一信号．在当时的气象条
件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
方程即可．
[解析] (1)依题意，PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝ 1.5×20＝30(km)．
∴PB＝(x－12)km，PC＝(18＋x)km. 在△PAB 中，AB＝20 km， cos∠PAB＝PA2＋2PAAB·A2－B PB2＝x2＋2022－x·20x－122＝3x＋5x32. 同理，cos∠PAC＝723－x x. 由于 cos∠PAB＝cos∠PAC， 即3x＋5x32＝723－x x，解得 x＝1372(km)．
• 正、余弦定理在生产、生活中不 易到达点测距中的应用
要测量河对岸两地 A、B 之间的距离，在岸边 选取相距 100 3 m 的 C、D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D 在同一平面内)， 求 A、B 两地的距离．
• [分析] 此题是测量计算河对岸两点间的距离，给 出的角度较多，涉及几个三角形，重点应注意依次 解哪几个三角形才较为简便．
将它与38 n mile比较大小即可．
[解析] 在△ABC 中，BC＝30，B＝30°， ∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°， 由正弦定理，得sBinCA＝sAinCB即：sin3105°＝siAn3C0°， ∴AC＝60cos15°＝60cos(45°－30°) ＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15( 6＋ 2)， ∴A 到 BC 的距离为 d＝ACsin45°＝15( 3＋1) ≈40.98 n mile>38 n mile，所以继续向南航行，没有触礁危 险．
需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确 度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
• 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B， 望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°， AB＝120 m，求河的宽度．
[解析] 如图，
在△ABC 中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝60°.