2021-2022学年广东省东莞市七校高三(上)联考数学试卷(12月份)(学生版+解析版)

2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12
月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3}
B ．{0，1，2，3}
C ．{1，2}
D ．{1，2，3}
2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（ ） A ．2+i
B ．2﹣i
C ．﹣2i
D ．2i
3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（ ） A ．10
B ．﹣10
C ．80
D ．﹣80
4．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（ ） A ．30种
B ．144种
C ．5种
D ．4种
5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A ．
5√5π6
B ．
8√2π
3 C ．
20√5π3
D ．
64√2π3
6．（5分）若tan α＝3，则
1+cos2αsin2α=（ ）
A ．−12
B ．13
C ．±13
D ．2
7．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
8．（5分）已知函数f （x ）={lnx
x
，x ＞0
1−x 2
，x ≤0
，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（ ）
A ．1＜k ≤e
B ．−1e
＜k ＜0 C ．0＜k ＜1
e
D ．1e
＜k ＜1
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）
A ．O
B →
=OA →
+OC →
B ．|OA →|=|O
C →
|=12
|OB →
| C ．AC →
=OB →
−2OC →
D ．OA →
⋅OB →
=OC →
⋅OB →
10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．函数f （x ）的图象关于点(−
π
12
，0)对称
B ．函数f （x ）的图象关于x =π2
直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3
，π6
]上单调递增
D ．y ＝1与图象y =f(x)(−
π12≤x ≤23π
12)的所有交点的横坐标之和为8π3
11．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 9＝S 17，则下列说法正确的是（ ） A ．a 8＝0
B ．a 9＝0
C ．a 1＝S 16
D ．S 8＞S 10
12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，下列说法正确的是（ ）
A ．对任意点P ，DP ∥平面A
B 1D 1
B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为1
6
C ．线段DP 长度的最小值为
√62
D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，1
3），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ ．
14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ ．
15．（5分）函数f(x)=1+1
2x +cosx 在(0，π
2)上的单调递增区间是 ．
16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于
160
，则n 的最大值为 ．
（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．
17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式；
（2）求数列{
1
a 2n−1⋅a 2n+1
}的前n 项和T n ．
18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12
b ，且a ≥b ．
（1）求角B 的值；
（2）若A =π
6
，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长．
19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为3
4，三步篮投中的概率
为4
5
，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结
果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次． （Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．
20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD =√2，BC ＝2√2，P A ＝1． （1）求证：AB ⊥PC ；
（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b
2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与
x 轴的交点，椭圆的离心率为
√3
2
． （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；
（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1
的最
小值为﹣e +1．
2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12
月份）
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3}
B ．{0，1，2，3}
C ．{1，2}
D ．{1，2，3}
【解答】解：∵集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：C ．
2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（ ） A ．2+i
B ．2﹣i
C ．﹣2i
D ．2i
【解答】解：∵z ＝1﹣i ，
∴z(z +2i)=（1+i ）（1﹣i +2i ）＝（1+i ）2＝2i ． 故选：D ．
3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（ ） A ．10
B ．﹣10
C ．80
D ．﹣80
【解答】解：由于二项式(2x −√x)5展开式的通项公式为T r +1＝C 5r •（2x ）5﹣
r
(−√x)r =（﹣
1）r •25﹣
r C 5r x 5−r
2，
令5−r
2=3，解得r ＝4，∴展开式中x 3的系数是（﹣1）4•25﹣
4C 54＝10．
故选：A ．
4．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（ ） A ．30种
B ．144种
C ．5种
D ．4种
【解答】解：这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的3名同学，有A 33种排法，出现4个空，将甲、乙、丙插空，所以共有A 33A 43＝144种排法， 故选：B ．
5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A ．
5√5π6
B ．
8√2π
3
C ．
20√5π3
D ．
64√2π3
【解答】解：圆柱的轴截面是边长为2的正方形，其外接圆的半径为√2， 则圆柱的外接球的半径为√2，
可得该圆柱的外接球的体积为V =4
3π×(√2)3=8√2π
3
． 故选：B ．
6．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（ ）
A ．−1
2
B ．13
C ．±1
3
D ．2
【解答】解：∵tan α＝3，则1+cos2αsin2α
=
2cos 2α2sinαcosα
=cosαsinα
=
1tanα
=1
3
，
故选：B ．
7．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
【解答】解：由题意知，点P 在右支上，则|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|， ∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，又e =c
a =√3，
∴|F 1F 2|=2c =2√3a ，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=
9a 2+a 2−12a 22⋅3a⋅a =−1
3
， ∴sin ∠F 1PF 2=2√2
3，故S △PF 1F 2=1
2⋅a ⋅3a ⋅2√2
3=4√2，解得a ＝2， ∴实轴长为2a ＝4， 故选：C ．
8．（5分）已知函数f （x ）={lnx
x
，x ＞0
1−x 2
，x ≤0
，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（ ）
A ．1＜k ≤e
B ．−1e
＜k ＜0 C ．0＜k ＜1
e
D ．1e
＜k ＜1
【解答】解：当x ＞0时，f （x ）=lnx x ，∴f '（x ）=1−lnx x 2
， 令f '（x ）＝0，得x ＝e ，
∴当x ∈（0，e ）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ∈（e ，+∞）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， 又f （e ）=lne e =1
e ，
当x ≤0时，f （x ）＝1﹣x 2单调递增，
画出函数f （x ）的图像，如图所示，
∵函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，即方程f （x ）﹣k ＝0有三个不等实根， ∴函数y ＝f （x ）与y ＝k 有三个交点， 由图像可知，0＜k ＜1
e
， 故选：C ．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）
A ．O
B →
=OA →
+OC →
B ．|OA →|=|O
C →
|=1
2|OB →
| C ．AC →
=OB →
−2OC →
D ．OA →
⋅OB →
=OC →
⋅OB →
【解答】解：由图知，四边形OABC 为菱形，
选项A ，由平行四边形加法法则知，OB →=OA →+OC →
，即A 正确；
选项B ，|OA →
|＝|OC →
|=√17，|OB →
|=√34，所以不满足|OA →
|＝|OC →
|=12|OB →
|，即B 错误；
选项C ，AC →=OC →−OA →=OC →−（OB →+BA →）=OC →−（OB →−OC →）=−OB →+2OC →
，即C 错误；
选项D ，因为四边形OABC 为菱形，所以∠AOB ＝∠COB ，且|OA →
|＝|OC →
|，由平面向量数量积的运算法则知，OA →
•OB →
=OC →
•OB →
成立，即D 正确． 故选：AD ．
10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．函数f （x ）的图象关于点(−
π
12
，0)对称
B ．函数f （x ）的图象关于x =π
2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3
，π6
]上单调递增
D ．y ＝1与图象y =f(x)(−
π12≤x ≤23π
12)的所有交点的横坐标之和为8π3
【解答】解：根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象， 可得A ＝2，1
4×
2πω
=
2π3
−
5π12
，∴ω＝2．
结合五点法作图，可得2×5π
12+φ＝π，∴φ=π
6，故f （x ）＝2sin （2x +π
6）．
令x =−π12，求得f （x ）＝0，可得函数f （x ）的图象关于点(−π
12，0)对称，故A 正确； 令x =π2，求得f （x ）＝﹣1，不是最值，故函数f （x ）的图象关不于x =π
2直线对称，故B 错误；
在区间[−π3，π6]上，2x +π6∈[−π
2，π
2
]，函数f （x ）单调递增，故C 正确；
当x∈[−π
12，
23π
12
]，2x+
π
6
∈[0，4π]，
直线y＝1与图象y=f(x)(−π
12
≤x≤23π
12
)的4个交点关于直线2x+π6=3π2对称．
设这4个交点的横坐标分别为a、b、c、d，a＜b＜c＜d，
则（2a+π
6）+（2d+
π
6）＝2×
3π
2，（2b+
π
6）+（2c+
π
6）＝2×
3π
2，
故所有交点的横坐标之和为a+b+c+d=8π
3，故D正确，
故选：ACD．
11．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＝S17，则下列说法正确的是（）
A．a8＝0B．a9＝0C．a1＝S16D．S8＞S10
【解答】解：由{a n}是等比数列，得S17=17
2（a1+a17）＝17a9，
又a9＝S17，得a9＝17a9，解得a9＝0，所以选项B正确；由于a8＝a9﹣d，且d≠0，所以a8≠0，选项A错误；
由a9＝a1+8d＝0，得a1＝﹣8d，则S16＝16a1+16×15
2d＝16×（﹣8d）+15×8d＝﹣8d＝
a1，所以选项C正确；
若该数列a1＜0，d＞0，则当n≤8时，a n＜0，当n＝9时，a n＝0，当n≥10时，a n＞0，此时S8＜S10＝S8+a9+a10，选项D错误；
故选：BC．
12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，下列说法正确的是（）
A．对任意点P，DP∥平面AB1D1
B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为1
6
C ．线段DP 长度的最小值为
√62
D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3
【解答】解：连接DB ，由BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1， 得四边形DD 1B 1B 为平行四边形，
∴DB ∥D 1B 1，由DB ⊄平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1， 得BD ∥平面AB 1D 1，
同理DC 1∥平面AB 1D 1，又BD ∩DC 1＝D ，可得平面DBC 1∥平面AB 1D 1， ∴对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1，故A 正确； V P−A 1DD 1=V C 1−A 1DD 1=
13×12×1×1×1=1
6
，故B 正确； 当P 为BC 1中点时，DP ⊥BC 1，此时线段DP 长度的最小值为12+(√22
)2=√6
2
，故C
正确；
当P 在线段BC 1上运动时，DP 长度的最小值为√6
2
，最大值为√2， 则PC 长度的范围为[
√2
2
，1]，而P 到平面ADD 1A 1的距离为定值1， 则DP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值∈[
√2
2
，1]． 最大值小于√3，则不存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3
，故D 错误． 故选：ABC ．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，1
3），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ 3 ．
【解答】解：令n ＝3时，则随机变量X ～B （3，1
3
），
E （X ）=3×
1
3
=1∈N ∗， 故n ＝3，符合题意． 故答案为：3．
14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ 1 ．
【解答】解：函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，
则g （﹣x ）+g （x ）＝f （﹣x ）+2+f （x ）+2＝[f （﹣x ）+f （x ）]+4＝0+4＝4， 所以g （﹣1）＝4﹣g （1）＝4﹣3＝1． 故答案为：1．
15．（5分）函数f(x)=1+1
2x +cosx 在(0，π
2)上的单调递增区间是 (0，π
6) ． 【解答】解：函数f(x)=1+1
2x +cosx ，
可得f ′（x ）=1
2−sin x ，令1
2
−sin x ＞0，因为x ∈(0，π
2)，
所以，解得x ∈(0，π
6)， 故答案为：(0，π
6
)．
16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于
160
，则n 的最大值为 8 ．
（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771） 【解答】解：第一次操作去掉的线段长度为1
3，
第二次操作去掉的线段长度之和为23•1
3
，
第三次操作去掉的线段长度之和为23•23•1
3
，
……
第n 次操作去掉的线段长度之和为(23
)n−1•1
3
，
由题意知，(2
3)n−1•1
3
≥
1
60
，则(23)n ≥1
30， 则nlg 23
≥−lg 30＝﹣1﹣lg 3，
所以n （lg 2﹣lg 3）≥﹣1﹣lg 3，即n ≤1+lg3
lg3−lg2， 又lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771， 可得n ≤8，故n 的最大值为8． 故答案为：8．
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．
17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{1
a
2n−1⋅a 2n+1
}的前n 项和T n ．
【解答】解：（1）当n ＝1时，2S 1＝4，∴a 1＝2，
当n ≥2时，2S n−1=(n −1)2+3(n −1)，又2S n =n 2+3n ， 两式相减得2a n ＝2n +2，所以a n ＝n +1， 故{a n }的通项公式为a n =n +1(n ∈N ∗)． （2）由（1）知
1a 2n−1a 2n+1
=
12n(2n+2)=
14
×
1n(n+1)
=
14(1
n
−
1n+1
)，
∴T n =14[(1
1
−12
)+(12
−13
)+⋅⋅⋅+(1n
−
1n+1)]=14(1−1n+1)=n 4n+4
． 18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =1
2
b ，且a ≥b ．
（1）求角B 的值；
（2）若A =π
6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长． 【解答】解：（1）因为a sin B cos C +c sin B cos A =1
2b ， 由正弦定理得sin A sin B cos C +sin C sin B cos A =1
2sin B ，
因为sin B ≠0，整理得sin A cos C +sin C cos A =12，即sin （A +C ）=12，得sin B =1
2，
又a ≥b ，
所以0＜B ＜π
2，可得B =π
6．
（2）由（1）知B =π6
，若A =π6
，可得C =2π3
， 则S △ABC =12
ab sin C =12
a 2sin
2π3
=4√3，
所以a ＝4，a ＝﹣4（舍），
又在△AMC 中，AM 2＝AC 2+MC 2﹣2AC •MC cos 2π3
，
所以AM 2
＝AC 2
+（1
2
AC ）2
﹣2AC •12
AC cos
2π3
=42+22﹣2×4×2×（−1
2
）＝28，
所以AM ＝2√7．
19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为3
4，三步篮投中的概率
为4
5
，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结
果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次． （Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A ，“三步篮投中”为事件B ， “该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C ， 则P （A ）=34P （B ）=4
5
所以P （C ）=34⋅C 21
⋅45⋅15=6
25；
（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，
所以P（X＝0）=(1−3
4
)⋅C20⋅(45)0⋅(15)2=1100，
P（X＝1）=(1−3
4
)⋅C21⋅45⋅15=8100，
P（X＝2）=3
4
⋅C20⋅(45)0⋅(15)2+14⋅C22⋅(45)2=19
100，
P（X＝3）=3
4
⋅C21⋅45⋅15=24
100，
P（X＝4）=3
4
⋅C22⋅(45)2=48
100，
所以X的分布列为：
X0123
4
P1
100
8
100
19
100
24
100
48
100
故E（X）＝0×
1
100
+1×8100+2×19
100
+3×24
100
+4×48
100
=3.1，
则该同学得分的数学期望是3.1分．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD ＝CD=√2，BC＝2√2，P A＝1．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：由已知得四边形ABCD是直角梯形，
由AD=CD=√2，BC=2√2，可得AB＝AC＝2，
故△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，
∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB，又P A∩AC＝A，
∴AB⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴AB⊥PC．
（2）解：取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，
建立如图所示的空间直角坐标系，
A （0，0，0），C(√2，√2，0)，D(0，√2，0)，P （0，0，1）， B(√2，−√2，0)，PD →
=(0，√2，−1)，AC →
=(√2，√2，0)， 设PM →
=tPD →
(0≤t ≤1)， 则点M 为(0，√2t ，1−t)， 所以AM →=(0，√2t ，1−t)，
设平面MAC 的法向量是n →
=(x ，y ，z)， {AC →
⋅n →
=√2x +√2y =0AM →⋅n →=√2ty +(1−t)z =0， 令x ＝1，n →
=(1，−1，√2t
1−t )，
又m →
=(0，0，1)是平面ACD 的一个法向量，
∴|cos〈m →
，n →
〉|=|m →⋅n →
|
|m →||n →|
=
|√
2t 1−t |
√2+(√2t 1−t
)
=cos45°=
√2
2
，
解得t =1
2
，即点M 是线段PD 的中点．
此时平面MAC 的一个法向量可取n →
=(1，−1，√2)，BM →
=(−√2，2√2，12
)， 设BM 与平面MAC 所成的角为θ， 则sinθ=|cos〈n →
，BM →
〉|=
|n →⋅BM →
||n →
|⋅|BM →
|
=
2√6
9， ∴BM 与平面MAC 所成角的正弦值为2√69
．
21．（12分）设椭圆E ：
x 2a 2+y 2
b 2
=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与
x 轴的交点，椭圆的离心率为
√32
． （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 【解答】解：（1）∵直线x +y −√3=0与x 轴的交点为(√3，0)，∴c =√3． 又∵e =c
a =√3
2，∴a ＝2， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝1． ∴椭圆E 的标准方程为
x 24
+y 2=1．
（2）证明：由（1）可得A （﹣2，0），B （2，0）．由题知过点N （﹣1，0）的斜率不为0，故设直线的方程为x ＝my ﹣1， 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．
联立{x =my −1
x 24
+y 2=1
，整理，得（4+m 2）y 2﹣2my ﹣3＝0，Δ＝4m 2+12（4+m 2
）＞0，
∴y 1+y 2=
2m 4+m 2，y 1y 2
=−3
4+m 2
． 设直线AC 的方程为y =
y 1x 1+2(x +2)，直线BD 的方程为y =y
2x 2−2
(x −2)， 联立两条直线方程，解得x =2⋅y 1(x 2−2)+y 2(x 1+2)
y 2
(x 1
+2)−y 1
(x 2
−2)①， 将x 1＝my 1﹣1，x 2＝my 2﹣1代入①，得x =2⋅
2my 1y 2+(y 1+y 2)−4y 1
(y 1+y 2)+2y 1
②， 将y 1+y 2=
m 4+m 2，y 1y 2=−3
4+m 2
代入②，得x ＝2.−4(
m
4+m 2+y 1)2(m 4+m 2
+y 1)=−4，
∴直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值﹣4． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；
（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1
的最
小值为﹣e +1．
【解答】解：（1）因为f ′（x ）=1
x +a （x ＞0）， 当a ≥0时，f ′（x ）＞0，
所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增，
当a ＜0时，若x ∈（0，−1a
）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 若x ∈（−1
a
，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 综上，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，
当a ＜0时，f （x ）在（0，−1
a ）上单调递增，f （x ）在（−1
a ，+∞）上单调递减． （2）证明：因为lnx +x ≤k （x +1）+
b 在（0，+∞）上恒成立， 所以b ≥lnx +x ﹣k （x +1）在（0，+∞）上恒成立， 设g （x ）＝lnx +x ﹣k （x +1）， 所以g ′（x ）=1
x +1﹣k （x ＞0），
当k ≤1时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 此时b ≥g （x ）不恒成立， 当k ＞1时，若x ∈（0，1k−1
）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，
若x ∈（
1
k−1
，+∞）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，
所以g （x ）max ＝g （
1
k−1
）＝ln
1k−1
+
1k−1
−k （
1
k−1
+1）＝﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1，
所以b ≥﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1， 又因为
2k+b−2k−1
=2+b
k−1≥2+
−ln(k−1)−k−1k−1=1−ln(k−1)+2
k−1
， 令t ＝k ﹣1＞0， h （t ）＝1−
lnt+2
t
， 所以h ′（t ）=
lnt+1
t 2
， 当t ∈（0，1e
）时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减， 当t ∈（1
e ，+∞）时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增，
所以h （t ）min ＝h （1
e
）＝﹣e +1，
所以
2k+b−2k−1
的最小值为﹣e +1．。