2018年中考数学试题分类汇编解析考点全等三角形

2021中考数学试题分类汇编：考点全等三角形
一．选择题〔共9小题〕
1．〔2021•安顺〕如图，点D，E分别在线段，上，与相交于O点，，现添加以下的哪个条件仍不能判定△≌△〔〕
A．∠∠C B．C．D．
【分析】欲使△≌△，，可根据全等三角形判定定理、、添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵，∠A为公共角，
A、如添加∠∠C，利用即可证明△≌△；
B、如添，利用即可证明△≌△；
C、如添，等量关系可得，利用即可证明△≌△；
D、如添，因为，不能证明△≌△，所以此选项不能作为添加的条件．
应选：D．
2．〔2021•黔南州〕以下各图中a、b、c为三角形的边长，那么甲、乙、丙三个三角形和左侧△全等的是〔〕
A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙
【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△全等，甲与△不全等．【解答】解：乙和△全等；理由如下：
在△和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，
所以乙和△全等；
在△和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，
所以丙和△全等；
不能判定甲与△全等；
应选：B．
3．〔2021•河北〕：如图，点P在线段外，且，求证：点P在线段的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，那么作法不正确的选项是〔〕
A．作∠的平分线交于点C
B．过点P作⊥于点C且
C．取中点C，连接
D．过点P作⊥，垂足为C
【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
【解答】解：A、利用判断出△≌△，∴，∠∠90°，∴点P在线段的垂直平分线上，符合题意；
C、利用判断出△≌△，∴，∠∠90°，∴点P在线段的垂直平分线上，符合题意；
D、利用判断出△≌△，∴，∴点P在线段的垂直平分线上，符合题意，
B、过线段外一点作线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；
应选：B．
4．〔2021•南京〕如图，⊥，且．E、F是上两点，⊥，⊥．假设，，，那么的
长为〔〕
A．B．C．a﹣D．﹣c
【分析】只要证明△≌△，可得，，推出〔b﹣c〕﹣c；
【解答】解：∵⊥，⊥，⊥，
∴∠∠90°，∠∠90°，∠∠90°，
∴∠∠C，∵，
∴△≌△，
∴，，
∵，
∴〔b﹣c〕﹣c，
应选：D．
5．〔2021•临沂〕如图，∠90°，．⊥，⊥，垂足分别是点D、E，3，1，那么的长是〔〕
A．B．2 C．2D．
【分析】根据条件可以得出∠∠90°，进而得出△≌△，就可以得出，就可以求出的值．
【解答】解：∵⊥，⊥，
∴∠∠90°，
∴∠∠90°．
∵∠∠90°，
∴∠∠．
在△和△中，
，
∴△≌△〔〕，
∴1，3．
∴﹣3﹣1=2
应选：B．
6．〔2021•台湾〕如图，五边形中有一正三角形，假设，，∠115°，那么∠的度数为何？〔〕
A．115 B．120 C．125 D．130
【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△与△全等，进而得出∠∠E，利用多边形的内角和解答即可．
【解答】解：∵正三角形，
∴，∠∠∠60°，
∵，，
∴△≌△，
∴∠∠115°，∠∠，∠∠，
∴∠∠∠∠180°﹣115°=65°，
∴∠∠∠∠65°+60°=125°，
应选：C．
7．〔2021•成都〕如图，∠∠，添加以下条件，不能判定△≌△的是〔〕
A．∠∠D B．∠∠C．D．
【分析】全等三角形的判定方法有，，，，根据定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∠∠D，∠∠，，符合，即能推出△≌△，故本选项错误；
B、∠∠，，∠∠，符合，即能推出△≌△，故本选项错误；
C、∠∠，，，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△≌△，故本选项正确；
D、，∠∠，，符合，即能推出△≌△，故本选项错误；
应选：C．
8．〔2021•黑龙江〕如图，四边形中，，5，∠∠90°，那么四边形的面积为〔〕
A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
【分析】过A作⊥，交的延长线于E，判定△≌△，即可得到△是等腰直角三角形，四边形的面积与△的面积相等，根据S
×5×5=12.5，即可得出结论．
△
【解答】解：如图，过A作⊥，交的延长线于E，
∵∠∠90°，
∴∠∠180°=∠∠，
∴∠∠，
又∵∠∠90°，
∴∠∠，
又∵，
∴△≌△，
∴，即△是等腰直角三角形，
∴四边形的面积与△的面积相等，
×5×5=12.5，
∵S
△
∴四边形的面积为12.5，
应选：B．
9．〔2021•绵阳〕如图，△和△都是等腰直角三角形，，，△的顶点A在△的斜边上，假设，，那么两个三角形重叠局部的面积为〔〕
A．B．3C．D．3
【分析】如图设交于O，连接，作⊥于M，⊥于N．想方法求出△的面积．再求出与的比值即可解决问题；
【解答】解：如图设交于O，连接，作⊥于M，⊥于N．
∵∠∠90°，
∴∠∠，
∵，，
∴△≌△，
∴∠∠45°，，
∵∠45°，
∴∠∠∠90°，
在△中，2，
∴2，
×2×2=2，
∴S
△
∵平分∠，⊥于M，⊥于N，
∴，
∵，
2×=3﹣，
∴S
△
应选：D．
二．填空题〔共4小题〕
10．〔2021•金华〕如图，△的两条高，相交于点F，请添加一个条件，使得△≌△〔不添加其他字母及辅助线〕，你添加的条件是．
【分析】添加，根据三角形高的定义可得∠∠90°，再证明∠∠，然后再添加可利用判定△≌△．
【解答】解：添加，
∵△的两条高，，
∴∠∠90°，
∴∠∠90°，∠∠90°，
∴∠∠，
在△和△中，
∴△≌△〔〕，
故答案为：．
11．〔2021•衢州〕如图，在△和△中，点B，F，C，E在同一直线上，，∥，请添加一个条件，使△≌△，这个添加的条件可以是〔只需写一个，不添加辅助线〕．
【分析】根据等式的性质可得，根据平行线的性质可得∠∠E，再添加可利用判定△≌△．
【解答】解：添加，
∵，
∴，
即，
∵∥，
∴∠∠E，
在△和△中，
∴△≌△〔〕，
故答案为：．
12．〔2021•绍兴〕等腰三角形中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，长为半径的圆上，且，那么∠的度数为30°或110°．
【分析】分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题；
【解答】解：如图，当点P在直线的右侧时．连接．
∵，∠40°，
∴∠∠70°，
∵，，，
∴△≌△，
∴∠∠40°，
∴∠∠﹣∠30°，
当点P′在的左侧时，同法可得∠′=40°，
∴∠P′40°+70°=110°，
故答案为30°或110°．
13．〔2021•随州〕如图，在四边形中，5，且＞，8．给出以下判断：
①垂直平分；
②四边形的面积•；
③顺次连接四边形的四边中点得到的四边形可能是正方形；
④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为；
⑤将△沿直线对折，点A落在点E处，连接并延长交于点F，当⊥时，点F到直线的距离为．
其中正确的选项是①③④．〔写出所有正确判断的序号〕
【分析】依据5，，可得是线段的垂直平分线，故①正确；依据四边形的面积，故②错误；依据，可得顺次连接四边形的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，那么r2=〔r ﹣3〕2+42，得，故④正确；连接，设点F到直线的距离为h，由折叠可得，
四边形是菱形，5，4，依据S
△××××，可得，进而得出，再根据S
△梯
形﹣S
△
，即可得到，故⑤错误．
【解答】解：∵在四边形中，5，，
∴是线段的垂直平分线，故①正确；
四边形的面积，故②错误；
当时，顺次连接四边形的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，那么
r2=〔r﹣3〕2+42，
得，故④正确；
将△沿直线对折，点A落在点E处，连接并延长交于点F，如下图，
连接，设点F到直线的距离为h，
由折叠可得，四边形是菱形，5，4，
∴3，
∵S
△
××××，
∴，
∵⊥，∥，
∴⊥，，
∵S
△梯形﹣S
△
，
∴×5〔5+5+〕×﹣×5×，
解得，故⑤错误；
故答案为：①③④．
三．解答题〔共23小题〕
14．〔2021•柳州〕如图，和相交于点C，∠∠E，．求证：△≌△．
【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进展判断．【解答】证明：∵在△和△中，
，
∴△≌△〔〕．
15．〔2021•云南〕如图，平分∠，．求证：△≌△．
【分析】根据角平分线的定义得到∠∠，利用定理判断即可．
【解答】证明：∵平分∠，
∴∠∠，
在△和△中，
，
∴△≌△．
16．〔2021•泸州〕如图，，，．求证：∠∠C．
【分析】欲证明∠∠C，只要证明△≌△〔〕即可；
【解答】证明：∵，
∴，
在△和△中，
，
∴△≌△〔〕，
∴∠∠F．
17．〔2021•衡阳〕如图，线段，相交于点E，，．
〔1〕求证：△≌△；
〔2〕当5时，求的长．
【分析】〔1〕根据，，∠和∠是对顶角，利用证明△≌△即可．〔2〕根据全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】〔1〕证明：在△和△中，
，
∴△≌△〔〕．
〔2〕解：∵△≌△，
∴，
18．〔2021•通辽〕如图，△中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．
〔1〕求证：△≌△；
〔2〕假设，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
【分析】〔1〕由∥得∠∠，继而结合∠∠、即可判定全等；
〔2〕根据，且是边上的中线可得∠90°，由四边形是矩形可得答案．
【解答】证明：〔1〕∵E是的中点，
∴，
∵∥，
∴∠∠，∠∠，
∴△≌△〔〕；
〔2〕连接，
∵∥，，
∴四边形是平行四边形，
∵△≌△，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
19．〔2021•泰州〕如图，∠∠90°，，、相交于点O．求证：．
【分析】因为∠∠90°，，，知△≌△〔〕，所以，证明△与△全等，所以有．【解答】证明：在△和△中
，
∴△≌△〔〕，
∴∠∠，
∴．
20．〔2021•南充〕如图，，，∠∠．
求证：∠∠E．
得到∠∠E．
【解答】解：∵∠∠，
∴∠﹣∠∠﹣∠，即∠∠，
在△和△中，
∵，
∴△≌△〔〕，
∴∠∠E．
21．〔2021•恩施州〕如图，点B、F、C、E在一条直线上，，∥，∥，交于O．求证：与互相平分．
【分析】连接，，判定△≌△〔〕，可得，依据∥，即可得出四边形是平行四边形，进而得到与互相平分．
【解答】证明：如图，连接，，
∵，
∴，
又∵∥，∥，
∴∠∠，∠∠，
在△和△中，
，
∴△≌△〔〕，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分．
22．〔2021•哈尔滨〕：在四边形中，对角线、相交于点E ，且⊥，作⊥，垂足为点F ，与交于点C ，∠∠．
〔1〕如图1，求证：；
〔2〕如图2，是△的中线，假设2，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△面积的2倍．
【分析】〔1〕由⊥、⊥知∠∠∠∠，根据∠∠∠得出∠∠即可得； 〔2〕设，先得出22a 、、、2a ，据此知S △2a 2=2S △，证△≌△得2a ，再分别求
出S △、S △、S △，从而得出答案．
【解答】解：〔1〕∵∠∠，∠∠，
∴∠∠，
∵⊥、⊥，
∴∠∠∠∠，
∴∠∠，
∴；
〔2〕设，
那么22a，，
∴S
△
••2a•2，∵是△的中线，∴，
∵、⊥，
∴2a，
那么S
△••〔22a〕•2a2=2S
△
；
在△和△中，
∵，
∴△≌△〔〕，
∴2a，
∴S
△
••〔2a〕•22a2，
S
△
••〔2a〕•22a2，
S
△
••〔〕•22a2，
综上，面积等于△面积的2倍的三角形有△、△、△、△．23．〔2021•武汉〕如图，点E、F在上，，，∠∠C，与交于点G，求证：．
【分析】求出，根据推出△≌△，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．
【解答】证明：∵，
∴，
∴，
在△和△中
∴△≌△〔〕，
∴∠∠，
∴．
24．〔2021•咸宁〕：∠．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠
〔1〕如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D；〔2〕如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，长为半径间弧，交O′A′于点C′；
〔3〕以点C′为圆心，长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′；〔4〕过点D′画射线O′B'，那么∠A'O'B'=∠．
根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠．
【分析】由根本作图得到′D′′C′，′D′，那么根据““可证明△≌△
【解答】证明：由作法得′D′′C′，′D′，
在△和△O′C′D′中
，
∴△≌△O′C′D′，
∴∠∠C′O′D′，
即∠A'O'B′=∠．
25．〔2021•安顺〕如图，在△中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．
〔1〕求证：；
〔2〕假设⊥，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
【分析】〔1〕连接，由证明△≌△，得出，即可得出答案；
〔2〕根据平行四边形的判定得出平行四边形，求出，根据菱形的判定得出即可；【解答】〔1〕证明：连接，
∵E为的中点，
∴，
∵∥，
∴∠∠，
在△和△中，
，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵为中线，
∴，
∴；
〔2〕四边形的形状是菱形，理由如下：
∵，∥，
∴四边形是平行四边形，
∵⊥，
∴∠90°，
∵为中线，
∴，
∴平行四边形是菱形；
26．〔2021•广州〕如图，与相交于点E，，．求证：∠∠C．
【解答】证明：在△和△中，
，
∴△≌△〔〕，
∴∠∠C〔全等三角形对应角相等〕．
27．〔2021•宜宾〕如图，∠1=∠2，∠∠D，求证：．
【分析】由全等三角形的判定定理证得△≌△，那么其对应边相等．
【解答】证明：如图，∵∠1=∠2，
∴∠∠．
在△与△中，
，
∴△≌△〔〕，
∴．
28．〔2021•铜仁市〕：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，，，，求证：∥．
【分析】可证明△≌△，得出∠∠B，即可得出∥；
【解答】证明：∵，∴，
在△和△中，，
∴△≌△〔〕
∴∠∠B，
∴∥；
29．〔2021•温州〕如图，在四边形中，E是的中点，∥，∠∠B．〔1〕求证：△≌△．
〔2〕当6时，求的长．
【分析】〔1〕利用即可证明；
〔2〕首先证明四边形是平行四边形，推出即可解决问题；
【解答】〔1〕证明：∵∥，
∴∠∠，
∵E是中点，
∴，
∵∠∠B，
∴△≌△．
〔2〕解：∵△≌△，
∴，
∵∥，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵6，
∴3．
30．〔2021•菏泽〕如图，∥，，．请写出与的数量关系，并证明你的结论．
【分析】结论：．只要证明△≌△即可；
【解答】解：结论：．
理由：∵∥，
∴∠∠B，
∵，
∴，∵，
∴△≌△，
∴．
31．〔2021•苏州〕如图，点A，F，C，D在一条直线上，∥，，．求证：∥．
【分析】由全等三角形的性质判定△≌△，那么对应角∠∠，故证得结论．【解答】证明：∵∥，
∴∠∠D，
∵，
∴．
∴在△与△中，
，
∴△≌△〔〕，
∴∠∠，
∴∥．
32．〔2021•嘉兴〕：在△中，，D为的中点，⊥，⊥，垂足分别为点E，F，且．求证：△是等边三角形．
【分析】只要证明△≌△，推出∠∠C，推出，又，即可推出；
【解答】证明：∵⊥，⊥，垂足分别为点E，F，
∴∠∠90°，
∵D为的中点，
∴，
在△和△中，
，
∴△≌△，
∴∠∠C，
∴，∵，
∴，
∴△是等边三角形．
33．〔2021•滨州〕，在△中，∠90°，，点D为的中点．
〔1〕如图①，假设点E、F分别为、上的点，且⊥，求证：；
〔2〕假设点E、F分别为、延长线上的点，且⊥，那么吗？请利用图②说明理由．
【分析】〔1〕连接，根据等腰三角形的性质可得出、∠∠，根据同角的余角相等可得出∠∠，由此即可证出△≌△〔〕，再根据全等三角形的性质即可证出；〔2〕连接，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠∠、，根据同角的余角相等可得出∠∠，由此即可证出△≌△〔〕，再根据全等三角形的性质即可得出．
【解答】〔1〕证明：连接，如图①所示．
∵∠90°，，
∴△为等腰直角三角形，∠45°．
∵点D为的中点，
∴，∠45°．
∵∠∠90°，∠∠90°，
∴∠∠．
在△和△中，，
∴△≌△〔〕，
∴；
〔2〕，证明如下：
连接，如图②所示．
∵∠∠45°，
∴∠∠135°．
∵∠∠90°，∠∠90°，
∴∠∠．
在△和△中，，
∴△≌△〔〕，
∴．
34．〔2021•怀化〕：如图，点A．F，E．C在同一直线上，∥，，∠∠D．〔1〕求证：△≌△；
〔2〕假设点E，G分别为线段，的中点，连接，且5，求的长．
【分析】〔1〕根据平行线的性质得出∠∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；
〔2〕利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．
【解答】证明：〔1〕∵∥，
∴∠∠C，
在△与△中，
∴△≌△〔〕；
〔2〕∵点E，G分别为线段，的中点，
∴，
∵5，
∴10，
∵△≌△，
∴10．
35．〔2021•娄底〕如图，四边形中，对角线、相交于点O，且，，过O点作⊥，分别交、于点E、F．
〔1〕求证：△≌△；
〔2〕判断四边形的形状，并说明理由．
【分析】〔1〕首先证明四边形是平行四边形，再利用证明△≌△；
〔2〕结论：四边形是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】〔1〕证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴∥，
∴∠∠，
在△和△中，
，
∴△≌△．
〔2〕解：结论：四边形是菱形，
∵△≌△，
∴，
∵，
∴，∵∥，
∴四边形是平行四边形，
∵，⊥，
∴，
∴四边形是菱形．
36．〔2021•桂林〕如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，．〔1〕求证：△≌；
〔2〕假设∠55°，∠88°，求∠F的度数．
【分析】〔1〕求出，根据推出△≌△．
〔2〕由〔1〕中全等三角形的性质得到：∠∠，进而得出结论即可．【解答】证明：〔1〕∵，，且
∴
在△和△中，
∴△≌△〔〕
〔2〕由〔1〕可知，∠∠
∵∠55°，∠88°
∴∠180°﹣〔∠∠B〕=180°﹣〔55°+88°〕=37°∴∠∠37°。