2010年全国研究生数学建模竞赛二等奖论文

全国第七届研究生数学建模竞赛
题目神经元形态识别和分类数学模型
摘要：
采用由生物衍生而成的人工神经网络方法来解决生物神经元的分类问题，本身就体现了一种科学性。

本文围绕神经元形态识别和分类问题，首先，建立了基于仿生模式识别的人工神经网络的数学模型，给出了一种基于仿生模式识别的人工神经网络分类方法；其次，根据神经元的空间几何特征，采用特征空间几何元素命名法对题目中给出的样本神经元进行了重新命名；再次，利用该人工神经网络的预测特性，对神经元的生长变化进行了合理的预测。

第一，采用L-Measure软件对题目中的神经元空间几何数据进行计算，得到表征对应神经元几何特征的20个特征指标，作为基础数据；第二，利用特征空间中样本集合的拓扑性质，运用基于仿生模式识别的人工神经网络分类方法，以题目附录A给定的5类（中间神经元可以又细分3类）神经元44个样本的特征指标作为训练样本，运用人工神经网络对上述表征44个样本神经元的特征指标进行训练，得到能够完全识别这44个样本的人工神经网络，从而把研究神经元形态识别和分类问题转换为特征识别问题；第三，利用训练好的网络对题目附录C中的7个神经元样本中进行分类识别，最低识别率为97%，说明构建的人工神经网络对该样本的识别率非常好；第四，利用训练好的网络将题目附录B中的20个神经元进行分类，发现样本4、12、19、20不能准确分入已知的某一类。

因此，可以认为这四个样本属于某类未知的神经元，需要引入新的命名方法进行命名；第五，在前四步的基础上，提取相应的神经元特征指标，采用特征空间几何元素命名法对神经元进行命名。

第六，改变基于仿生模式识别的人工神经网络的训练样本数据，将猪的普肯野神经元和鼠的普肯野神经元定义为不同类别的神经元对网络进行训练，然后对其进行测试，结果表明该网络能够完全区分这两类普肯野神经元，且识别率较高，超过95%。

本模型的主要优点是分类准确率高、速度快、通用性好；不足有两点：一是必须通过增大训练样本数量才能改善网络的分类准确率；二是人工神经网络参数的选取对网络的影响较大。

关键词：仿生模式识别，特征识别，高维空间覆盖，人工神经网络
参赛队号Array
队员姓名
中山大学承办
1、 问题的重述
大脑是生物体内结构和功能最复杂的组织，作为大脑构造基本单位的神经元，其几何形态特征是一个很重要的方面。

对神经元特性的认识，最基本问题是神经元的分类。

如何识别区分不同类别的神经元，这个问题目前科学上仍没有解决。

生物解剖区别神经元主要通过几何形态和电位发放两个因素。

在本题目中只考虑神经元的几何形态，研究如何利用神经元的空间几何特征，通过数学建模给出神经元的一个空间形态分类方法，将神经元比较准确地分类识别，需要解决的具体问题包括：
（1）利用附录A 中和附录C 中样本神经元的空间几何数据，寻找出附录C 中5类神经元的几何特征（中间神经元可以又细分3类），给出一个神经元空间形态分类的方法。

（2）对附录B 中另外的20个神经元形态数据进行分类，根据分类结果，判断是否有必要引入或定义新的神经元名称。

（3）提出一种分类方法将所有神经元按几何特征进行分类，并为生物学家为神经元命名提出建议。

（4）按照提出的神经元形态分类方法，确定在不同动物神经系统中同一类神经元的形态特征是否存在有区别。

以附件A 中猪的普肯野神经元和鼠的普肯野神经元为例进行论证。

（5）建立的合理模型预测神经元形态的生长变化，并阐明神经元形态变化对确定的几何形态特征的影响。

2、 模型的假设与符号说明
2.1模型的假设
（1）任意的神经元属于任意类的概率相等。

（2）题目中所给的样本信息量足够大，足以表征需要判断的神经元。

2.2符号的说明
i
j v )20...1(=j 表示第i 个神经元的一个特征向量；
),...,,(21n V V V 表示n 个神经元的n 个特征向量；
n n D ⨯表示),...,,(21n V V V 中任两点之间的欧氏距离矩阵；
H 表示由),...,,(21n V V V 组成的一个矩阵；
μ表示n 个神经元的n 个特征向量的平均值；
∑表示),...,,(21n V V V 的方差矩阵；
U 表示奇异值分解中的酉阵；
V 表示奇异值分解中的酉阵；
),...1(n i i =λ分别表示矩阵∑的第i 个奇异值；
),...1(n i u i =表示矩阵∑的左奇异值向量；
),...1(n i v i =表示矩阵∑的右奇异值向量；
R 表示实数集合；
0U 表示根据i λ值的大小选取前2个特征值所对应的2个正交归一的特征向量；
G 表示将原20维特征向量i
j v 压缩为2维后的新特征向量；
)...1(n i VN i =表示降维后n 个神经元的n 个新特征向量；
X 表示人工神经网络[1]中神经元的输入矢量；
m W W W ,...,21表示人工神经网络中神经元的权值矢量；
Φ表示X 与m W W W ,...,21之间的函数关系，
Th 表示人工神经网络中的阈值；
f 表示人工神经网络中的判别函数；
),(2
1W W θ表示由n 维空间中两点21,W W 确定的一条有限一维线段； ),,(21W W X Φ表示n 维空间中的X 到),(21W W θ的欧式距离；
a 表示某类神经元所有构网样本点的集合；
N 表示某类神经元所有构网样本点的总数；
)...1(N i A i =表示某类神经元所有构网样本点；
21,l l B B 表示20维特征空间中欧式距离最小的两个点；
i θ表示在20维特征空间中由点)1(,+i l li B B 构成一维线段；
i
x θρ表示X 到i θ的距离； i P 表示用一个ABC 人工神经元覆盖i θ的覆盖范围；
)1(+i l B 表示离li B 距离最近的一个点；
m 表示最终产生ABC 人工神经元的个数；
P 表示每一类神经元的覆盖区域；
ρ表示X 到各类神经元高维空间覆盖区中各ABC 人工神经元覆盖区域的距离：
i M 表示构成第i 类神经元高维空间覆盖区的ABC 人工神经元个数；
ij ρ表示X 到第i 类神经元高维空间覆盖区中第j 个ABC 人工神经元覆盖区域的距离；
EXP 表示神经元经验特征指标矩阵。

3、 问题的分析
根据问题重述可知，本题属于基于空间几何特征的分类识别问题。

该问题的关键是如何利用包含神经元空间几何特征信息的数据（如对应房室的类型、x 坐标、y 坐标、z 坐标、房室的半径和与该房室连接的母房室标号），确定一个科学
的分类标准，提出一种科学的方法对神经元的进行识别、分类、命名和形态预测。

题目给定的数据可以分为两类：第①类是神经元的空间几何数据。

该类数据虽然包含神经元的空间几何特征信息，但无法直接表征神经元的空间几何特征。

第②类是表征已知类神经元的空间几何特征的特征指标（如神经元的Soma Surface，Number of Stems，Number of Bifurcation等等）。

根据神经元空间几何特征指标的定义可知，神经元空间几何特征指标和空间几何数据间具有某种的函数关系。

因此可以利用神经元空间几何数据计算出未知类神经元的特征指标。

本文采用专业计算神经元参数的L-measure软件计算得到未知类神经元的特征指标，但在使用L-measure软件的过程中发现Width，Height，Depth这3个特征指标题目给定的数值略有差别，但反应的趋势相同，因此，在下文的建模求解过程中，均采用L-measure软件计算出的结果。

解题的整体思路如图1所示。

其中，如何利用神经元特征指标进行数学建模来完成神经元的识别和分类是解题的关键。

图1 解题整体思路
对于问题1，是属于特征值的识别问题。

由于附件A中所有神经元的特征指标未知，因此首先应根据给定的空间几何数据，提取出特征指标。

然后，基于特征指标，建立数学模型，提出一种分类方法。

但是，已知5类神经元的特征指标是否足以对未知类神经元进行正确分类，或者这些特征指标在分类中是否存在冗余，即确定的特征指标是否需要增减，是需要在建模中讨论的问题。

对于问题2，是问题1的衍生，亦属于特征值的识别问题。

首先根据问题1中确定的能够表征神经元空间几何特征的特征指标，计算出附录B中20个神经元对应的特征指标。

然后，基于问题1提出的分类方法完成对20个未知类神经元的分类。

最后，根据分类的结果判断是否需要定义新的神经元名称。

对于问题3，是问题1-2的升华，属于命名类的问题。

从问题1-2的分析可知，表征神经元空间几何特征的特征指标是对神经元分类的一个重要参数。

因此，应考虑以特征指标为分类的标准，建立一种对所有神经元的通用分类方法和命名方法。

对于问题4，是问题1-2的升华，属于对同一类神经元的再分类问题。

可以考虑利用人工神经网络的学习能力，将猪的普肯野神经元和鼠的普肯野神经元定义为不同类别的神经元作为训练样本对人工神经网络进行训练，使人工神经网络经过训练后识别出猪的普肯野神经元和鼠的普肯野神经元。

对于问题5，对神经元形态的预测属于非线性系统的自适应预测问题。

可以
利用人工神经网络在处理非线性问题中显示出的明显优势，构建合理的人工神经网络来解决神经元形态预测问题。

4、 模型的建立与求解
4.1问题一的解答
（1）提取特征指标
步骤1.1：用L-measure 软件计算出待分类的第i 个神经元的特征指标，具体包括：Soma Surface ，Number of Stems ，Number of Bifurcation ，Number of Branch ，Width ，Height ，Depth ，Diameter ，Length ，Surface ，Volume ，Euclidean Distance ，Path Distance ，Branch Order ，Contraction ，Fragmentation ，Partition Asymmetry ，Rall's Ratio ，Bifurcation angle Local ， Bifurcation angle Remote ，共20个数据,将这些特征指标组成一个20维的向量i
j v ，作为表
征对应神经元的特征向量(即20维特征空间中的一个特征点)。

步骤1.2：计算表征n 个神经元的n 个特征向量，即在20维特征空间里得到了n 个特征点，计算任两点之间的欧氏距离，得到一个n n ⨯的距离矩阵n n D ⨯。

（2）构建两维图模型
步骤2.1：根据（1）小节中步骤1.2得到表征n 个神经元的n 个特征向量(n V V V ,...,,21)，将这些特征向量组成一个n ⨯20的矩阵H 。

],...,,[21n V V V H = （1） n i v v v V T i i i i ...1,],...,,[2021== （2） 步骤2.2：对矩阵H 进行PCA （Principal Component Analys ）处理。

PCA 的目的在于从20维特征空间中找到一组正交向量(m 个)，使这组向量可最大可能的表示出数据的方差，将数据从原来的n 维空间投影到这组正交向量所组成的m 维子空间上，从而完成维数压缩的作用，具体算法如下：
计算
∑=-=∑n
i i V 1||μ （3）
∑==n
i i V n 1
1μ （4） 对矩阵∑进行SVD (Singular Value Decomposition) 分解
V U 2/1Λ=∑ （5） 得到 n n R u u u U ⨯∈=2021],...,[ （6）
I U U T = （7） ⎣⎦n n n R diag ⨯∈=Λλλλ,...,21 （8） n λλλ≥≥≥...21 （9） n n n R v v v V ⨯∈=],...,[21 （10） I V V T = （11） 根据λ值的大小选取前2个特征值所对应的2个正交归一的特征向量0U 220210],[⨯∈=R u u U （12）
步骤2.3：计算∑=T U G 0,将原20维特征向量压缩为2维新特征向量
],...,[21n VN VN VN G = （13） n i vn vn VN T i i i ...1,],[21== （14）
步骤2.4：以1i VN 为横坐标， 2i VN 为纵坐标，则)...1(n i VN i =即为平面上的n 个点。

（3）基于仿生模式识别的神经元分类方法
步骤3.1：确定网络训练样本和测试样本。

使用步骤1.1计算得到的20维向量作为表征神经元的特征向量，即20维特征空间中的一个样本点。

以附录A 给出的7类神经元的特征向量作为训练样本集,分别为：第1类是运动神经元5个；第2类是普肯野神经元6个；第3类锥体神经元7个；第4类双极中间神经元5个；第5类是三极中间神经元5个；第6类是多极中间神经元9个；第7类是感觉神经元7个，共44个样本，详见附表1。

选取附录C 的7类神经元（共7个样本）的特征提取得到特征向量，作为测试样本集，详见附表2。

步骤3.2：人工神经网络的构造和训练。

采用高维空间点覆盖的方法构造、训练2个BP 网络，分别用于识别附录A 的7类神经元。

从高维空间几何分析的角度来看，一个神经元可以构造出一个复杂的封闭几何形体，多个神经元组合起来的人工神经网络可以实现高维空间复杂几何形体的近似覆盖。

下面就采用一个2权值神经元作为基本覆盖单元，用多个2权值神经元组合起来实现两类神经元的神经网络覆盖区。

多权值神经元可以表示为：
]),...,,([21Th W W W X f Y m -Φ= （15）
当2=m 时，式（15）为一2权值神经元，命名为ABC 人工神经元，其表达式为：
]),,([21Th W W X f Y -Φ= （16）
||||),,(),(2121W W X W W X θ-=Φ （17）
]}1.0[,)1(|{21),(2
1∈-+==a W a aW Y Y W W θ （18） 判别函数f 为：
⎩⎨⎧>-≤=0
,10,1)(x x x f （19） ABC 人工神经元的覆盖区域实际上是n 维空间中一个有限一维线段和超球的拓扑乘积，超球的半径为阈值Th 。

构造各类高维空间点覆盖区的步骤如下：
步骤① 设某类神经元所有的构网样本点集合为},...,{21N A A A a =。

在20维特征空间中计算所有点两两之间的欧式距离，找出距离最小的两个点，记为21,l l B B ,这样在20维特征空间中就由点21,l l B B 构成第一个一维线段1θ。

用一个ABC 人工神经元来覆盖这个线段，其覆盖范围为：
},|{11n x R X Th X P ∈≤=θρ （20）
]}1,0[,)1(|{211∈-+==a B a aB Y Y l l θ （21） 步骤② 对于已构造好的几何形体1P ，判断剩余各点是否被1P 覆盖。

若在1P 覆盖范围内，则排除该点；对于在1P 覆盖范围外的各点，按照步骤①的方法，找出离2l B 距离最近的一点，记作3l B 。

这样2l B 与3l B 就构成第二个线段2θ。

同样，用一个ABC 人工神经元来覆盖这个线段，其覆盖范围为：
},|{22n x R X Th X P ∈≤=θρ （22）
]}1,0[,)1(|{322∈-+==a B a aB Y Y l l θ （23）
……
步骤ii ：在剩余点中排除包含在前面共(1-l )个ABC 人工神经元覆盖范围内的样本点，在覆盖范围外的样本点中，找出离第)1(-i l B 点距离最近的点，记作li B ，这样)1(-i l B 和li B 就构成第i 个线段i θ，同样，用一个ABC 人工神经元来覆盖这个线段，其覆盖范围为：
},|{n x i R X Th X P i ∈≤=θρ
（24） ]}1,0[,)1(|{)1(∈-+==-a B a aB Y Y li i l i θ （25）
……
直到处理完所有的构网样本点。

最终共产生m 个ABC 人工神经元，每一类神经元的覆盖区域就是这些ABC 人工神经元覆盖区域的并集：
i m
i P P 1== （26）
将距离待识样本点X 最近的那类神经元高维空间覆盖区所属类别，作为待识样本点X 的所属神经元类别。

步骤3.3：样本识别。

用构造好的网络识别测试样本集中的所有样本。

待识别样本落入哪个网络覆盖区，识别结果即为哪个网络所代表的类别。

如若待识别样本没有落入任何网络覆盖区，则该样本不属于任何网络所代表的类别。

判别某一待识别样本点是否属于某类神经元高维空间覆盖区的方法：计算待识别样本点X 到各类神经元高维空间覆盖区中各ABC 人工神经元覆盖区域的距离：
||||),(2
1W W X θρ-= （27） 则待识别样本点到第i 类神经元高维空间覆盖区的距离为
ll i ij M j i i
,...1,min 1===ρρ （28） 其中i M 为构成第i 类神经元高维空间覆盖区的ABC 人工神经元个数,ij ρ为待识别样本点X 到第i 类神经元高维空间覆盖区中第j 个ABC 人工神经元覆盖区域的距离。

（4）结果与讨论
本模型应用基于仿生模式识别[3]的神经网络分类方法对7类神经元进行了特征提取，对应的神经元的特征指标见附表2，并进行了100次验证，每类神经元的正确识别率和错误识别率如表1所示。

表1 基于的仿生模式识别的神经网络分类方法测试结果（20维特征指标）
从表1可知，用附录A 中数据训练得到的ABC 网络对附录C 中的神经元的平均正
确识别率为93%，平均错误识别率为7%：其中，运动神经元的正确识别率为100%，错误识别率为0%；普肯野神经元的正确识别率为100%，错误识别率为0%；锥体神经元的正确识别率为99%，错误识别率为1%；双极中间神经元的正确识别率为97%，错误识别率为3%；三极中间神经的正确识别率为57%，错误识别率为43%；多极中间神经元的正确识别率为98%，错误识别率为2%；感觉神经元的正确识别率为100%，错误识别率为0%。

其中，三极中间神经元的正确识别率较低，仅为57%，常被误识别为感觉神经元。

这一结论说明已有的20维特征向量不足已将三极中间神经元和感觉神经元正确识别，因此，将分别表征三极中间神经元和感觉神经元的20维特征指标一一对应进行了求方差处理，发现其中Width，Height，Depth，Partition Asymmetry，Rall's Ratio，Bifurcation angle Local，Bifurcation angle Remote 7个特征指标的方差明显低于其他特征指标，则认为它们属于冗余特征指标，将其从原有20个特征指标中剔除，将剩余的13个特征指标，即Soma Surface，Number of Stems，Number of Bifurcation，Number of Branch，Diameter，Length，Surface，Volume，Euclidean Distance，Path Distance，Branch Order，Contraction，Fragmentation作为新特征指标，简称为有效特征指标，按（1）—（3）小节所述步骤对重新构建和训练基于仿生模式识别的神经网络，其中训练样本和测试样不变，仅将样本的20维特征指标替换为13维有效特征指标，每类神经元的正确识别率和错误识别率如表2所示。

表2 基于的仿生模式识别的神经网络分类方法测试结果（13维特征指标）
从表2可知，采用13维的有效特征指标后，用附录A中数据训练得到的ABC网络对附录C中的神经元的平均正确识别率为98.9%，平均错误识别率仅为1.1%：其中，运动神经元的正确识别率为100%，错误识别率为0%；普肯野神经元的正确识别率为100%，错误识别率为0%；锥体神经元的正确识别率为99%，错误识别率为1%；双极中间神经元的正确识别率为97%，错误识别率为3%；三极中间神经的正确识别率为98%，错误识别率为2%；多极中间神经元的正确识别率为98%，错误识别率为2%；感觉神经元的正确识别率为100%，错误识别率为0%。

4.2问题二的解答
问题二要求对附录B中的20个神经元形态数据进行分类，判定它们属于什么类型的神经元。

附录B中的20个神经元的特征指标见附表3所示。

建立在解
决问题1所建立的基于仿生模式识别的神经网络的基础上，将这20个神经元的特征指标作为测试数据进行100次分类，实验结果如下表3所示。

由表3可知，test1、Test2、Test3属于椎体神经元；Test5、test6属于普肯野神经元；Test7、Test8、Test9、test10、test11属于运动神经元；test13属于三极中间神经元；test14属于感觉神经元；test15、test16、test17、test18属于多极中间神经元；Test4、test12、test19、Test20这4个神经元的正确识别率较低，无法将其分入已知的7类神经元。

4.3问题三的解答
名称是一个抽象的符号，是为了交流和识别而出现的。

命名就是在一个符号和一件具体事物间建立一种紧密的联系，只要一定范围内的人对于某个这样的联系表示认同，这个名称就是有意义的。

比如根据突起的多少可将神经元分为多极神经元；双极神经元和单极神经元。

根据神经元的功能又可分为主神经元，感觉神经元，运动神经元和中间神经元等。

这些命名可用于一定范围内交流，但对于分类学者而言，是远远不适用的，是不精确，不严格的。

可能众多不相关的事物拥有一个名称，这给精确识别带来困难；一个事物也常常拥有不同的名称，这使大范围的交流无法进行。

所以，需要更为精确的名称，这种名称“具有特定的信号意义，不允许存在任何混乱”，这就需要命名法规“以法律的形式规定生物命
名的原则，以及当出现重复等问题时的处理方法”。

以便在国际范围内取得一致，保证以最大的可能使一个名称具有准确性和稳定性，能够长时间的延续使用，克服混乱，并使名称问题能与分类判断方面可能发生的变化相适应。

1998年，Mayr提出“分类系统是一个信息的存储和再获取的系统，它的目标是使人最省时省力的获取信息”的观点。

这是一个基于实用角度的功能，也是我们最常使用的。

随着分类学思想理念的发展，分类系统还要起到反映系统发育关系的作用，这是基于生物分类科学本质的要求，也是当前分类学工作者完善分类系统的一个主要努力方向。

基于上述考虑，本文提出特征空间几何元素命名法：
空间几何特征是具有一定语义的空间几何形态。

一个空间几何特征包含有一系列特征参数与特征几何元素，特征几何元素为构成特征体边界的边界元素(边界面、边和点)。

本特征空间几何元素命名法提出如下的空间几何元素的命名机制，用一特定的整型编码作为神经元空间几何特征的有效表征，用以有效的支持神经元特征的识别与分类，命名法具体如下：
（1）特征整型编码。

每个特征给定一整数编码，第一个特征编码为1，第二个特征编码为2，以此类推。

（2）特征空间几何元素命名。

对特征空间几何元素的命名是通过特征的实例化方法实现的。

特征的实例化方法负责为特征实例中的每个特征生成一个整型编码作为它的永久性名字。

本问题采用“神经元类别代码+13个有效特征指标编码”构成一个特征整型编码来对神经元进行命名。

如图2所示：
图2 神经元特征整型编码组成
:表示神经元类别，i表示神经元类别，基于本题所给的数据、问题1和问NE
i
题2的求解，i取值为1-8，依次表示运动神经元、普肯野神经元、锥体神经元、双极中间神经元、三极中间神经元、多极中间神经元、感觉神经元和其他；
A到M依次表示神经元的空间几何特征指标：Soma Surface，Number of Stems，Number of Bifurcation，Number of Branch，Diameter，Length，Surface，Volume，Euclidean Distance，Path Distance，Branch Order，Contraction，Fragmentation。

n表示每个空间几何特征指标的取值范围，如表4计算：
根据经验本题中
,
1000
1000
10
,
,
30
=
EXP
[
100000
,
200000
,
50
,
,
10000
]
200000
,1,
,
1000000
1000000
,
5000
,
下面以附录C1 motor neuron-A神经元为例进行说明：motor neuron-A神经元的空间几何特征指标如表5所示：
表5 motor neuron-A的空间几何特征指标
根据提出的特征空间几何元素命名方法，附录C1 motor neuron-A神经元的命名为：题目中所给的神经元的命名详见表6、7、8所示。

表6 附录A中的神经元命名结果
从表6、7、8中对数据的命名可知，本特征空间几何元素命名法具有以下几个特点：
可读性：例如附录C1 motor neuron-A神经元的命名为NE1A3B6C2D4E4F6G6H5I4J1K2L7M1，附录C2 purkinje neuron-A神经元的命名为NE2A1B1C4D7E1F1G1H1I1J1K5L7M5，从名称中可以看出motor neuron-A神经元的Soma
Surface为A
3, purkinje neuron-A神经元的Soma Surface为A
1
,因此，可以断定
motor neuron-A神经元的Soma Surface大于purkinje neuron-A神经元的Soma Surface。

结论：本命名方法对神经元的命名具有很强的可读性。

高效性：当已知任意神经元的空间几何特征指标时，就能利用本命名方法对其快速命名，并且得出的命名非常准确。

灵活性和通用性：本命名方法的关键是构建经验特征矩阵EXP ,该矩阵可以根据需要命名的对象的实际特征选取不同的经验值对其进行命名，因此具有非常好的灵活性和通用性。

4.4问题四的解答
人工神经网络一个很明显的优点就是具有自学习能力。

通过学习可以使网络具备一些学习前不具有的能力。

例如，实现图像识别时，只需先把许多不同的图像样板和对应的应识别的结果输入人工神经网络，网络就会通过自学习功能，慢慢学会识别类似的图像。

因此，在本问题的解答中可以利用人工神经网络的这种自学习能力，基于问题1建立的数学模型，将附录A 中猪的普肯野神经元和鼠的普肯野神经元分为两个不同类，作为人工神经网络的训练样本对其进行训练，其训练样本集见附表。

经过训练后的人工神经网络对猪的普肯野神经元和鼠的普肯野神经元的分类识别率如表9所示。

其中，对猪的普肯野神经元的正确识别率为95%，错误识别率为5%；对鼠的普肯野神经元的正确识别率为98%，错误识别率为2%。

表9 猪和鼠的普肯野神经元的识别率
4.5问题五的解答
由问题重述可知，对神经元形态的预测属于非线性系统的自适应预测问题。

非线性系统的自适应预测，在理论和实际应用方面都存在极大的困难。

但人工神经网络在这方面显示出了明显的优势。

因为人工神经网络具有通过学习逼近任意非线性映射的能力，利用静态的多层前向神经网络建立系统的输入/
输出模型，本质上就是基于网络逼近能力，通过学习获知系统差分方程中的位置非线性函数。

因此解决本问题可以利用对现有人工神经网络正向建模的预测能力来完成。

正向建模是指训练一个人工神经网络表达系统正向动态的过程，这一过程建立的神经网络模型称为正向模型，其结构如图3所示，
图3 正向建模结构
其中人工神经网络与待预测的系统并联。

在本问题中，待预测的系统即是经。